尉晶波， 魏文軍

(蘭州交通大學(xué)，蘭州 730000)

0 引言

協(xié)同輸出調(diào)節(jié)[1]是指設(shè)計一個控制器，在外部系統(tǒng)作用下，多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)對外部系統(tǒng)信號的漸近跟蹤和干擾抑制。多智能體系統(tǒng)的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)有著廣泛應(yīng)用，如編隊控制[2-3]、移動機器人路徑跟蹤[4]和航天器編隊飛行[5]等。在實際系統(tǒng)中，通信速度有限，導(dǎo)致通信產(chǎn)生時延[6]。通信拓?fù)渥兓蜁r延是影響多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性的兩個重要因素，大量文獻(xiàn)研究了拓?fù)渥兓屯ㄐ艜r延對多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

文獻(xiàn)[7-8]解決了拓?fù)淝袚Q和時延下的線性多智能體協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題；文獻(xiàn)[9-11]主要研究了在固定拓?fù)浜吐?lián)合連通拓?fù)淝袚Q下線性定常系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問題，但所提方法無法滿足時變系統(tǒng)，有一定的局限性；文獻(xiàn)[12]提出了基于狀態(tài)反饋和輸出反饋的事件觸發(fā)控制律算法，解決了拓?fù)淝袚Q下異構(gòu)多智能體協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題；文獻(xiàn)[13]為解決線性多智能體狀態(tài)不可測的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題，提出了通過設(shè)計自適應(yīng)分布式觀測器獲取智能體狀態(tài)信息來解決協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題。上述文獻(xiàn)主要研究了線性多智能體系統(tǒng)的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題。然而，由于實際系統(tǒng)主要以非線性系統(tǒng)的形式出現(xiàn)，因此，解決非線性多智能體系統(tǒng)的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題是非常重要的。

文獻(xiàn)[14-15]研究了聯(lián)合連通拓?fù)淝袚Q下非線性多智能體協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題，提出了分布式模糊輸出反饋控制器，解決了多智能體狀態(tài)不可測條件下的系統(tǒng)協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題；文獻(xiàn)[16]研究了二階非線性多智能體通信時延一致性問題，提出了一種僅基于相對位置的分布式一致性協(xié)議，但有一定的局限性；文獻(xiàn)[17-20]提出的T-S模糊模型通過線性局部子系統(tǒng)對非線性系統(tǒng)有很好的近似，不僅有效地描述非線性系統(tǒng)的行為，也展現(xiàn)了線性系統(tǒng)的性質(zhì)。到目前為止，研究拓?fù)淝袚Q和時延下的非線性多智能體協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題的文獻(xiàn)仍較少，尤其是當(dāng)智能體無法獲取外部系統(tǒng)狀態(tài)信息情形下的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題。

基于上述分析，為解決切換拓?fù)浜蜁r延下非線性多智能體無法獲取外部系統(tǒng)狀態(tài)信息的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題，本文提出了分布式狀態(tài)觀測器控制算法和模糊反饋控制策略。

1 圖論

H=D-A

(1)

式中，H=[hi j]∈RN×N，

(2)

存在一個可逆矩陣T，使得T-1HT=Λ=diag(0,λ2,…,λN-1,λN)成立。其中，0<λ2≤…≤λN為矩陣H的特征值。

2 多智能體系統(tǒng)描述

智能體i和外部領(lǐng)導(dǎo)者的動態(tài)方程為

(3)

(4)

式中：xi為智能體i的狀態(tài)向量；ui為控制器；ei為智能體i的系統(tǒng)誤差；Am,Cm,v0,y0分別為外部系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣、輸出矩陣、狀態(tài)量和輸出,Am∈Rn×n,Cm∈Rn×n。

通過模糊隸屬度函數(shù)將不同模糊規(guī)則下的線性子系統(tǒng)光滑連接逼近非線性系統(tǒng)。模糊規(guī)則如下。

(5)

式中:Ai l∈Rn×n，為線性子系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；Bi l∈Rn×1，為控制矩陣；Ci l∈Rn×n，為誤差線性子系統(tǒng)的輸出矩陣；Di l∈Rn×1,為前饋矩陣;xi∈Rn×1；ui∈R1×1；v0∈Rn×1；Ei l∈Rn×n；Fi l∈Rn×n;l=1,2,…,r,r為模糊規(guī)則數(shù)。因此，非線性系統(tǒng)在模糊規(guī)則下描述為如下線性系統(tǒng)

(6)

其中，隸屬度函數(shù)

(7)

(8)

在模糊規(guī)則下，式(6)可簡寫為

(9)

在本文中，切換拓?fù)溆胓σ(t)表示。推導(dǎo)本文結(jié)論前，假設(shè)非線性系統(tǒng)滿足以下假設(shè)和定義。

假設(shè)1 (Ai l,Bi l)是可控的。

假設(shè)2 (Ai l,Ci l)是可觀的。

假設(shè)3 矩陣Am特征值均具有非負(fù)實部。

定義1對于非線性多智能體系統(tǒng)，假設(shè)通信拓?fù)錇橛邢虻?。設(shè)計控制器ui滿足如下條件。

條件1 當(dāng)v0(t)=0時，式(11)閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

則設(shè)計的控制器ui能夠解決系統(tǒng)的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題。

3 拓?fù)淝袚Q時延控制律設(shè)計

為解決拓?fù)淝袚Q和時延下的多智能體協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題，本文設(shè)計了模糊反饋控制器

ui=K1ixi+K2iξi

(10)

和分布式狀態(tài)觀測器拓?fù)淝袚Q時延控制律

(11)

(12)

定理1若滿足假設(shè)3，對于給定正定對(Am,Cm)，存在正定對稱陣P滿足Riccati方程式

(13)

(14)

構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii方程

(15)

對V(t)進(jìn)行求導(dǎo)并應(yīng)用引理1和定義1可得

(16)

(17)

有唯一解(Xi,Ui)。

(18)

(19)

式(12)閉環(huán)系統(tǒng)可寫為

(20)

(21)

(22)

(23)

同理，非線性多智能體誤差方程可以寫成

(24)

(25)

4 仿真算例

非線性系統(tǒng)由4個智能體和1個外部領(lǐng)導(dǎo)者組成。系統(tǒng)切換有向通信拓?fù)淙鐖D1所示。

圖1 切換拓?fù)?/p>

圖中：0表示外部領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)；1,2,3,4表示多智能體。拓?fù)淝袚Q順序為S1→S2→S3→S4→S1。

各智能體的非線性動態(tài)方程為

(26)

外部領(lǐng)導(dǎo)者動態(tài)方程為

(27)

用T-S模糊理論將系統(tǒng)的非線性方程式(26)轉(zhuǎn)化為線性方程。其T-S模糊規(guī)則如下。

(28)

(29)

模糊規(guī)則l對應(yīng)的隸屬度函數(shù)為

(30)

繪制在式(10)、式(11)控制律作用下的非線性智能體各狀態(tài)圖和誤差圖。

1) 時延參數(shù)τ=0 s時，控制律作用下的結(jié)果如圖2所示。

圖2 τ=0 s時控制律作用下系統(tǒng)誤差和系統(tǒng)輸出

2) 時延參數(shù)τ≠0 s時，控制律作用下的結(jié)果如圖3所示。

圖3 τ≠0 s時控制律作用下系統(tǒng)誤差

對比圖3(a)～3(c)可知，非線性多智能體系統(tǒng)在不同時延參數(shù)下達(dá)到穩(wěn)定的時間不同。由圖2(a)可知，當(dāng)時延參數(shù)τ=0 s時，多智能體大約在第10 s跟蹤到外部領(lǐng)導(dǎo)者。由圖3(b)可知，當(dāng)時延參數(shù)τ=0.5 s時，多智能體在第16 s左右跟蹤到外部領(lǐng)導(dǎo)者，誤差為零。由圖3(c)可知，當(dāng)時延參數(shù)τ=0.785 s≥τmax時，非線性多智能體跟隨者不能跟蹤到外部領(lǐng)導(dǎo)者信號，系統(tǒng)無法達(dá)到穩(wěn)定。

5 結(jié)束語

本文研究了拓?fù)淝袚Q和時延條件下的非線性多智能體協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題。為使?fàn)顟B(tài)不可測情況下跟隨者能夠跟蹤到外部領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)，設(shè)計了式(10)模糊反饋控制器和式(11)分布式時延狀態(tài)觀測器控制律，并用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明：多智能體跟隨到外部領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)所需的時間與時延參數(shù)τ有關(guān)。時延參數(shù)τ越大，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定所需時間越長；當(dāng)時延參數(shù)τ大于時延上限值時，非線性多智能體系統(tǒng)最終無法達(dá)到穩(wěn)定。