李磊 章政 黃衛(wèi)華 郭慶瑞 胡陽(yáng)城

(*武漢科技大學(xué)機(jī)器人與智能系統(tǒng)研究院 武漢430081)

(**武漢科技大學(xué)冶金自動(dòng)化與檢測(cè)技術(shù)教育部工程研究中心 武漢430081)

(***武漢科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 武漢430081)

0 引言

立方體機(jī)器人是一類具有立方體外殼、由內(nèi)置的慣性輪或動(dòng)力擺等力矩發(fā)生裝置構(gòu)成的新型機(jī)器人,通過(guò)質(zhì)心偏移和動(dòng)量守恒實(shí)現(xiàn)以立方體的頂點(diǎn)或者棱邊為支點(diǎn)的自平衡或翻滾等。立方體機(jī)器人可作為機(jī)器人學(xué)和控制科學(xué)科研、教學(xué)的一種開(kāi)放式智能機(jī)器人研究開(kāi)發(fā)平臺(tái),還可應(yīng)用于對(duì)青少年機(jī)器人技能拓展等科普領(lǐng)域;多個(gè)立方體機(jī)器人組裝后可用于橋梁修補(bǔ)、太空探索等領(lǐng)域,具有重要的理論價(jià)值和廣闊的發(fā)展前景。

目前,關(guān)于立方體機(jī)器人的研究主要集中在自平衡控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。一般是利用拉格朗日方程、凱恩方程建立立方體機(jī)器人自平衡動(dòng)力學(xué)模型,在此基礎(chǔ)上基于比例積分微分(proportional integral derivative,PID)算法[1-2]、線性二次型調(diào)節(jié)(linear quadratic regulator,LQR)算法[3]以及狀態(tài)反饋[4]等經(jīng)典控制方法實(shí)現(xiàn)立方體機(jī)器人的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。然而,立方體機(jī)器人等效為一個(gè)多自由度的倒立擺系統(tǒng),具有非線性、多變量、強(qiáng)耦合和欠驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定等特性[4-6],導(dǎo)致系統(tǒng)模型復(fù)雜且難以進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。為了解決上述問(wèn)題,文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)出一種基于Sugeno 模糊推理型的智能積分模糊控制器對(duì)立方體系統(tǒng)進(jìn)行控制。文獻(xiàn)[8]將徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法相結(jié)合的進(jìn)化RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法對(duì)立方體系統(tǒng)進(jìn)行控制。文獻(xiàn)[9]對(duì)立方體機(jī)器人單點(diǎn)平衡設(shè)計(jì)自抗擾控制器,實(shí)現(xiàn)對(duì)多變量系統(tǒng)的解耦控制。上述研究主要是基于立方體機(jī)器人在平面上自平衡控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì),而關(guān)于其在坡面上自平衡穩(wěn)定控制鮮有研究。

針對(duì)立方體機(jī)器人在坡面上自平衡控制的問(wèn)題,本文以所設(shè)計(jì)的以棱邊為支點(diǎn)的立方體機(jī)器人為研究對(duì)象,建立了基于區(qū)間Ⅱ型T-S 模糊模型的立方體機(jī)器人自平衡控制系統(tǒng)。首先,自主搭建了一種以棱邊為支點(diǎn)的立方體機(jī)器人,基于區(qū)間Ⅱ型T-S 模糊模型對(duì)立方體機(jī)器人進(jìn)行建模并分析了其非線性特征;然后,基于并行分布補(bǔ)償原理,設(shè)計(jì)了一種基于區(qū)間Ⅱ型T-S 模糊模型的狀態(tài)反饋控制器,并基于粗糙集對(duì)模糊規(guī)則進(jìn)行約簡(jiǎn);最后,在坡面上對(duì)自行搭建的立方體機(jī)器人控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真和實(shí)測(cè)驗(yàn)證。

1 立方體機(jī)器人的機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)了一種外部尺寸為13.6 cm×13.8 cm×14 cm 的立方體機(jī)器人,內(nèi)部器件集成度高、無(wú)其他器件在立方體外部、獨(dú)立性好,其實(shí)體結(jié)構(gòu)如圖1所示。立方體機(jī)器人主要由外殼、慣性輪、主控模塊、電機(jī)驅(qū)動(dòng)模塊、帶減震板的IMU 捷聯(lián)慣導(dǎo)測(cè)量單元(加速度計(jì)以及可實(shí)現(xiàn)六軸姿態(tài)檢測(cè)的陀螺儀)等組成。考慮到立方體機(jī)器人的機(jī)械結(jié)構(gòu)需要質(zhì)量對(duì)稱分布,即保證當(dāng)機(jī)器人在任意方向發(fā)生偏移時(shí),所需要的回復(fù)力盡可能相等,因此采用自帶AB 相編碼器的永磁直流電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)電機(jī),可有效避免安裝外部編碼器造成不對(duì)稱問(wèn)題。立方體機(jī)器人的主要參數(shù)如表1 所示。

表1 立方體機(jī)器人的主要參數(shù)表

圖1 立方體機(jī)器人結(jié)構(gòu)圖

2 基于區(qū)間Ⅱ型T-S 模糊模型的坡面上立方體機(jī)器人的建模

2.1 坐標(biāo)系的建立

選取水平面為X軸,沿立方體機(jī)器人平衡點(diǎn)垂直水平方向?yàn)閆軸,建立慣性坐標(biāo)系XOZ。在坡度為γ的坡面上立方體機(jī)器人實(shí)現(xiàn)單邊自平衡,其機(jī)械結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為由外殼、慣性輪組成,坐標(biāo)系定義如圖2 所示。圖中,立方體機(jī)器人的重心為G、慣性輪的重心為P、慣性輪的質(zhì)量為m;立方體機(jī)器人相對(duì)于Z軸的偏轉(zhuǎn)角為θ,慣性輪ω1的偏轉(zhuǎn)角為β;點(diǎn)A與立方體機(jī)器人重心G的距離為l1,與慣性輪重心P的距離為l2,與坡面底點(diǎn)B的距離為l3;坡面的滑動(dòng)摩擦力為μ。

圖2 立方體機(jī)器人斜坡平衡坐標(biāo)示意圖

2.2 動(dòng)力學(xué)建模與分析

以棱邊為支點(diǎn)的立方體機(jī)器人可以等效為一個(gè)一階倒立擺模型,為了簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì),對(duì)立方體機(jī)器人的平衡條件作如下假設(shè)。

(1) 立方體機(jī)器人質(zhì)量均勻可以等效為剛體。

(2) 僅考慮立方體機(jī)器人棱邊與坡面的滑動(dòng)摩擦力,忽略其他各種阻力。

對(duì)坡面上立方體機(jī)器人進(jìn)行受力分析,可得:

由此可得,滑動(dòng)摩擦力μ與坡度γ之間滿足:

立方體機(jī)器人在坡面上機(jī)體的動(dòng)能為

慣性輪的動(dòng)能為

根據(jù)拉格朗日算子可得,在坡面上自平衡立方體機(jī)器人的總動(dòng)能為

立方體機(jī)器人在坡面上機(jī)體的勢(shì)能為

慣性輪的勢(shì)能為

由式(3)～(7)可得,立方體機(jī)器人在坡面上自平衡的拉格朗日算子為

立方體機(jī)器人在坡面上自平衡的廣義力矩為

式中,u為慣性輪的驅(qū)動(dòng)力矩。

設(shè)立方體機(jī)器人的廣義坐標(biāo)分別為θ和β,將式(8)～(9)代入拉格朗日方程得:

計(jì)算并整理式(10)后,則有:

由式(13)可知,立方體機(jī)器人輸入量為u,立方體機(jī)器人的輸出量為θ、由此可知,式(13)所示的立方體機(jī)器人系統(tǒng)表現(xiàn)為欠驅(qū)動(dòng)、非線性形式,常規(guī)的建模和控制方法難以奏效。

2.3 基于區(qū)間Ⅱ型T-S 模糊的立方體機(jī)器人建模

令表示第i條模糊規(guī)則:

當(dāng)立方體機(jī)器人在平衡點(diǎn)附近時(shí),有(x0,u0)=(0,0),則F(x0,u0)=F(0,0)=0。由此可得系統(tǒng)在平衡點(diǎn)(x0,u0)=(0,0) 處的一個(gè)局部線性化模型為

當(dāng)立方體機(jī)器人不在平衡點(diǎn)處,即(x0,u0) ≠(0,0),則在附近找到一個(gè)關(guān)于x和u的線性模型,使其在工作點(diǎn)x0近似表示式(12),即找到相應(yīng)的矩陣A和B。

根據(jù)立方體機(jī)器人的單邊平衡過(guò)程分析可知,立方體機(jī)器人的角度及其角速度θ、在平衡點(diǎn)附近小范圍內(nèi)波動(dòng),且變換范圍很小;隨著θ、在平衡點(diǎn)附近變換時(shí),動(dòng)量輪角速度提供相應(yīng)的正向、反向力矩從而保證立方體機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)平衡。

將x(t)=模糊化為z=[z1,z2,z3],選取Gauss 型模糊隸屬函數(shù),設(shè)上、下隸屬函數(shù)分別為設(shè)模糊子集的個(gè)數(shù)為p。由此可得第i條規(guī)則的區(qū)間模糊集合強(qiáng)度:

式(14)中的Π 為乘法t-norm 算子,采用Center-of-sets 降階器對(duì)進(jìn)行降階融合計(jì)算:

L和R被稱為轉(zhuǎn)換點(diǎn),滿足以下不等式:

由Kuhn-Munkers 算法降型得到:

清晰化采用加權(quán)平均法,則可得整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

其中,

3 基于區(qū)間Ⅱ型T-S 模糊模型的立方體機(jī)器人控制器設(shè)計(jì)

3.1 基于區(qū)間Ⅱ型T-S 模糊模型控制器設(shè)計(jì)

本文采用并行分配補(bǔ)償法(parallel distributed compensation,PDC)確定區(qū)間Ⅱ型T-S 模糊模型的模糊控制器結(jié)構(gòu)。區(qū)間Ⅱ型模糊控制器的第i條模糊規(guī)則可以表示為

立方體機(jī)器人坡面單邊自平衡整體控制律為

3.2 穩(wěn)定性證明

將式(23)帶入式(12),得到立方體機(jī)器人系統(tǒng)的全局狀態(tài)方程為

其中A、B分別為式(12)的系統(tǒng)矩陣和控制矩陣。

成立,則閉環(huán)模糊系統(tǒng)式(24)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

式中,Aii=Ai -BiFj。

選取Lyapunov 函數(shù):

則關(guān)于式(23)對(duì)于時(shí)間的求導(dǎo)為

如果式(25)成立,則當(dāng)z(t)≠0 時(shí),有(z(t))＜0 成立。則立方體機(jī)器人系統(tǒng)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

由定理1 可以得到以下幾點(diǎn):

(1)V(z(t))≥0,且只有V(0)=0,即為正定函數(shù)。

[17]楊奉山：《企業(yè)并購(gòu)及網(wǎng)約車企業(yè)壟斷行為分析——以滴滴并購(gòu)Uber為例》，《發(fā)展改革理論與實(shí)踐》2018年第4期。

(2) 當(dāng)‖z(t)‖→∞,V(z(t)) →∞。

(3) ?z(t) ≠0,有(z(t))＜0。

(4)x0=[000]T是式(24)所示系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)。

根據(jù)以上分析可知,立方體機(jī)器人系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x0=[0,0,0]T∣附近是漸近穩(wěn)定的,在式(20)所示的控制輸入u(t) 的作用下,立方體機(jī)器人系統(tǒng)收斂到平衡點(diǎn),即

因此,立方體機(jī)器人系統(tǒng)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性問(wèn)題轉(zhuǎn)變成為求解P和Fi滿足式(25)所示的不等式。

令X=P-1,將式(25)兩邊同時(shí)乘P-1可得:

令Y=FiX,帶入式(25)可得:

求滿足式(29)不等式組的X、Yi是一個(gè)關(guān)于線性矩陣不等式的凸優(yōu)化可行性問(wèn)題,可通過(guò)Matlab軟件中的LMI 工具箱進(jìn)行求解,求解得到X、Yi的值后,可通過(guò)反解得到P和Fi的值。

3.3 基于粗糙集的規(guī)則約簡(jiǎn)

立方體機(jī)器人是單輸入三輸出的復(fù)雜系統(tǒng),模糊控制器為三輸入,模糊規(guī)則的數(shù)量為p3,模糊規(guī)則呈指數(shù)增長(zhǎng)。采用粗糙集對(duì)控制器模糊規(guī)則進(jìn)行約簡(jiǎn),可以減少規(guī)則數(shù)目、優(yōu)化控制器的結(jié)構(gòu)。

將區(qū)間Ⅱ型模糊控制器規(guī)則前件作為條件屬性,后件作為決策屬性,構(gòu)成非空論域U,所有模糊規(guī)則構(gòu)成本文約簡(jiǎn)的決策表,并將決策表的屬性值用數(shù)字符號(hào)化,得到符號(hào)化的決策表。

對(duì)于非空論域U,R為論域上的等價(jià)關(guān)系,定義論域的上下近似,重要性分別為X的上近似:

X的下近似:

其中,card表示集合元素個(gè)數(shù),γ為X的重要性,ρ為粗糙度,當(dāng)0 ≤γ≤1時(shí)X為U上的粗糙集。

計(jì)算決策表的區(qū)分矩陣M,其任意元素為

建立區(qū)分函數(shù)表達(dá)式Δ 為

其中∑α(x,y)=a1∨a2∨…∨ak區(qū)分函數(shù)中的每一項(xiàng)就對(duì)應(yīng)一個(gè)屬性約簡(jiǎn)結(jié)果,包含屬性最少的合取項(xiàng)就是最小屬性集C′。

經(jīng)過(guò)粗糙集約簡(jiǎn),冗余的規(guī)則被濾掉,得到約簡(jiǎn)后的n條規(guī)則。粗糙集規(guī)則約簡(jiǎn)后的立方體機(jī)器人區(qū)間Ⅱ型模糊狀態(tài)反饋控制器第i條決策規(guī)則為

粗糙集規(guī)則約簡(jiǎn)后的立方體機(jī)器人坡面單邊自平衡的區(qū)間Ⅱ型模糊狀態(tài)反饋控制器為

其中hi(z(t))與μi(z(t)) 分別為

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

設(shè)立方體機(jī)器初始狀態(tài)x0=(5,0,0),設(shè)θ、的論域分別為θ∈[-5,+5]、∈[-20,+10]、∈[-1500,+1500]。將模糊控制器的輸入量模糊化,以z1為例,定義其模糊論域?yàn)閇0,1],模糊子集為{NB,NS,Z,PS,PB},z1的隸屬函數(shù)分布如圖3 所示。z2、z3的定義與z1一致。

圖3 z1 的隸屬函數(shù)分布圖

選取Gauss 型模糊隸屬函數(shù),上、下隸屬函數(shù)分別為

式(40)中xi為隸屬函數(shù)曲線變量。

經(jīng)過(guò)粗糙集約簡(jiǎn),規(guī)則數(shù)目由原來(lái)的125 條約簡(jiǎn)為28 條。

將立方體機(jī)器人靜置于坡度為15 °的坡面上,分別進(jìn)行自平衡、魯棒性、抗干擾的仿真和實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)。

4.1 立方體機(jī)器人坡面自平衡實(shí)驗(yàn)

經(jīng)過(guò)粗糙集規(guī)則約簡(jiǎn)前后的立方體機(jī)器人輸出曲線如圖4 所示。

圖4 使用粗糙集約簡(jiǎn)前后的控制效果對(duì)比曲線

由表2 和表3 可知,采用粗糙集對(duì)立方體機(jī)器人的Ⅱ型模糊控制器進(jìn)行規(guī)則約簡(jiǎn)后,系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間減少了26%,上升時(shí)間分別縮短了26%、14%,誤差均方根分別減少4%、18%。提高了控制器的快速性。

表2 立方體角度動(dòng)態(tài)特性

表3 立方體角速度動(dòng)態(tài)特性

4.2 魯棒性實(shí)驗(yàn)

慣性輪重量增加5%,對(duì)比使用本文設(shè)計(jì)的模糊控制器與傳統(tǒng)PID 控制器,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5 所示。

圖5 傳統(tǒng)PID 控制器與本文控制器控制效果對(duì)比曲線

由表4 和表5 可知,在慣性輪質(zhì)量發(fā)生變化時(shí),采用本文設(shè)計(jì)的模糊控制器,系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間減少了57%,立方體角度與角速度超調(diào)量分別減37%、59%,上升時(shí)間分別縮短了13%、56%,誤差均方根分別減少32%、2%。綜上本文設(shè)計(jì)的模糊控制器具有更好自適應(yīng)性,控制精度更高。

表4 立方體角度動(dòng)態(tài)特性

表5 立方體角速度動(dòng)態(tài)特性

4.3 抗擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)

立方體機(jī)器人在坡面上達(dá)到自平衡穩(wěn)態(tài)后,在第4 s 時(shí)刻模擬慣性輪受到外界電磁干擾,加入鋸齒波的擾動(dòng)信號(hào),分別采用傳統(tǒng)PID 控制器與本文的模糊控制器,得到圖6 所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖6 傳統(tǒng)PID 控制器與本文控制器控制效果對(duì)比曲線

由表6 和表7 可知,立方體機(jī)器人在第4 s 受到擾動(dòng)后,采用本文設(shè)計(jì)的模糊控制器,系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間縮短了50%,立方體角度與角速度超調(diào)量分別減27%、66%,誤差均方根分別減少14%、3%。綜上本文設(shè)計(jì)的模糊控制器具有更好的抗干擾能力,穩(wěn)定性更好、控制精度更高。

表6 立方體角度動(dòng)態(tài)特性

表7 立方體角速度動(dòng)態(tài)特性

4.4 實(shí)物運(yùn)行實(shí)驗(yàn)

將本文所設(shè)計(jì)的模糊控制器應(yīng)用于實(shí)際立方體機(jī)器人中,得到如圖7 所示的實(shí)物運(yùn)行實(shí)測(cè)圖。

圖7 實(shí)物運(yùn)行實(shí)測(cè)圖

將本文設(shè)計(jì)的模糊控制器應(yīng)用于立方體機(jī)器人的自平衡控制,得到了圖7 的效果。如圖所示,t=2.5 s 時(shí)立方體機(jī)器人達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),t=4 s 時(shí)加入擾動(dòng),立方體機(jī)器人偏離穩(wěn)定位置5°;t=6 s 時(shí)立方體機(jī)器人偏離角度有所減小,恢復(fù)到3°;t=8 s 時(shí)立方體機(jī)器人偏離穩(wěn)定位置,并朝著對(duì)側(cè)偏離3 °;t=10 s 時(shí)立方體機(jī)器人逐漸重回穩(wěn)定位置;t=12 s 時(shí)立方體機(jī)器人回到穩(wěn)定位置。圖8 是立方體機(jī)器人的實(shí)測(cè)曲線。

圖8 立方體機(jī)器人抗擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)曲線

立方體機(jī)器人的慣性輪質(zhì)量增加5%,系統(tǒng)的輸出曲線如圖9 所示。

圖9 立方體機(jī)器人魯棒性實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)曲線

綜上可知本文設(shè)計(jì)的基于區(qū)間Ⅱ型T-S 模糊模型的控制系統(tǒng)能更好地處理立方體機(jī)器人系統(tǒng)的不精確性和外界擾動(dòng)。突出表現(xiàn)在反應(yīng)速度快、可以實(shí)現(xiàn)高精度的非線性控制。

5 結(jié)論

針對(duì)坡面上以棱邊為支點(diǎn)自平衡的立方體機(jī)器人控制問(wèn)題,本文設(shè)計(jì)了一種基于區(qū)間Ⅱ型T-S 模糊模型的立方體機(jī)器人自平衡控制系統(tǒng)。首先,基于區(qū)間Ⅱ型T-S 模糊模型對(duì)坡面上立方體機(jī)器人進(jìn)行建模;然后,為了更好地處理立方體機(jī)器人系統(tǒng)的不精確性和外界擾動(dòng),設(shè)計(jì)了基于區(qū)間Ⅱ型T-S 模糊狀態(tài)反饋控制器。由于控制器規(guī)則的指數(shù)增長(zhǎng),采用粗糙集進(jìn)行規(guī)則約簡(jiǎn),減少了規(guī)則數(shù)量,優(yōu)化了控制器結(jié)構(gòu);仿真及實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文所設(shè)計(jì)的基于區(qū)間Ⅱ型模糊T-S 模型的立方體機(jī)器人系統(tǒng)具有良好穩(wěn)定性、抗干擾以及魯棒性。