廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 李文東

函數(shù)的零點問題是高考中的熱點和難點問題,這類問題通常會出現(xiàn)在選擇題和填空題的壓軸題以及解答題的導(dǎo)數(shù)題中.解決此類問題的常見數(shù)學(xué)思想方法有分類討論、分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合、換元等,可以綜合考察學(xué)生對于函數(shù)的理解能力和應(yīng)用能力,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算和直觀想象等核心素養(yǎng).下面我們以含有參數(shù)的函數(shù)的零點個數(shù)問題為例,展示此類問題的求解思路.

策略1: 分類討論

例1設(shè)函數(shù)若函數(shù)f(x)的圖像與x軸有且只有一個交點,求a的取值范圍.

分析由于函數(shù)f(x)為常見的三次函數(shù),因此可以討論f(x)的單調(diào)性,借助三次函數(shù)的圖像來求解.

解由題意f′(x)=x2-2x+a,其判別式Δ=4-4a.

①當(dāng)Δ ≤0,即a≥1 時,f′(x)≥0 在R 上恒成立,故f(x)在R 上單調(diào)遞增,因為f(0)=-a ＜0,f(3)=2a ＞0,所以函數(shù)f(x)的圖像與x軸有且只有一個交點;

②當(dāng)Δ＞0,即a ＜1 時,f′(x)=0 有兩個不等的實根,設(shè)為x1,x2(x1＜x2),則x1+x2=2,x1·x2=a.且當(dāng)x ＜x1時,f′(x)＞0,函數(shù)f(x)在(-∞,x1)上單調(diào)遞增,當(dāng)x1＜x ＜x2時,f′(x)＜0,函數(shù)f(x)在(x1,x2)上單調(diào)遞減,當(dāng)x ＞x2時,f′(x)＞0,函數(shù)f(x)在(x2,+∞)上單調(diào)遞增.因為x21-2x1+a=0,由多項式除法可得

令f(x1)f(x2)＞0, 解得a ＞0, 又當(dāng)0＜ a ＜1 時,f(0)=-a ＜0,f(3)=2a ＞0, 故函數(shù)f(x)的圖像與x軸有且只有一個交點.

綜上所述,a的取值范圍為(0,+∞).

點評借助多項式除法實現(xiàn)了降次(三次降為一次),從而極大的簡化了f(x1)f(x2)的運算.對于a ＜1 的情形,其實也可以采用如下直接計算的方法:

可以看到,直接解出x1,x2然后代入化簡其運算也比較容易求解,而且這種解法比較自然,只是運算稍顯復(fù)雜!

策略2: 分離參數(shù)

例2已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex-ax+alnx,討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù).

點評分離參數(shù)是解決函數(shù)零點個數(shù)問題的重要方法,它可以避免復(fù)雜的分類討論,分離后需要注意新函數(shù)的定義域,特別是注意函數(shù)是否有漸近線.

策略3: 數(shù)形結(jié)合

圖1

解法2當(dāng)a=0 時,顯然方程f(x)=0 無解;

綜上,當(dāng)a ∈[0,e)時,方程f(x)=0 無解;當(dāng)a ＜0 或a=e 時,方程f(x)=0 有唯一解;當(dāng)a ＞e 時方程f(x)=0有兩解.

點評將函數(shù)適當(dāng)?shù)葍r變形,從而將一個函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩曲線的交點的個數(shù)問題也是解決此類問題的重要方法(分離參數(shù)是該法的特例),而且可以嘗試從不同的角度去進(jìn)行變換(一般是化為直線和曲線或者兩凹凸性相反的曲線的交點個數(shù)問題).

策略4: 同構(gòu)

例4函數(shù)f(x)=xex -2x+1, 討論函數(shù)g(x)=f(x)-lnx+x-m的零點個數(shù).

解g(x)=f(x)-lnx+x-m=xex-x-lnx+1-m,設(shè)xex=t,則x+lnx=lnt,函數(shù)g(x)的零點的個數(shù)等價于m=t-lnt+1 的解的個數(shù), 令h(t)=t-lnt+1, 則故h(t)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增且h(1)=2,結(jié)合函數(shù)h(t)的圖像可知: 當(dāng)m ＜2 時,g(x)沒有零點;當(dāng)m=2 時,g(x)有1 個零點;當(dāng)m ＞2 時,g(x)有2 個零點.

點評由于x=logaax和x=alogax(a ＞0 且a≠1),因此指數(shù)和對數(shù)之間往往可以相互轉(zhuǎn)化,通過適當(dāng)?shù)淖冃瓮瑯?gòu),可以很方便的解決一些同時含有指對數(shù)函數(shù)的零點問題.

策略5: 換元法

例5已知函數(shù)f(x)=ax2-x-ln(ax),(a≠0,a ∈R),討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù).

作出函數(shù)g(t)的圖像(如圖2), 由此可見,當(dāng)a ＜0 或a=1 時,方程無解, 當(dāng)0＜a ＜1 或a ＞1 時, 方程有唯一解.

圖2

綜上,當(dāng)a ＜0 或a=1 時,函數(shù)f(x)有個1 零點,當(dāng)0＜a ＜1或a ＞1 時, 函數(shù)f(x)有兩個零點.

點評上述解法非常巧妙, 不過其中用到了高中課本沒有的知識洛必達(dá)法則, 為了避免這一點, 也可以將方程變形為借助直線y=a(t-1)和函數(shù)的圖像也很容易看清楚兩者交點的個數(shù),從而得到函數(shù)f(x)的零點的個數(shù)情況,讀者可以一試! 對于復(fù)合函數(shù)的零點問題,可以考慮采用換元簡化此類問題!

以上是求解函數(shù)零點個數(shù)問題的一些常見解題策略,一般來說,分類討論是通法,但是往往比較復(fù)雜,分離參數(shù)和分離函數(shù)也是常用的方法,而同構(gòu)和變換則在解決一些特殊的零點問題時能起到簡化作用,具體采用哪種方法,要根據(jù)函數(shù)的特征來決定.