趙 晗，陳 雁，廖 鈺，孫 靜

（陸軍勤務(wù)學(xué)院，重慶 401331）

0 引言

在碳排放導(dǎo)致全球變暖嚴(yán)峻局勢(shì)下，許多組織和國(guó)家，包括歐盟、英國(guó)、澳大利亞、美國(guó)和中國(guó)，都在執(zhí)行控制碳排放的政策，例如，歐盟于2005年制定了限制碳排放量的管理規(guī)定[1]。隨后，美國(guó)、澳大利亞、加拿大、日本等國(guó)建立了碳排放政策法規(guī)[2]。中國(guó)陸續(xù)在北京、上海、重慶、廣東和深圳等地區(qū)實(shí)施碳排放量限制政策[3]。碳限額政策在實(shí)踐中受到了極大的關(guān)注，例如，我國(guó)對(duì)火力發(fā)電、鋼鐵、石油、化工、水泥、有色金屬等六大行業(yè)涉及的某些大氣污染物實(shí)行排放限制[4]。江蘇省為了達(dá)到碳減排目標(biāo)，于2015年實(shí)施了強(qiáng)制性碳限額措施。

現(xiàn)有的關(guān)于碳限額政策下企業(yè)決策的文獻(xiàn)主要研究單個(gè)企業(yè)的最優(yōu)決策問(wèn)題，而從供應(yīng)鏈角度考慮的文獻(xiàn)還較少。事實(shí)上，碳限額政策下供應(yīng)鏈上下游企業(yè)的協(xié)調(diào)與合作，也能解決碳排放減少的問(wèn)題。以科技產(chǎn)品為例，由于采購(gòu)、庫(kù)存和運(yùn)輸，每年釋放了大量含碳物質(zhì)，是碳排放的主要行業(yè)之一。碳限額政策對(duì)企業(yè)決策和供應(yīng)鏈管理提出了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。假若市場(chǎng)需求高于訂購(gòu)量，生產(chǎn)商將不能滿足需求，招致缺貨成本；假若市場(chǎng)需求低于訂購(gòu)量，生產(chǎn)商不僅招致額外的采購(gòu)、庫(kù)存和運(yùn)輸成本，而且招致由此帶來(lái)的大量的碳排放，即使零售商允許分銷(xiāo)商銷(xiāo)售期結(jié)束可以退貨，由于退貨是有形的，也招致庫(kù)存和運(yùn)輸成本，以及由此帶來(lái)的碳排放。因此，研究供應(yīng)鏈中企業(yè)庫(kù)存決策問(wèn)題十分重要。

1 模型描述與假設(shè)

考慮一個(gè)帶隨機(jī)需求的單周期兩階段供應(yīng)鏈模型，風(fēng)險(xiǎn)中性的生產(chǎn)商生產(chǎn)某種生產(chǎn)周期長(zhǎng)、銷(xiāo)售周期短且市場(chǎng)需求不確定性大的產(chǎn)品，經(jīng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的零售商銷(xiāo)售給最終顧客。設(shè)市場(chǎng)價(jià)格為p，市場(chǎng)隨機(jī)需求為X,且X≥0，E[X]=μ和Var(X)=σ2，X的概率密度函數(shù)為f(x)，且f(x)≥0X的累計(jì)分布函數(shù)為F(x)，是單增、可微、非負(fù)和可逆的，且F(0)=0。在碳限額政策下，企業(yè)在一定時(shí)期內(nèi)的碳排放量不能超過(guò)最大碳排放量，最大碳排放量用C表示，每單位產(chǎn)品在采購(gòu)、庫(kù)存和運(yùn)輸?shù)钠骄寂欧帕坑忙帘硎?，零售商的最大訂?gòu)量用qc表示，顯然

模型的事件發(fā)展順序可以描述如下：在生產(chǎn)期開(kāi)始時(shí)刻之前，生產(chǎn)商提供購(gòu)買(mǎi)期權(quán)價(jià)格o和執(zhí)行期權(quán)價(jià)格e，零售商根據(jù)需求預(yù)測(cè)和購(gòu)買(mǎi)成本，確定期權(quán)訂購(gòu)量q，每單位看漲期權(quán)允許零售商在需求實(shí)現(xiàn)以后按照期權(quán)執(zhí)行價(jià)格購(gòu)買(mǎi)一個(gè)單位產(chǎn)品。在生產(chǎn)期開(kāi)始時(shí)刻，生產(chǎn)商根據(jù)產(chǎn)品需求預(yù)測(cè)和零售商的訂購(gòu)量，確定生產(chǎn)量Q，每單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為c。在銷(xiāo)售周期，零售商根據(jù)需求情況決定是否執(zhí)行看漲期權(quán)和執(zhí)行多少期權(quán)，如果零售商缺貨，采用缺貨不補(bǔ)的方式，不考慮缺貨成本；如果生產(chǎn)商缺貨，將招致單位缺貨成本h，可以理解為生產(chǎn)商用高質(zhì)量產(chǎn)品代替低質(zhì)量產(chǎn)品或從第三方獲得單位額外產(chǎn)品的成本。銷(xiāo)售期結(jié)束時(shí)刻以后，任何剩余產(chǎn)品以殘值v獲得收益。

假設(shè)生產(chǎn)商和零售商掌握的信息是對(duì)稱的。假設(shè)生產(chǎn)商是風(fēng)險(xiǎn)中性的，以最大化期望收益為目標(biāo)，零售商為風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，以最大化其收益的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）為目標(biāo)。此外，本文還假設(shè)碳排放量主要指采購(gòu)、庫(kù)存和運(yùn)輸環(huán)節(jié)產(chǎn)生的碳，其實(shí)生產(chǎn)環(huán)節(jié)產(chǎn)生的碳可以轉(zhuǎn)移到上述環(huán)節(jié)中。為了使研究的模型有意義，相關(guān)參數(shù)需要滿足c＜e+o＜p，v＜e，v＜c＜h和c-v＜p-c。

2 碳限額政策下風(fēng)險(xiǎn)厭惡零售商的訂購(gòu)策略

產(chǎn)品生產(chǎn)周期長(zhǎng)，銷(xiāo)售周期短且市場(chǎng)需求不確定性大，所以在銷(xiāo)售期開(kāi)始之前，零售商必須在銷(xiāo)售期到來(lái)之前做決策?？礉q期權(quán)合同下，零售商的收益函數(shù)πr(x,q)表示如下：

相應(yīng)的零售商收益的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值用CVaRη(πr(q))表示，

其中η∈(0,1]，η越小，反映零售商越表現(xiàn)厭惡風(fēng)險(xiǎn)。注意當(dāng)η=1時(shí)，零售商收益的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值等于其期望受益值，說(shuō)明零售商是風(fēng)險(xiǎn)中性的。

在碳限額政策下，零售商的訂購(gòu)優(yōu)化問(wèn)題P表示如下：

設(shè)q*是優(yōu)化問(wèn)題P的最優(yōu)解，則下面的定理給出了q*的具體表示形式。

定理1：在碳限額政策和看漲期權(quán)合同下，風(fēng)險(xiǎn)厭惡零售商最優(yōu)的期權(quán)購(gòu)買(mǎi)量為：

進(jìn)而可得：

CVaRη(πr(q))關(guān)于q的一階和二階導(dǎo)數(shù)分別為：和。所以CVaRη(πr(q))是關(guān)于q的凹函數(shù)，可得無(wú)約束時(shí)優(yōu)化問(wèn)題P的最優(yōu)解q0表示為，則在碳限額政策下，風(fēng)險(xiǎn)厭惡零售商最優(yōu)的期權(quán)購(gòu)買(mǎi)量q*表示為：

根據(jù)定理1可知，受風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度和碳限額的影響，看漲期權(quán)合同下，零售商最優(yōu)期權(quán)購(gòu)買(mǎi)量是一個(gè)區(qū)間：當(dāng)滿足C＞αq0時(shí)，最優(yōu)期權(quán)購(gòu)買(mǎi)量不受碳限額的影響，但隨風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平η的增加而減少，當(dāng)滿足C≤αq0時(shí)，最優(yōu)期權(quán)購(gòu)買(mǎi)量不受風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平的影響，但受碳限額的影響。

3 碳限額政策下風(fēng)險(xiǎn)中性生產(chǎn)商的生產(chǎn)策略

因產(chǎn)品生產(chǎn)周期長(zhǎng)，銷(xiāo)售周期短且市場(chǎng)需求不確定性大，所以在銷(xiāo)售期開(kāi)始之前，生產(chǎn)商必須在銷(xiāo)售期到來(lái)之前做決策。在看漲期權(quán)合同下，零售商在銷(xiāo)售周期期間根據(jù)需求實(shí)現(xiàn)情況確定期權(quán)執(zhí)行情況，這表明生產(chǎn)商無(wú)需完全按照零售商的最優(yōu)訂購(gòu)策略來(lái)組織生產(chǎn)。生產(chǎn)商的生產(chǎn)數(shù)量(Q)也受市場(chǎng)隨機(jī)需求和缺貨成本的影響，因此生產(chǎn)量滿足Q≤q*。看漲期權(quán)合同下，生產(chǎn)商的期望收益E[πs(Q)]是E[πs(Q)]=oq*+eE min(q*,x)+vE(Q-min(x,q*))+-hE(min(x,q*)-Q)+-cQ，在看漲期權(quán)合同下，生產(chǎn)商的生產(chǎn)決策問(wèn)題為：

令Q*是生產(chǎn)決策問(wèn)題的最優(yōu)解，下面的定理給出了生產(chǎn)商的最優(yōu)的生產(chǎn)策略。

定理2：在碳限額政策和看漲期權(quán)合同下，生產(chǎn)商最優(yōu)的生產(chǎn)量Q*滿足下式：

證明：首先確定目標(biāo)函數(shù)E[πs(Q)]的性質(zhì)。E[πs(Q)]關(guān)于Q的一階和二階導(dǎo)數(shù)分別為：

根據(jù)定理2可知，受零售商訂購(gòu)策略的影響，看漲期權(quán)合同下，生產(chǎn)商最優(yōu)的生產(chǎn)量是一個(gè)區(qū)間：當(dāng)q*＞Q0，零售商訂購(gòu)策略會(huì)對(duì)生產(chǎn)商最優(yōu)的生產(chǎn)量產(chǎn)生影響，生產(chǎn)商會(huì)盡量減少生產(chǎn)量來(lái)提高收益，此時(shí)最優(yōu)生產(chǎn)量即為零售商最優(yōu)期權(quán)訂購(gòu)量，顯然此時(shí)最優(yōu)生產(chǎn)量也受碳限額政策和風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的影響；當(dāng)q*≤Q0，零售商訂購(gòu)策略不會(huì)對(duì)生產(chǎn)商最優(yōu)的生產(chǎn)量產(chǎn)生影響，但是會(huì)受缺貨成本的影響。因此，看漲期權(quán)合同下，生產(chǎn)商不需要完全依照零售商的訂購(gòu)量組織生產(chǎn)，提高了其供應(yīng)柔性，但是會(huì)受碳限額政策和零售商風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的影響。

4 結(jié)語(yǔ)

在碳限額政策下，針對(duì)生產(chǎn)周期長(zhǎng)，銷(xiāo)售周期短且市場(chǎng)需求不確定性大的產(chǎn)品，考慮引入看漲期權(quán)合同作為風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖工具，研究基于看漲契約的供應(yīng)鏈決策問(wèn)題。首先構(gòu)建了基于看漲期權(quán)合同下風(fēng)險(xiǎn)厭惡零售商的訂購(gòu)模型，推出風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度和碳限額政策對(duì)零售商最優(yōu)期權(quán)購(gòu)買(mǎi)量和零售商收益的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的影響。然后研究了基于碳稅政策和看漲期權(quán)合同下，風(fēng)險(xiǎn)中性生產(chǎn)商的生產(chǎn)模型。通過(guò)模型求解，給出了生產(chǎn)商最優(yōu)的生產(chǎn)量是一個(gè)區(qū)間，研究了零售商訂購(gòu)策略和碳限額政策對(duì)生產(chǎn)商最優(yōu)的生產(chǎn)量的影響。研究結(jié)果為供應(yīng)鏈中企業(yè)庫(kù)存決策、優(yōu)化和設(shè)計(jì)期權(quán)契約等提供了依據(jù)與幫助。