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        基于傅里葉梅林變換的寬帶非線性調(diào)頻信號時差/尺度差估計(jì)方法

        2022-11-03 12:42:32于洪波孫殿星程樹強(qiáng)張翔宇王國宏
        電光與控制 2022年10期
        關(guān)鍵詞:傅里葉調(diào)頻時域

        張 亮, 于洪波, 孫殿星, 程樹強(qiáng), 張翔宇, 王國宏

        (1.海軍航空大學(xué),山東 煙臺 264000; 2.中國人民解放軍94326部隊(duì),濟(jì)南 250000;3.中國人民解放軍94201部隊(duì),濟(jì)南 250000)

        0 引言

        電子戰(zhàn)是信息化戰(zhàn)爭的重要組成部分,對目標(biāo)的精確定位是電子戰(zhàn)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。目標(biāo)定位系統(tǒng)通??煞譃橛性炊ㄎ幌到y(tǒng)和無源定位系統(tǒng),典型的有源定位系統(tǒng)為雷達(dá),由于需要對外輻射電磁信號以獲取目標(biāo)回波,戰(zhàn)場上容易被敵方偵察而遭受反輻射武器打擊。相較而言,無源定位系統(tǒng)自身不輻射電磁信號,隱蔽性好,典型體制為雙星無源定位[1]。寬帶條件下,雙星無源定位系統(tǒng)根據(jù)兩路接收信號估計(jì)時差(TDOA)和尺度差(SDOA),再利用衛(wèi)星、目標(biāo)和地球的幾何關(guān)系對輻射源進(jìn)行精確定位。為估計(jì)時差/尺度差,傳統(tǒng)方法[2-3]是計(jì)算兩路接收信號寬帶互模糊函數(shù)(Wideband Cross Ambiguity Function,WBCAF),該方法能夠同時估計(jì)2個參數(shù),且適用于多種源信號形式,而存在的問題是計(jì)算量大。WBCAF計(jì)算過程包含兩步,首先計(jì)算一路信號的尺度版本,然后將其與另一路信號進(jìn)行相關(guān)處理,由于第2步可利用FFT,IFFT在頻域快速實(shí)現(xiàn),因此WBCAF快速實(shí)現(xiàn)的難點(diǎn)為第1步,針對該問題,文獻(xiàn)[2]提出多速率采樣重構(gòu)濾波方法,但是當(dāng)尺度因子為多位小數(shù)時,該方法無法獲得精確的尺度版本。部分研究考慮僅在變換域計(jì)算WBCAF,以規(guī)避接收信號尺度版本獲取難題,其中,文獻(xiàn)[3]利用小波變換內(nèi)積定理,提出基于交互小波變換的WBCAF實(shí)現(xiàn)方法,但母小波的選取對計(jì)算結(jié)果影響較大,文獻(xiàn)[4]進(jìn)一步提出基于梅林變換的WBCAF實(shí)現(xiàn)方法,但梅林變換的數(shù)值計(jì)算方法有多種[5-9],所用方法計(jì)算精度不高。另外,如果源信號形式已知,時差/尺度差估計(jì)問題會變得相對容易,例如針對線性調(diào)頻(LFM)信號,文獻(xiàn)[10-11]利用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform,FRFT)測量兩路接收信號調(diào)頻斜率,根據(jù)兩路信號調(diào)頻斜率比例關(guān)系估計(jì)尺度差,再對第1路信號“拉伸”或者“壓縮”,與第2路信號進(jìn)行相關(guān)處理估計(jì)時差。該改進(jìn)方法通過兩步級聯(lián)處理降低了運(yùn)算整體復(fù)雜度,低信噪比(SNR)條件下2個參數(shù)估計(jì)均方誤差逼近克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB),遺憾的是當(dāng)源信號為非線性調(diào)頻(NLFM)信號時,該方法不適用。

        針對上述問題,本文引入時間尺度(TS)、尺度估計(jì)(SE)基本概念,利用兩路信號頻譜包絡(luò)是彼此尺度版本的特點(diǎn),提出基于傅里葉梅林變換的寬帶非線性調(diào)頻信號時差/尺度差估計(jì)方法。

        1 傳統(tǒng)與改進(jìn)方法

        寬帶條件下,利用雙星無源定位系統(tǒng)對地面一個固定輻射源進(jìn)行定位,以第1路信號為參考基準(zhǔn),則2個獨(dú)立接收機(jī)接收到的信號可表示為[10-11]

        (1)

        式中:x1(t),x2(t)分別為第1路和第2路接收信號;A1,A2為源信號s(t)到達(dá)2個接收機(jī)的路徑增益;Δt為兩路信號時差(TDOA);Δα為尺度差(SDOA),與衛(wèi)星相對輻射源的徑向速度及光速有關(guān);n1(t),n2(t)分別為2個接收機(jī)基底復(fù)高斯白噪聲。輻射源相對衛(wèi)星的徑向速度體現(xiàn)為接收信號尺度的變化,傳統(tǒng)估計(jì)方法[2-3]是利用寬帶互模糊函數(shù)(WBCAF)實(shí)現(xiàn)。連續(xù)信號z(t)與x(t)的WBCAF定義為

        (2)

        式中:γ為WBCAF尺度因子;τ為時移。令z(t)=x2(t),x(t)=x1(t),易知,當(dāng)γ=1+Δα,τ=Δt時,|Xzx(γ,τ)|

        取得最大值,峰值搜索可得到時差和尺度差(需減1)。WBCAF可表示成卷積形式頻域快速實(shí)現(xiàn),即

        Xzx(γ,τ)=z(t)?x*(-γt)=F-1{F[z(t)]F*[x(γt)]}

        (3)

        式中:?為卷積符號;F[·],F(xiàn)-1[·]分別為傅里葉變換與逆變換表示符號。由式(3)可知,為計(jì)算兩路接收信號WBCAF,需要設(shè)定尺度因子搜索區(qū)間和間隔,然后根據(jù)不同的尺度因子對第1路信號進(jìn)行“拉伸”或“壓縮”,搜索區(qū)間的擴(kuò)大會導(dǎo)致運(yùn)算量成倍增加。由式(1)可知,如果源信號為單頻信號,則尺度上的差異反映為接收信號頻率上的不同,如果源信號為LFM信號,則反映為調(diào)頻斜率上的不同,通過估計(jì)兩路信號頻率或者調(diào)頻斜率可得SDOA,然后根據(jù)估計(jì)的SDOA對x1(t)進(jìn)行“拉伸”或者“壓縮”,再與x2(t)進(jìn)行時域相關(guān)處理可得TDOA,該改進(jìn)方法雖然能夠顯著減少運(yùn)算量,但當(dāng)源信號為NLFM信號時則不適用。雷達(dá)、通信系統(tǒng)常用NLFM信號包括二次調(diào)頻(QFM)、指數(shù)調(diào)頻(EFM)、雙曲調(diào)頻(HFM)和正弦調(diào)頻(SFM)等[12],復(fù)數(shù)形式依次為

        (4)

        (5)

        (6)

        (7)

        式中:T為時寬,f1,f2分別為4種信號的起始頻率和截止頻率;T0為HFM延時時間。對式(4)~(7)相位求導(dǎo)可得QFM,EFM,HFM和SFM瞬時頻率分別為

        (8)

        (9)

        (10)

        (11)

        2 時間尺度與尺度估計(jì)

        為介紹所提方法,本章引入2個基本概念,即時間尺度(TS)和尺度估計(jì)(SE),然后利用梅林變換(MT)的特例尺度變換(ST)給出TS和SE快速實(shí)現(xiàn)方案。

        2.1 基本概念

        所謂時間尺度,即連續(xù)信號x(t)到y(tǒng)(t)的映射過程[13],可表示為

        (12)

        (13)

        由式(12)可知,當(dāng)0<α<1時,信號時域擴(kuò)張,當(dāng)α>1時,信號時域收縮。根據(jù)傅里葉變換尺度性質(zhì)可知

        (14)

        式中,Y(f),X(f)分別為y(t),x(t)的傅里葉變換,f為頻率自變量。可以看出,對信號進(jìn)行TS還會導(dǎo)致帶寬成比例減小(0<α<1)或增大(α>1),但信號時寬-帶寬積不變[14]。設(shè)連續(xù)信號z(t)=TSα1[x(t)],α1為尺度因子。所謂尺度估計(jì),即z(t)和x(t)已知時對α1的估計(jì),可表示為

        (15)

        (16)

        式中:◇為尺度互相關(guān)符號;*表示共軛轉(zhuǎn)置。由式(2)可知,當(dāng)τ=0時,WBCAF與尺度互相關(guān)函數(shù)近似,區(qū)別在于不同的積分區(qū)間。

        2.2 實(shí)現(xiàn)方法

        尺度變換(ST)是梅林變換(MT)復(fù)自變量實(shí)部取0.5的特例,表達(dá)式[13]為

        (17)

        式中:S{·}為ST表示符號;Df(c)為信號f(t)的ST,c為尺度自變量。逆尺度變換(Inverse Scale Transform,IST)為

        (18)

        式中,S-1{·}為IST表示符號。令t=eu,代入式(17),得到

        (19)

        (20)

        IST同樣可利用IFFT快速實(shí)現(xiàn),得到快速逆尺度變換(Inverse Fast Scale Transform,IFST),計(jì)算過程與FST相反,先計(jì)算Df(c)的逆傅里葉變換,再進(jìn)行對數(shù)采樣。為解決TS快速實(shí)現(xiàn)問題,引用ST尺度不變性,即

        Dz(c)=eicln α1Dx(c)

        (21)

        式中,Dx(c),Dz(c)分別為x(t),z(t)的ST,兩者包絡(luò)相同、相位不同。計(jì)算式(21)的IST,易得

        z(t)=S-1{eicln α1Dx(c);t} 。

        (22)

        利用式(22)可得x(t)在某一尺度因子下的TS后信號。SE同樣利用ST快速實(shí)現(xiàn)[15],具體為

        (23)

        3 基于傅里葉梅林變換的時差/尺度差估計(jì)

        3.1 算法原理

        為介紹本文所提方法,暫不考慮接收機(jī)噪聲,重寫式(1)為

        (24)

        利用傅里葉變換時移不變性消除時差影響,容易得到

        (25)

        式中,X1(f),X2(f)分別為x1(t),x2(t)的傅里葉變換。易知

        (26)

        可以看出,|X2(f)|實(shí)際為|X1(f)|的尺度版本,尺度因子為1/(1+Δα),當(dāng)|X1(f)|和|X2(f)|均已知時,對1/(1+Δα)的估計(jì)屬SE概念,利用式(23)可估計(jì)1/(1+Δα),進(jìn)而得到尺度差Δα,然后對x1(t)進(jìn)行時間尺度(尺度因子取1+Δα),與x2(t)進(jìn)行時域相關(guān)處理可進(jìn)一步估計(jì)TDOA。為直觀顯示,圖1給出了本文所提方法實(shí)現(xiàn)流程。

        圖1 時差/尺度差估計(jì)流程

        3.2 計(jì)算復(fù)雜度

        首先,分析時間尺度的計(jì)算復(fù)雜度。TS實(shí)現(xiàn)過程包含“FST+相位修正+IFST”3個環(huán)節(jié),計(jì)算復(fù)雜度為O[(NlnN)lb(NlnN)],總共需要進(jìn)行3NlnN+NlnN·lb(NlnN)次復(fù)數(shù)乘法。其次,分析SE計(jì)算復(fù)雜度。SE實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵在于計(jì)算尺度互相關(guān)函數(shù),具體需要進(jìn)行2次FST,1次復(fù)數(shù)乘積和1次IFST,計(jì)算復(fù)雜度同樣為O[(NlnN)lb(NlnN)],總共需要進(jìn)行4NlnN+1.5·NlnNlb(NlnN)次復(fù)數(shù)乘法。再次,分析傳統(tǒng)基于寬帶互模糊函數(shù)的時差/尺度差估計(jì)方法計(jì)算復(fù)雜度。對于1個尺度因子,為計(jì)算式(3)需要進(jìn)行1次TS,2次FFT,1次 IFFT和1次點(diǎn)乘,總共需要進(jìn)行MN+1.5MN·lbN+3MNlnN+MNlnNlb(NlnN)次復(fù)乘運(yùn)算,計(jì)算復(fù)雜度為O[(MNlnN)lb(NlnN)],M為尺度因子取值個數(shù)。最后,分析所提方法計(jì)算復(fù)雜度。為估計(jì)尺度差需要進(jìn)行2次FFT和1次SE,而估計(jì)時差需要進(jìn)行1次TS和1次時域相關(guān)處理(2次FFT,1次IFFT和1次點(diǎn)乘),因此,總共需要進(jìn)行N+2.5NlbN+7NlnN+2.5NlnN·lb(NlnN)次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算,計(jì)算復(fù)雜度為O[(NlnN)·lb(NlnN)]。為直觀顯示,設(shè)M分別為10,100和1000,圖2給出了復(fù)乘次數(shù)隨信號采樣點(diǎn)數(shù)變化曲線。所提方法計(jì)算量明顯低于傳統(tǒng)方法。上述分析未考慮峰值搜索環(huán)節(jié),由于傳統(tǒng)方法需要進(jìn)行二維搜索,實(shí)際運(yùn)算量會更大。

        圖2 復(fù)乘次數(shù)隨信號采樣點(diǎn)數(shù)變化曲線

        4 仿真結(jié)果與分析

        4.1 參數(shù)設(shè)置

        輻射源發(fā)射NLFM信號,時寬2.5 μs,帶寬250 MHz,采樣頻率1 GHz,雙星無源定位系統(tǒng)接收的兩路NLFM信號時差/尺度差分別為3.75 μs和0.1,QFM,EFM,HFM和SFM起始頻率和截止頻率分別為10 MHz和260 MHz,HFM延遲時間為1個時域采樣間隔。4種信號時頻分布如圖3所示。

        圖3 NLFM信號時頻分布

        4.2 可行性分析

        以SFM信號時差/尺度差估計(jì)為例,利用2個仿真試驗(yàn)依次對第1章所提WBCAF實(shí)現(xiàn)方法和第3章所提基于傅里葉梅林變換的時差/尺度差估計(jì)方法的可行性進(jìn)行驗(yàn)證。為展示細(xì)節(jié),接收信號中均不添加噪聲(4.3節(jié)將進(jìn)行抗噪效能分析)。

        4.2.1 仿真試驗(yàn)1

        設(shè)接收信號時長為10 μs,兩路接收信號時域波形和頻譜如圖4所示。第2路信號中的SFM信號相比第1路信號中的SFM信號存在時域收縮和頻譜擴(kuò)張現(xiàn)象,與2.1節(jié)中的TS概念一致。

        圖4 接收信號時域波形和頻譜

        設(shè)WBCAF尺度因子取值0.5~1.5,間隔0.01,利用第1章方法,計(jì)算兩路接收信號寬帶互模糊函數(shù),結(jié)果如圖5所示。

        圖5 接收信號寬帶互模糊函數(shù)

        由圖5可以看出,兩路信號WBCAF呈明顯沖擊特性,峰值搜索可得時差和尺度差分別為3.745 μs,0.096,與仿真所設(shè)3.75 μs,0.1基本一致。

        需要注意的是,寬帶互模糊函數(shù)X軸實(shí)際為尺度因子,與尺度差存在減1的關(guān)系,圖5尺度差坐標(biāo)已進(jìn)行減1處理。

        4.2.2 仿真試驗(yàn)2

        按照圖1流程,對所提基于傅里葉梅林變換的時差/尺度差估計(jì)方法可行性進(jìn)行驗(yàn)證。首先,利用2.2節(jié)方法計(jì)算圖4(b)兩路信號頻譜尺度互相關(guān)函數(shù)(SCF)結(jié)果,如圖6所示??梢钥闯?,對頻譜取包絡(luò)時,估計(jì)得到的頻域尺度因子為0.909 2,對應(yīng)時域尺度因子為1.099 9,尺度差為0.099 9,與仿真所設(shè)尺度差一致,而不對頻譜取包絡(luò),估計(jì)結(jié)果完全錯誤。

        圖6 接收信號頻譜尺度互相關(guān)函數(shù)

        根據(jù)估計(jì)的時域尺度因子,對第1路信號進(jìn)行時間尺度,消除尺度差對時差估計(jì)的影響,接收信號時域波形和頻譜如圖7所示。

        圖7 時間尺度后的接收信號時域波形和頻譜

        兩路接收信號中的SFM時寬、帶寬基本一致,不再存在收縮、擴(kuò)展現(xiàn)象。以第1路信號為匹配信號,對第2路信號進(jìn)行相關(guān)處理,結(jié)果如圖8所示,峰值搜索估計(jì)得到時差為3.75 μs,與仿真所設(shè)參數(shù)一致。

        圖8 相關(guān)處理結(jié)果

        4.3 抗噪效能分析

        對傳統(tǒng)基于寬帶互模糊函數(shù)時差/尺度差估計(jì)方法[2-3]和所提基于傅里葉梅林變換的時差/尺度差估計(jì)方法的抗噪效能進(jìn)行驗(yàn)證,使用的評估指標(biāo)為平均相對誤差(MRE)[16-17],同時,為驗(yàn)證所提算法的適用范圍,選取LFM信號(脈寬、初始頻率、截止頻率同4.1節(jié)),4種NLFM信號(QFM,EFM,HFM,SFM)和零均值高斯白噪聲信號(脈寬同4.1節(jié))作為源信號。SNR取值-10~10 dB,間隔1 dB,運(yùn)行蒙特卡羅仿真500次,得到尺度差估計(jì)平均相對誤差隨信噪比變化曲線如圖9所示,圖10為時差估計(jì)平均相對誤差隨信噪比變化曲線。

        圖9 尺度差估計(jì)平均相對誤差隨信噪比變化曲線

        圖10 時差估計(jì)平均相對誤差隨信噪比變化曲線

        傳統(tǒng)方法與所提方法對不同信號形式時差/尺度差估計(jì)效能不盡相同,總體上看,傳統(tǒng)方法更適合低SNR條件,當(dāng)SNR大于-4 dB時,對LFM,QFM,EFM和SFM這4種信號形式尺度差估計(jì)MRE小于5%,時差估計(jì)MRE小于1%,而所提方法則要求SNR大于5 dB,需要注意的是,高SNR條件下所提方法估計(jì)精度要高于傳統(tǒng)方法,原因是計(jì)算WBCAF需人為設(shè)定尺度因子取值范圍和間隔(本節(jié)仿真中,尺度因子取0.5~1.5,間隔0.01),當(dāng)取值范圍一定時,降低間隔能夠提高估計(jì)精度,但同時也意味著更大的計(jì)算量,所提方法不存在此問題。

        同時可以看出,傳統(tǒng)方法對HFM尺度差估計(jì)效果極不理想,不同SNR條件下尺度差估計(jì)MRE大于13%,估計(jì)誤差明顯高于所提方法,分析原因是HFM具備“多普勒不變性”,其寬帶模糊函數(shù)脊線近似為線性,脊線幅度較為接近[18-19],峰值搜索無法準(zhǔn)確估計(jì)時差/尺度差,而所提方法是對信號頻譜包絡(luò)進(jìn)行尺度估計(jì),實(shí)現(xiàn)原理不同。傳統(tǒng)方法與所提方法對噪聲信號尺度差估計(jì)MRE小于5%的臨界SNR分別為2 dB和3 dB,時差估計(jì)MRE小于1%的臨界SNR分別為1 dB和2 dB,兩種方法估計(jì)效能相差不大。

        5 結(jié)束語

        針對雙星無源定位系統(tǒng)中的時差/尺度差估計(jì)問題,提出基于傅里葉梅林變換的寬帶非線性調(diào)頻信號時差/尺度差估計(jì)方法,核心思想是利用傅里葉變換“時移不變性”、梅林尺度變換“尺度不變性”對時差/尺度差進(jìn)行級聯(lián)估計(jì)。仿真表明,當(dāng)SNR大于5 dB時,所提方法能夠準(zhǔn)確估計(jì)4種寬帶非線性調(diào)頻信號時差和尺度差,時差估計(jì)平均相對誤差小于1%,尺度差估計(jì)平均相對誤差小于5%;相比傳統(tǒng)基于寬帶互模糊函數(shù)的時差/尺度差估計(jì)方法,所提方法計(jì)算復(fù)雜度更低;相比基于FRFT的時差/尺度差估計(jì)方法,所提方法可適用LFM,QFM,EFM,HFM和SFM,甚至噪聲脈沖,理論上,所提方法可適用任意信號形式,限于篇幅不做進(jìn)一步仿真。所提方法要求SNR大于5 dB,低SNR條件下的時差/尺度差估計(jì)問題是下一步研究工作的重點(diǎn)。

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