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        多視角研究一道聯(lián)考解析幾何等角題

        2022-11-03 04:13:36賀鳳梅
        數(shù)理化解題研究 2022年28期
        關(guān)鍵詞:學(xué)生

        賀鳳梅

        (新疆伊犁鞏留縣高級(jí)中學(xué) 835400)

        1 問(wèn)題呈現(xiàn)

        (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

        (2)證明:∠MFN=2∠PFN.

        2 總體分析

        解析幾何中的角度問(wèn)題有些可以轉(zhuǎn)化為斜率來(lái)處理,比如角度是與坐標(biāo)軸的夾角;也可以采用余弦定理解答;還可以利用平面向量解答;如果涉及到2倍角關(guān)系,還可以采用角平分線的性質(zhì)或到角公式來(lái)進(jìn)行求解.

        3 試題解答

        3.1 第(1)問(wèn)解析

        解析由c+a=4-c且c=1,解得a=2.

        所以b2=a2-c2=3.

        3.2 第(2)問(wèn)解析

        視角1借助直線的傾斜角與斜率的關(guān)系及正切二倍角公式解答.

        解法1 由(1)知點(diǎn)A(-2,0).

        結(jié)合圖1可知,

        圖1

        利用二倍角公式,得

        所以tan∠MFN=tan(2∠PFN).

        由條件知∠MFN,∠PFN∈(0,π),

        故∠MFN=2∠PFN.

        評(píng)注此解法屬于常規(guī)解法,要證兩角相等,結(jié)合角的范圍,只需求兩角的正切值相等即可.而由圖象可知,兩角的正切值又與對(duì)應(yīng)直線的斜率密切相關(guān),于是問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為:先求相關(guān)點(diǎn),再求出相關(guān)直線的斜率,即得兩角的正切值,最后借助正切二倍角公式進(jìn)行運(yùn)算求解即可.這種解法充分體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

        視角2借助到角公式解答.

        結(jié)合圖1,并利用到角公式可得

        所以tan∠MFP=tan∠PFN.

        結(jié)合角的取值范圍易得∠MFP=∠PFN.

        從而∠MFN=2∠PFN.

        評(píng)注現(xiàn)行教材對(duì)到角公式不作要求,感興趣的讀者可查閱到角公式,注意公式結(jié)構(gòu)的特征和正切差角公式一致.很多題目用此公式還是切實(shí)可行的.建議學(xué)有余力的學(xué)生掌握,并能靈活運(yùn)用.

        視角3利用角平分線的性質(zhì)解答.

        即y0x-(x0-1)y-y0=0.

        顯然,點(diǎn)P在FM的右側(cè),

        與②聯(lián)合,x0<4,化簡(jiǎn),得

        所以d1=d2,F(xiàn)P為∠MFN的角平分線.

        所以∠MFP=∠PFN.

        從而∠MFN=2∠PFN.

        評(píng)注此解法結(jié)合圖象及待證結(jié)論,發(fā)現(xiàn)只要證明FP為∠MFN的角平分線即可.而根據(jù)角平分線的性質(zhì),角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.d2=|PN|=yP易求,求d1時(shí),結(jié)合圖象的位置關(guān)系及x0的取值范圍,需要學(xué)生具備一定的觀察能力、邏輯推理能力和較高的運(yùn)算求解能力.

        視角4借助向量的數(shù)量積解答.

        結(jié)合②整理可得

        所以等式③成立,即∠MFP=∠PFN.

        從而∠MFN=2∠PFN.

        評(píng)注欲證∠MFN=2∠PFN,結(jié)合圖象,即證∠MFP=∠PFN,設(shè)法找到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),得出對(duì)應(yīng)向量坐標(biāo),由向量的數(shù)量積公式可得cos∠MFP,cos∠PFN,通過(guò)以上求解得到cos∠MFP=cos∠PFN,問(wèn)題也就迎刃而解了.這也是等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.

        在新課程背景下,課程強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng). 在教學(xué)過(guò)程中,多視角、多策略處理問(wèn)題可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,培養(yǎng)他們的思維能力,提高學(xué)習(xí)效率. 而圓錐曲線涉及的概念多、性質(zhì)多,在解答圓錐曲線類(lèi)試題時(shí)經(jīng)常會(huì)有多種解答方法. 因此,在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的過(guò)程中,我們要重視一題多解,整合知識(shí),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)、向量、不等式等代數(shù)問(wèn)題來(lái)求解.幫助學(xué)生完備知識(shí)體系,提高學(xué)習(xí)質(zhì)量,深挖他們的潛能,培養(yǎng)良好的思維品質(zhì).

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