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        沿繩方向加速度問題的深入思考

        2022-11-03 04:16:46
        數(shù)理化解題研究 2022年28期
        關(guān)鍵詞:方向

        鄧 偉

        (重慶市開州中學(xué) 405499)

        高中階段與繩連接有關(guān)的速度、加速度問題極為常見.處理繩牽連模型中速度分解問題時,教師經(jīng)常用到的結(jié)論:沿繩方向的速度大小相等.但又引出另外一個值得我們深思的問題:沿繩方向的加速度大小是否相等?

        1 一道聯(lián)考題的思考

        在一次區(qū)域聯(lián)考中,筆者遇到一個很有爭議的題目,題目如下:

        例1如圖1所示,將質(zhì)量為2m的重物懸掛在輕繩的一端,輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的環(huán),環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上,光滑定滑輪與直桿的距離為d.現(xiàn)將環(huán)從與定滑輪等高的A處由靜止釋放,當(dāng)環(huán)沿直桿下滑距離也為d時(圖中B處),下列說法正確的是(重力加速度為g)( ).

        A.環(huán)剛釋放時輕繩中的張力等于2mg

        D.環(huán)減少的機(jī)械能大于重物增加的機(jī)械能

        圖1

        原參考答案:B.

        解析環(huán)剛開始釋放后,重物由靜止開始加速上升,故重物有向上的加速度,根據(jù)牛頓第二定律有F-2mg=2ma,得F>2mg,故A項錯誤;

        有教師認(rèn)為:環(huán)剛開始釋放時,環(huán)的加速度為g,通過沿繩方向加速度相等,得到重物在環(huán)釋放瞬間加速度為0,則繩的張力F=2mg,故A正確.那究竟哪種說法是正確的呢?

        2 沿繩方向加速度關(guān)系與速度關(guān)系是否相同

        假設(shè)沿繩方向加速度與速度的關(guān)系是一致的,以例1為例,設(shè)環(huán)到B點的加速度向下為aB,此時繩與桿的夾角為θ,若我們類比速度之間的關(guān)系,可以得到重物加速度a物=aBcosθ.再用特例進(jìn)行反證:如果環(huán)下落到B點前,在外力作用下已保持勻速下落,在B點對環(huán)分析,有aB=0,從加速度關(guān)系可得,重物上升加速度a物=aB=0,說明重物也是勻速上升.但從速度關(guān)聯(lián)的角度,當(dāng)環(huán)勻速下落時,因為兩者速度滿足v物=vBcosθ,當(dāng)環(huán)下落過程中,角度θ越來越小,利用余弦函數(shù)得出重物上升速度是越來越大的,說明重物的加速度豎直向上不為0.兩個結(jié)論產(chǎn)生了矛盾,說明假設(shè)不成立:沿著繩方向加速度關(guān)系與沿繩方向速度關(guān)系不一定相同.

        3 沿繩方向加速度關(guān)系的推導(dǎo)

        同樣借助例1,用數(shù)學(xué)方法來推導(dǎo):

        圖2

        [f(g(t))]′=f′(g(t))·g′(t)得:

        將②③④式代入①式得:

        綜上分析,我們可以得出結(jié)論:環(huán)的加速度沿繩的分量等于重物上升加速度(左端繩子伸長的加速度)與環(huán)繞點轉(zhuǎn)動的向心加速度矢量和.

        4 高中范圍內(nèi),哪些情況物體沿繩方向加速度相等

        4.1 繩兩側(cè)的物體速度方向與連接的繩平行,都做直線運(yùn)動,不存在繞點轉(zhuǎn)動.

        例2如圖3所示,A、B兩小球由繞過輕質(zhì)定滑輪的輕繩相連,A放在固定的光滑斜面上,B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連,C球放在水平地面上.現(xiàn)用手控制住A,并使輕繩剛剛拉直但無拉力作用,并保證滑輪左側(cè)輕繩豎直、右側(cè)輕繩與斜面平行.已知A的質(zhì)量為4m,B、C的質(zhì)量均為m,重力加速度為g,輕繩與滑輪之間的摩擦不計.開始時整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài);釋放A后,A沿斜面下滑至速度最大時,C恰好離開地面.求:斜面的傾角α;

        圖3

        解析:由題意可知,當(dāng)A沿斜面下滑至速度最大時,C恰好離開地面,C的加速度為0;AB加速度時刻相等,此時為零.將ABC作為一個整體:

        由牛頓第二定律得4mgsinα-2mg=0,

        4.2 物體做圓周運(yùn)動存在繞點轉(zhuǎn)動的情況,但速度為0

        物體即使存在繞點轉(zhuǎn)動的情況,如果速度為0,向心加速度也為0,所以沿繩方向的加速度仍然相同,這些情況一般出現(xiàn)在開始運(yùn)動時或運(yùn)動結(jié)束時.

        例3(2018江蘇卷)如圖4所示,釘子A、B相距5l,處于同一高度.細(xì)線的一端系有質(zhì)量為M的小物塊,另一端繞過A固定于B.質(zhì)量為m的小球固定在細(xì)線上C點,B、C間的線長為3l.用手豎直向下拉住小球,使小球和物塊都靜止,此時BC與水平方向的夾角為53°.松手后,小球運(yùn)動到與A、B相同高度時的速度恰好為零,然后向下運(yùn)動.忽略一切摩擦,重力加速度為g,取sin53°=0.8,cos53°=0.6.求:

        圖4

        (3)小球向下運(yùn)動到最低點時,物塊M所受的拉力大小T.

        對例1分析,也屬于第二類情況,由于初速度為0,所以沿繩方向加速度相同,由于初始位置的繩子與環(huán)的加速度方向垂直,故重物上升加速度為0,此時繩子的拉力等于物體受到的重力,故A選項為正確答案.

        5 綜述

        通過對沿繩方向加速度問題的深入思考,可以得如下結(jié)論:連接體沿繩方向加速度的關(guān)系與速度間的關(guān)系不一定相同.我們既要考慮平動的加速度,也要考慮轉(zhuǎn)動時的向心加速度.在高中物理繩牽連模型中,下列兩種情況的加速度與速度關(guān)系是相同的:第一,繩兩側(cè)的物體速度方向與連接的繩子平行,都做直線運(yùn)動,不存在繞點轉(zhuǎn)動的情況;第二,物體做圓周運(yùn)動存在繞點轉(zhuǎn)動時,但速度為0的情況.

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