倪郁東, 韓姣杰

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

脈沖能引起系統(tǒng)狀態(tài)的變化,進(jìn)而改變所期望的穩(wěn)定性,因此對脈沖系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性分析具有一定的現(xiàn)實意義[1-3]。脈沖系統(tǒng)可表述為:

(1)

其中:k=1,2,…;x∈Rn為狀態(tài)變量;脈沖時刻序列{τk}滿足0<τ1<…<…,k=1,2,…,當(dāng)k→∞時,τk→∞;系統(tǒng)描述函數(shù)f(t,x(t)):R+×Rn→Rn和脈沖量函數(shù)uk(x):Rn→Rn均為連續(xù)性函數(shù)。

在實際的系統(tǒng)中,由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身的原因,如機(jī)械設(shè)備的限制、機(jī)器老化等,都會使脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性受到相應(yīng)干擾,當(dāng)把這些擾動因素添加到系統(tǒng)中并對其進(jìn)行分析時,系統(tǒng)(1)便成了具有擾動的脈沖系統(tǒng)(2)。當(dāng)脈沖系統(tǒng)(1)受到R(t,x(t)):R+×Rn→Rn擾動后的系統(tǒng)形式為:

(2)

其中,k=1,2,…。

近年來,研究者關(guān)于擾動后的脈沖系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究和應(yīng)用[4-6]。文獻(xiàn)[7]將擾動項加入陳氏混沌系統(tǒng)中,利用脈沖控制的方法,使受不確定擾動的陳氏混沌系統(tǒng)漸近穩(wěn)定到平衡點,得到受擾動的陳氏混沌系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充分條件;文獻(xiàn)[8]通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)將脈沖系統(tǒng)的解與具有擾動的脈沖系統(tǒng)的解連接起來,再根據(jù)Lyapunov直接方法和比較原理,分析了擾動后系統(tǒng)的最終Lipschitz穩(wěn)定性,但是當(dāng)系統(tǒng)不易求解時,再利用解對系統(tǒng)進(jìn)行分析相對困難;文獻(xiàn)[9]在原有Lyapunov函數(shù)V(t,x)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個新的、適用于受擾動后脈沖系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)V(t,x)=V1(t,x)+Ψ(t,x),證明了有擾動的非線性脈沖系統(tǒng)的一致漸近穩(wěn)定的充分條件,其側(cè)重點是構(gòu)造函數(shù)Ψ(t,x);文獻(xiàn)[10]通過構(gòu)造類似Lyapunov函數(shù)的分段連續(xù)輔助函數(shù),建立了系統(tǒng)保持一致最終穩(wěn)定的充分條件。

在分析脈沖系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性時,研究者常采用比較系統(tǒng)法[11-15],根據(jù)脈沖系統(tǒng)的比較原理構(gòu)造滿足條件的比較系統(tǒng),通過分析比較系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到脈沖系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件。該方法的主要思想是以Lyapunov函數(shù)為媒介,將較復(fù)雜的脈沖系統(tǒng)研究轉(zhuǎn)換為一個相對簡單的標(biāo)量脈沖系統(tǒng)(即比較系統(tǒng))研究,從而降低分析問題的難度,因此在研究脈沖問題時多采用此方法。

系統(tǒng)(1)受到R(t,x(t))擾動后,若仍用判斷系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定的比較原理和比較系統(tǒng)分析擾動后系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性,則需重新建立比較系統(tǒng)和比較原理,否則會忽略擾動項的特性。本文充分考慮范數(shù)有界擾動R(t,x(t))的作用,根據(jù)比較系統(tǒng)法,建立能夠判斷系統(tǒng)(2)漸近穩(wěn)定的比較原理和比較系統(tǒng),得到系統(tǒng)(2)漸近穩(wěn)定的充分條件。具體過程如下:對系統(tǒng)(1)的比較系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)整,利用擾動R(t,x(t))和系統(tǒng)(1)Lyapunov函數(shù)V(t,x)控制量,構(gòu)造系統(tǒng)(2)的比較系統(tǒng),同時建立有關(guān)系統(tǒng)(2)和比較系統(tǒng)的引理,再調(diào)整系統(tǒng)(1)比較原理的條件,結(jié)合引理建立能夠判斷系統(tǒng)(2)穩(wěn)定的比較原理。系統(tǒng)(2)的Lyapunov函數(shù)是通過對系統(tǒng)(1)的V(t,x)進(jìn)行變易,選取K(t)V(t,x)對擾動后的系統(tǒng)進(jìn)行分析,構(gòu)造滿足比較原理條件的比較系統(tǒng),通過分析比較系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性得到擾動后脈沖系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件,Bx函數(shù)的適當(dāng)選取有利于滿足擾動后脈沖系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件。本文還考慮:系統(tǒng)描述函數(shù)為非線性函數(shù),脈沖量分別為線性函數(shù)Bx和可變線性函數(shù)Bkx的系統(tǒng),分析得到2種系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件,最后通過數(shù)值示例驗證方法的有效性。

1 理論基礎(chǔ)

定義1 設(shè)ε>0,t0∈R+，稱函數(shù)x(t):[t0,t0+ε)→Rn為系統(tǒng)(2)的一個解，若以下條件成立：

(3) 當(dāng)t∈[t0,t0+ε)且t≠τk時,x(t)左連續(xù),即x(t-)=x(t)且x(t+)=x(t)+uk(x(t))。

定義2 設(shè)V:R+×Rn→R+,稱V是屬于V0類的,如果V滿足:

(1) 函數(shù)V在(τk-1,τk]×Rn上是連續(xù)的,且對每一個x∈Rn,k=1,2,…,有

(2) 函數(shù)V關(guān)于x滿足局部Lipschitz條件,即對任意x1,x2∈Rn,存在l>0,有

|V(t,x1)-V(t,x2)|≤l‖x1-x2‖

成立,且對所有的t∈R+,有V(t,0)=0。

定義3 對任意(t,x)∈(τk-1,τk]×Rn,k=1,2,…,定義

hf(t,x(t))-V(t,x)],

h(f(t,x(t)+R(t,x)))-V(t,x)]。

定義4 對任意α(s)∈C[R+,R+],若α(0)=0且α(s)為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù),則稱α(s)為K類函數(shù)。

定義5 對任意ε>0,存在δ=δ(ε,t0)>0,當(dāng)‖x0‖<δ時,對于系統(tǒng)(2)的解x(t,t0,x0),均有‖x(t,t0,x0)‖<ε，t>t0,則稱系統(tǒng)(2)的平凡解是穩(wěn)定的。

定義7 若系統(tǒng)(2)的平凡解既是穩(wěn)定的也是吸引的,則稱其是漸近穩(wěn)定的。

定義8 設(shè)V∈V0,假設(shè)

(3)

(4)

為系統(tǒng)(1)的比較系統(tǒng)

引理1[13]設(shè)V:R+×Rn→R+且V∈V0,假設(shè)

引理2[15]設(shè)V:R+×Rn→R+且V∈V0,K:R+→(0,+∞),對k=1,2,…,有

K(t)V(t,x(t,t0,x0))≤r(t,t0,w0)。

其中:r(t,t0,w0)為系統(tǒng)(4)在區(qū)間[t0,∞)上的最大解;g1(t,V(t,x))滿足定義8的條件;ψk:R+→R+為非減函數(shù)。

引理3[15]假設(shè)如下:

(1)V:R+×Rn→R+且V∈V0，

g1(t,K(t)V(t,x)),t≠τk,

(2)K(t+)V(t+,x+uk(x))≤ψk(K(t+)×

V(t+,x)),t=τk,k=1,2,…。

(3) 存在函數(shù)α(·)∈K,滿足α(‖x‖)≤

V(t,x)且V(t,0)=0。

則比較系統(tǒng)(4)的平凡解的穩(wěn)定性蘊含著系統(tǒng)(1)的平凡解的穩(wěn)定性。

引理4[16]若P∈Rn×n為正定矩陣,Q∈Rn×n為對稱矩陣,則對任意向量x∈Rn,有

xTQx≤λmax(P-1Q)xTPx,

其中,λmax(P-1Q)為矩陣P-1Q的最大特征值。

引理5[17]對于在‖x‖<ρ上給定的任意正定連續(xù)函數(shù)V(t,x),必存在2個函數(shù)φ1、φ2∈K,使得:φ1(‖x‖)≤V(t,x)≤φ2(‖x‖)。

針對擾動后的系統(tǒng)(2),在構(gòu)造它的比較系統(tǒng)時,需要考慮擾動項R(t,x(t))的存在,引理6利用擾動R(t,x(t))的控制量,以Lyapunov函數(shù)V(t,x)為媒介,對定義8中的條件進(jìn)行調(diào)整,構(gòu)造系統(tǒng)(2)的比較系統(tǒng)。

引理6 設(shè)V∈V0,α(‖x‖)≤V(t,x),‖x‖≤α-1(V(t,x)),設(shè)

(5)

(6)

為系統(tǒng)(1)受擾動后系統(tǒng)(2)的比較系統(tǒng),其中α-1(w)為α(w)的反函數(shù)。

x+h(f(t,x)+R(t,x)))-V(t,x)]=

V(t+h,x+hf(t,x))+V(t+h,

x+hf(t,x))-V(t,x)]=

h(f(t,x)+R(t,x)))-V(t+h,x+hf(t,x))]。

由于V(t,x)在t∈(τk,τk+1]上關(guān)于x滿足局部Lipschitz條件,由(5)式和u(t,w)關(guān)于w為非減函數(shù)可知,當(dāng)t≠τk時,有

lu(t,α-1(V(t,x)))≤g1(t,V(t,x))+

lu(t,α-1(V(t,x)))=g(t,V(t,x))。

當(dāng)t=τk時,有V(t,x+uk(x))≤ψk(V(t,x))。

根據(jù)條件可得其比較系統(tǒng)為:

考慮系統(tǒng)(2)的比較系統(tǒng)(6),對引理1中的條件進(jìn)行調(diào)整,得到適用于比較系統(tǒng)(6)的下列引理。

引理7 考慮系統(tǒng)(6),假設(shè)

其中:r(t,t0,w0)為系統(tǒng)(6)在區(qū)間[t0,∞)上的最大解;g1滿足定義8中的條件且滿足系統(tǒng)(1)穩(wěn)定時的比較條件;u滿足引理6中的條件;ψk:R+→R+為非減函數(shù)。

定義

因此,對t≥t0,有V(t,x)≤r(t,t0,w0),其中r(t,t0,w0)為系統(tǒng)(6)在[t0,∞)上的最大解。

考慮擾動R(t,x(t))的特性,結(jié)合引理7對引理2的條件進(jìn)行調(diào)整,得到適用于系統(tǒng)(6)的下列引理,其中系統(tǒng)(2)的Lyapunov函數(shù)是對系統(tǒng)(1)的Lyapunov函數(shù)V(t,x)進(jìn)行變易,選取K(t)V(t,x)對系統(tǒng)(2)進(jìn)行分析,一方面增加了其在系統(tǒng)中的實用性,另一方面K(t)函數(shù)的適當(dāng)選取有利于滿足擾動后脈沖系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件。

引理8 設(shè)V:R+×Rn→R+,且V∈V0,K:R+→(0,+∞),對k=1,2,…,有

其中:r(t,t0,w0)為系統(tǒng)(6)在區(qū)間[t0,∞)上的最大解;g1滿足定義8中的條件且滿足系統(tǒng)(1)穩(wěn)定時的比較條件;u滿足引理6中的條件;ψk:R+→R+為非減函數(shù)。

當(dāng)t≠τk時,有

h(f(t,x)+R(t,x)))-K(t)V(t,x)]=

h(f(t,x)+R(t,x)))-K(t)V(t+h,x+

h(f(t,x)+R(t,x)))+K(t)V(t+h,x+

h(f(t,x)+R(t,x)))-K(t)V(t,x)]=

x+h(f(t,x)+R(t,x)))+

R(t,x))-V(t,x)]=V(t,x)D+K(t)+

由此可得:

即

對引理3的條件進(jìn)行調(diào)整,得到能判斷系統(tǒng)(2)漸近穩(wěn)定的比較原理(即引理9)。

引理9 假設(shè)如下：

(1)f(t,0)=0,R(t,0)=0,g1(t,0)=0,u(t,0)=0,uk(0)=0。

(2)V:R+×Rn→R+且V∈V0,K(t)≥m>0,

(3) 存在函數(shù)α(·)∈K,滿足α(‖x‖)≤V(t,x)且V(t,0)=0,則比較系統(tǒng)(6)的平凡解的穩(wěn)定性蘊含著系統(tǒng)(2)的平凡解的穩(wěn)定性。

證明借鑒文獻(xiàn)[15]中定理1的證明方法。由條件(1)可知,系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(6)的平凡解是存在的。假設(shè)系統(tǒng)(6)的平凡解是穩(wěn)定的,r(t,t0,w0)為系統(tǒng)(6)在t≥t0上的最大解,則對任意ε>0,存在δ0=δ0(t0,ε)>0,當(dāng)0

設(shè)δ=min{δ0,δ1},由引理8的結(jié)論、引理9的條件可知:當(dāng)‖x0‖<δ時,有

mα(‖x‖)≤K(t)V(t,x(t,t0,x))≤

r(t,t0,w0)

即當(dāng)‖x0‖<δ時,有‖x‖<ε,t≥0。

因此系統(tǒng)(2)的平凡解是穩(wěn)定的。

現(xiàn)證明系統(tǒng)(2)的平凡解是吸引的。

w(t,t0,w0)

由引理8的結(jié)論、引理9的條件可得:當(dāng)‖x0‖<δ時,有

mα(‖x‖)≤K(t)V(t,x(t,t0,x))≤

r(t,t0,w0)

其中,t≥t0+T。這說明系統(tǒng)(2)的平凡解是吸引的。因此系統(tǒng)(2)的平凡解是漸近穩(wěn)定的。

采用比較系統(tǒng)法的思想,將較復(fù)雜的脈沖系統(tǒng)研究轉(zhuǎn)化為一個相對簡單的標(biāo)量系統(tǒng)(比較系統(tǒng))的研究,通過分析比較系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到系統(tǒng)(2)的漸近穩(wěn)定性。下列引理考慮一種形式相對簡單的系統(tǒng),并證明其是漸近穩(wěn)定的。

引理10 考慮以下形式的脈沖系統(tǒng):

(7)

若滿足條件:

(2) 存在γ>1,d2k+2d2k+1≠0,k=1,2,…,

λ(τ2k+3)+λ(τ2k+2)+

則系統(tǒng)(7)的平凡解是漸近穩(wěn)定的。

證明對系統(tǒng)(7)的分析。當(dāng)t∈(t0,τ1]時,

當(dāng)t∈(τ1,τ2]時,

當(dāng)t∈(τ2,τ3]時,

當(dāng)t∈(τ2k-1,τ2k]時,

當(dāng)t∈(τ2k,τ2k+1]時,

2 漸近穩(wěn)定性條件

考慮如下形式的具有擾動的脈沖系統(tǒng):

(8)

其中,x∈Rn為狀態(tài)變量;f(t,x):R+×Rn→Rn為非線性連續(xù)函數(shù);R(t,x):R+×Rn→Rn為系統(tǒng)的非線性擾動項;B∈Rn×n為常數(shù)矩陣。

定理1 設(shè)P∈Rn×n為正定矩陣,λ1、λ2分別為矩陣P的最小和最大特征值,λ3為矩陣BTB的最大特征值。若擾動脈沖系統(tǒng)(8)滿足以下條件:

(2) 存在可微且不增的函數(shù)K(t),t≠τk,k=1,2,…,滿足e-Mk>D2,其中

則系統(tǒng)(8)在平凡解處是漸近穩(wěn)定的。

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(t,x)=xTPx,當(dāng)t≠τk時,

K(t)D+V(t,x)+V(t,x)D+K(t)=

K(t)(f(t,x)+R(t,x))TPx+

K(t)xTP(f(t,x)+R(t,x))+

H(t)K(t)xTPx。

當(dāng)t=τk時,

xTBTPx+xTBTPBx≤

DK(τk)xTPx。

構(gòu)造系統(tǒng)(8)的比較系統(tǒng):

Mk≤-ln[γλ3(τ2k+2)λ3(τ2k+1)]。

由條件(3)可知,λ1‖x‖≤V(t,x)=xTPx,根據(jù)引理9、引理10可知系統(tǒng)(8)是漸近穩(wěn)定的。

定理1中,脈沖量為線性的且與控制節(jié)點數(shù)k(k=1,2,…)無關(guān);但是在實際的系統(tǒng)中,有時為了達(dá)到某種目的,脈沖量與控制節(jié)點數(shù)是有關(guān)的,它會隨著控制過程的進(jìn)行而不斷改變,此時有以下形式具有擾動的脈沖系統(tǒng):

(9)

其中:k=1,2,…;x∈Rn為狀態(tài)變量;f(t,x(t)):R+×Rn→Rn為非線性連續(xù)函數(shù);R(t,x(t)):R+×Rn→Rn為系統(tǒng)的非線性擾動項;Bk∈Rn×n為常數(shù)矩陣。

定理2 設(shè)P∈Rn×n為正定矩陣,λ1、λ2分別為矩陣P的最小和最大特征值,λ3(k)>0滿足xT(I+Bk)TP(I+Bk)x≤λ3(k)xTPx,若系統(tǒng)(9)滿足以下條件:

(1) 與定理1的條件(1)相同。

(2) 存在可微且不增的函數(shù)K(t),t≠τk,k=1,2,…,滿足e-Mk>λ3(τ2k+2)λ3(τ2k+1)。

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為V(t,x)=xTPx,當(dāng)t≠τk時,結(jié)果與定理1中當(dāng)t≠τk時相同。

當(dāng)t=τk時,

構(gòu)造系統(tǒng)(9)的比較系統(tǒng)為:

Mk≤-ln[γλ3(τ2k+2)λ3(τ2k+1)]。

由條件(3)可知,λ1‖x‖≤V(t,x)=xTPx,根據(jù)引理9、引理10可知系統(tǒng)(9)是漸近穩(wěn)定的。

3 結(jié) 論

本文研究在范數(shù)有界因素擾動下脈沖系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。采用比較系統(tǒng)法,以Lyapunov函數(shù)為媒介,利用擾動R(t,x(t))的控制量,對能判斷系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定的比較原理和比較系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)整,建立了能夠判斷系統(tǒng)(2)漸近穩(wěn)定的比較原理和比較系統(tǒng),通過分析比較系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性,得到系統(tǒng)(2)漸近穩(wěn)定的充分條件,簡化了分析過程,為解決這類問題提供了一種新方法。本文方法對擾動項的適用范圍較窄,未來可嘗試放寬對擾動項的限制,使其適用于范圍更廣的系統(tǒng);另外,本文只考慮了系統(tǒng)描述函數(shù)具有擾動的情況,未來可嘗試研究系統(tǒng)描述函數(shù)與脈沖量函數(shù)均具有擾動的脈沖系統(tǒng)。