方晟浩，肖 堯，李 平，郭洪鵬

（1.蘭州交通大學(xué)交通運輸學(xué)院，蘭州 730070；2.中鐵第一勘察設(shè)計院集團有限公司線路運輸院，西安 710043；3.中國鐵路設(shè)計集團有限公司線路站場樞紐設(shè)計研究院，天津 300308）

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)魯棒性分析是研究在蓄意或隨機攻擊下網(wǎng)絡(luò)的抗毀能力與穩(wěn)定性.目前對魯棒性的研究主要集中于靜態(tài)魯棒性分析與動態(tài)魯棒性分析兩個方面.通過移除一部分邊或節(jié)點分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)連通性的方法被稱為靜態(tài)魯棒性分析；通過分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中雪崩效應(yīng)與級聯(lián)效應(yīng)的方法被稱為動態(tài)魯棒性分析.對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的攻擊方式一般分為蓄意攻擊與隨機攻擊兩種，蓄意攻擊通過刪除復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中重要的節(jié)點與邊達到攻擊目的，隨機攻擊則是隨機挑選節(jié)點與邊刪除以達到攻擊目的.

國內(nèi)外學(xué)者對城市交通網(wǎng)絡(luò)的魯棒性做了深入的研究，諸多學(xué)者提出若干種針對城市交通網(wǎng)絡(luò)魯棒性指標的衡量標準，其中，沿用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域的分析方法較為主流.強添綱等［1］采用原始映射法構(gòu)建了包括小汽車網(wǎng)絡(luò)、地面公交網(wǎng)絡(luò)和軌道交通網(wǎng)絡(luò)三者疊加而成的城市多模式交通網(wǎng)絡(luò)模型.Duan等［2］以三種不同粒度的路網(wǎng)模型：基于分段模型、基于stroke模型和基于社區(qū)模型，分別研究了點狀、線性和帶狀交通中斷下路網(wǎng)的響應(yīng).趙玲等［3］采用基于角度綜合的對偶方法進行路網(wǎng)建模處理路網(wǎng)空間數(shù)據(jù)和計算統(tǒng)計指標，分析其小世界特性、無標度特性以及同配異配性、網(wǎng)絡(luò)彈性等結(jié)構(gòu)特性.崔文巖等［4］以負載重分配動力學(xué)過程有重要影響的節(jié)點度和介數(shù)兩種指標作為構(gòu)建依據(jù)，提出一種節(jié)點度和介數(shù)相關(guān)邊權(quán)的網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)抗毀性模型.馮霞等［5］將中國航空網(wǎng)絡(luò)建模成無向加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，在分析航空網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)特性的基礎(chǔ)上，研究分析了航空網(wǎng)絡(luò)的魯棒性.王爾申等［6］提出了基于邊攻擊成本的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究方法，通過將邊的攻擊成本因素考慮在內(nèi)，結(jié)合兩種人工合成網(wǎng)絡(luò)和四種真實網(wǎng)絡(luò)對每個網(wǎng)絡(luò)的魯棒性進行了深入研究.Hong等［7］提出了一種改進魯棒性指標R的計算效率的方法，即當失效節(jié)點的值達到臨界閾值qc時，引入一種計算效率較高的魯棒性測度R′.Holme等［8］對現(xiàn)有的幾種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型以及科學(xué)協(xié)作和互聯(lián)網(wǎng)的現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)進行了數(shù)值研究，并用最大連通子圖的大小來定量測量網(wǎng)絡(luò)性能.田晶等［9］基于大樣本城市道路網(wǎng)的魯棒性及受不同魯棒性模型、不同攻擊測量的影響作出分析.金成菲等［10］為了評價公共交通在高峰時段的運行狀態(tài)，研究交通擁堵影響下公交網(wǎng)絡(luò)的魯棒性.基于Python技術(shù)，獲取平臺分析車輛出行大數(shù)據(jù)得出的擁堵指數(shù)，以擁堵指數(shù)作為權(quán)值，構(gòu)建了公交線網(wǎng)無向加權(quán)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).雷永霞等［11］針對我國高速鐵路客運專線運輸網(wǎng)絡(luò)受到站點攻擊時邊權(quán)值對網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，依據(jù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，利用Pajek軟件建立了高速鐵路客運專線無向加權(quán)運輸網(wǎng)絡(luò)模型，利用Matlab分析了該網(wǎng)絡(luò)模型在隨機站點攻擊和蓄意站點攻擊下的連通魯棒性和功能魯棒性評價指標.

魯棒性分析是通過對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點進行攻擊達到的，城市交通網(wǎng)絡(luò)通過原圖法（primal approach，PA）所組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點代表道路交叉口，邊表示城市道路.本文在傳統(tǒng)的攻擊節(jié)點方法的基礎(chǔ)上，提出了結(jié)合復(fù)合邊權(quán)重的對邊攻擊策略模型，該模型既體現(xiàn)了路口在整體城市交通網(wǎng)絡(luò)中的連接度，同時顧及最短路徑通過每條道路的次數(shù)，在城市交通網(wǎng)絡(luò)的魯棒性分析中更貼合實際，并最大限度的保留了城市交通網(wǎng)絡(luò)的布局特點.

1 網(wǎng)絡(luò)研究方法

1.1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基本屬性

構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)模型之前對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本屬性進行介紹，以便后文分析使用.

1）網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度也被稱為網(wǎng)絡(luò)的特征路徑長度，用來界定一個網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點對之間的最短路徑的平均長度，可通過公式表達為：

式中：n為節(jié)點總數(shù)；dij為節(jié)點i與節(jié)點j間的最短路徑長度．i，j∈ n，n=1，2，…，n．

2）加權(quán)網(wǎng)絡(luò)效率是指加權(quán)網(wǎng)絡(luò)在被攻擊導(dǎo)致本身的構(gòu)成發(fā)生了變化后對最短路徑產(chǎn)生的影響，在計算最短路徑時應(yīng)考慮兩點間最短路徑所涉及的邊的權(quán)重，若兩點間不存在最短路徑則將長度表示為無窮大，兩個節(jié)點之間的效率通過計算兩點間最短路徑長度的倒數(shù)表示，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)效率則通過計算所有節(jié)點之間效率的平均值得出，可通過公式表達為：

3）節(jié)點介數(shù)代表網(wǎng)絡(luò)中所有經(jīng)過某節(jié)點的最短路徑數(shù)占最短路徑總數(shù)的比例，節(jié)點介數(shù)的提出彌補了節(jié)點度對于節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中重要性描述不夠精確的問題，反映了該節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中的重要性，可通過公式表達為：

式中：njk為節(jié)點 j、k之間最短路徑的總數(shù)；njk（i）為經(jīng)過節(jié)點i的j、k間最短路徑的數(shù)量．

4）最大連通子圖（maximal connected subgraph，MCS）表示把網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點用最少的邊將其連接起來的子圖，因其具有不唯一性所以也可稱為極大連通子圖.通常作為判斷網(wǎng)絡(luò)的連通性的指標［12-15］.

1.2 網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建方法

城市交通網(wǎng)絡(luò)根據(jù)其拓撲特性抽象為網(wǎng)絡(luò)模型的方法有兩種：原圖法和對偶法（dual approach，DA）.原圖法是一種將城市道路之間的交叉抽象為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點，將交叉間的路段抽象為連接節(jié)點的邊的建模方法；對偶法一般指原圖法的對偶，是一種將城市的道路抽象為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點，將城市道路間的相連關(guān)系抽象為連接節(jié)點的邊的建模方法.

在實際應(yīng)用過程中，上述兩種網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建方法各有優(yōu)劣.原圖法構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)最大限度的保留了城市交通網(wǎng)絡(luò)的布局特點，能夠精確的表現(xiàn)城市交通網(wǎng)絡(luò)的地理布局，但是在表達道路之間潛在的連接關(guān)系上不夠明確.對偶法構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)將道路間的連接關(guān)系表達得十分清楚，但是忽略了城市交通網(wǎng)絡(luò)的空間特性導(dǎo)致這種方法喪失了直觀性.在兩種方法的比對權(quán)衡后，本文選用原圖法進行網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建與分析.

1.3 邊加權(quán)方法

現(xiàn)實世界中大部分網(wǎng)絡(luò)都是加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中邊的權(quán)重通常表示這條邊的承載能力或與節(jié)點間的聯(lián)系程度．可以用V=（N，W）描述加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，其中N為節(jié)點數(shù)，W為邊的權(quán)重，可構(gòu)建其加權(quán)鄰接矩陣W =（wij）n*n，其中 i，j=1，2，…，N．

目前定義邊權(quán)重的主流方法有兩種，分別是節(jié)點度法及節(jié)點介數(shù)法．其中節(jié)點度法的主要思路是將與邊相連的兩個節(jié)點的度k相乘以得到邊權(quán)重，可通過公式表達為：

介數(shù)法則是通過與邊相連的兩個節(jié)點的介數(shù)相乘得到的，這種方法的優(yōu)點是能夠更準確的反應(yīng)邊在網(wǎng)絡(luò)中的重要程度，可通過公式表達為：

再結(jié)合式（4）與式（5）綜合考慮節(jié)點的度與介數(shù)后可得出復(fù)合邊權(quán)重的計算可通過公式表達為：

式中：θ為可調(diào)的權(quán)重參數(shù)，文獻［4-7］中總結(jié)出當θ?1時臨界閾值最小；α為比重系數(shù)，0≤α≤1，當α=0表示邊的權(quán)重僅與節(jié)點的度相關(guān)，當α=1表示邊的權(quán)重僅與節(jié)點的介數(shù)相關(guān)．

2 實驗及分析

2.1 網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)及構(gòu)建

在實驗中本文選用2019年8月天津市中心路段交通地圖構(gòu)建城市交通網(wǎng)絡(luò)，以ArcGIS10.8作為空間數(shù)據(jù)的采集平臺，首先提取可編輯的路網(wǎng)數(shù)據(jù)，經(jīng)過拓撲檢查處理懸掛點、偽結(jié)點、孤立路段與冗余路段，得到一個包含366個道路交叉口與703個路段的天津市中心路網(wǎng)圖，隨后通過原圖法將每個道路交叉口抽象為節(jié)點，路段抽象為邊，得到相應(yīng)的路網(wǎng)圖與連接圖如圖1所示.

圖1 天津市中心路網(wǎng)圖及其拓撲關(guān)系圖Fig．1 Tianjin center road network and its topological relationship

2.2 計算分析網(wǎng)絡(luò)特征值

根據(jù)連接圖，結(jié)合Python編寫特征值計算程序可得該網(wǎng)絡(luò)的最大度、最小度、密度與平均度，并分別采用式（1）、式（2）得到該路網(wǎng)的群聚系數(shù)與平均路徑長度如表1所列.

表1 網(wǎng)絡(luò)特征值計算結(jié)果Tab．1 Calculation results of network eigenvalues

2.3 計算邊權(quán)重

首先以節(jié)點度法對天津市中心路網(wǎng)中所包含的703條邊進行加權(quán)，將網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點進行編號，計算構(gòu)成一條邊的兩個節(jié)點a與b各自的度并結(jié)合式（4）進行相乘處理，而后將所得結(jié)果歸一化處理得到邊的節(jié)點度權(quán)重，部分結(jié)果如表2所列.

表2 節(jié)點度法權(quán)重計算結(jié)果Tab．2 Node degree method weight calculation result

其次以介數(shù)法對網(wǎng)絡(luò)中的邊加權(quán)，計算構(gòu)成一條邊的兩個節(jié)點各自的介數(shù)并結(jié)合式（5）進行相乘處理，隨后將所得結(jié)果歸一化處理得到邊的介數(shù)權(quán)重，部分結(jié)果如表3所列.

表3 介數(shù)法權(quán)重計算結(jié)果Tab．3 Calculation result of betweenness method weight

最后以復(fù)合權(quán)重法對網(wǎng)絡(luò)中的邊加權(quán)，結(jié)合式（6）對節(jié)點度法權(quán)重與介數(shù)法權(quán)重進行計算，取α=0．3，θ=1，得到邊的復(fù)合權(quán)重如表4所列.

表4 復(fù)合法權(quán)重計算結(jié)果Tab．4 Com pound method weight calculation result

2.4 魯棒性分析

魯棒性（robustness）由其英文音譯而來，也可稱為抗毀性、穩(wěn)健性、強健性，是系統(tǒng)的抗毀能力，它是在異常和危險情況下系統(tǒng)生存的關(guān)鍵，是指系統(tǒng)在一定的攻擊策略下，維持某些性能的特性.本文采用網(wǎng)絡(luò)效率與文獻［15-17］提出的通過最大聯(lián)通子圖衡量攻擊后網(wǎng)絡(luò)性能的方法.

本文通過最大連通子圖的相對大小S作為衡量網(wǎng)絡(luò)連通魯棒性的評價標準，其計算公式如下：

式中：N為未遭受攻擊時網(wǎng)絡(luò)中的初始節(jié)點總數(shù)；M為該網(wǎng)絡(luò)遭受攻擊后最大連通子圖中所包含的節(jié)點數(shù)．

本文采用隨機攻擊策略、基于度權(quán)重的邊攻擊策略、基于介數(shù)權(quán)重的邊攻擊策略與基于復(fù)合權(quán)重的邊攻擊策略四種方法對天津市中心路網(wǎng)進行攻擊以分析其魯棒性.

圖2給出了天津市中心城區(qū)交通網(wǎng)中邊分別受到隨機攻擊與蓄意攻擊（度攻擊、介數(shù)攻擊與復(fù)合攻擊）后，最大聯(lián)通子圖相對大小S的變化，圖中的橫坐標f表示網(wǎng)絡(luò)的損毀程度，即在網(wǎng)絡(luò)中受到攻擊的邊數(shù)與初始網(wǎng)絡(luò)中總邊數(shù)的比值.隨著網(wǎng)絡(luò)中被攻擊的邊的數(shù)量增加，逐漸出現(xiàn)了被孤立的節(jié)點，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的最大連通子圖的規(guī)模不斷的縮減直至網(wǎng)絡(luò)崩潰.分析圖2可知，在隨機攻擊的策略下，當網(wǎng)絡(luò)的損毀程度接近1時，最大連通子圖的相對大小才接近于0；在度攻擊策略下，網(wǎng)絡(luò)的損毀程度接近0.8時，最大連通子圖的相對大小接近0；而在介數(shù)攻擊與復(fù)合攻擊策略下，網(wǎng)絡(luò)損毀程度接近0.7時，最大連通子圖的相對大小接近0.同時在邊損毀至35%時，在介數(shù)攻擊策略下網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖的相對大小呈斷崖式下降；而在邊損毀至40%時，在度攻擊策略下網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖的相對大小呈斷崖式下降，如圖2所示.

圖2 最大連通子圖與邊刪除比例關(guān)系圖Fig．2 Ratio of the largest connected subgraph to the removed edges

圖3 給出了天津市中心城區(qū)交通網(wǎng)中邊分別受到隨機攻擊與蓄意攻擊（度攻擊、介數(shù)攻擊與復(fù)合攻擊）后，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)效率Ew的變化.網(wǎng)絡(luò)在初始狀態(tài)時，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)效率為0.13，在隨機攻擊的策略下，當網(wǎng)絡(luò)的損毀程度接近1時，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)效率才接近于0；在蓄意攻擊的策略下，當網(wǎng)絡(luò)的損毀程度接近0.8時，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)效率接近于0，如圖3所示.

圖3 加權(quán)網(wǎng)絡(luò)效率與邊刪除比例關(guān)系圖Fig．3 Scale of weighted network efficiency vs．removed edges

上述分析可得，網(wǎng)絡(luò)在蓄意攻擊下魯棒性明顯變?nèi)酰瑫r在網(wǎng)絡(luò)損毀至不同階段時，度攻擊策略與介數(shù)攻擊策略都會使網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖的相對大小呈現(xiàn)斷崖式下降.在單個邊受到攻擊時，整體網(wǎng)絡(luò)的魯棒性變化并不明顯.

3 結(jié)論

本文將天津市中心城區(qū)交通網(wǎng)絡(luò)抽象建模成無向加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，通過拓撲結(jié)構(gòu)特性研究分析其魯棒性.利用本文涉及的多種邊攻擊策略，經(jīng)計算分析可得出如下結(jié)論：

1）在大部分邊受到隨機攻擊從而導(dǎo)致失效時，天津市中心城區(qū)交通網(wǎng)絡(luò)仍可以保持相對穩(wěn)定的連接，魯棒性較為優(yōu)秀，然而在蓄意攻擊策略下，當受到攻擊的邊達到60%～80%時整個網(wǎng)絡(luò)便會崩潰癱瘓.同時，部分權(quán)重較大的邊對網(wǎng)絡(luò)的整體連通性起到至關(guān)重要的作用，這些道路失效會使網(wǎng)絡(luò)的連通性急速下降.

2）加權(quán)邊介數(shù)攻擊與加權(quán)度攻擊對網(wǎng)絡(luò)的破壞性較強，且復(fù)合權(quán)重攻擊策略可以兼顧上述兩種蓄意攻擊的模式.

3）通過對造成網(wǎng)絡(luò)連通性斷崖式下降的邊進行分析與識別，發(fā)現(xiàn)天津市中心干道（如南京路、衛(wèi)津路等）的魯棒性明顯較差，應(yīng)對關(guān)鍵道路采取有效的防護措施并及時進行日常維護，降低突發(fā)災(zāi)害事件對城市交通網(wǎng)絡(luò)連通性的影響從而降低損失.

本文只考慮了結(jié)合復(fù)合權(quán)重邊的攻擊策略，如何結(jié)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)并考慮網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效性以及其他因素對網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，還有待進一步的研究.