郭 萍

（武漢交通職業(yè)學(xué)院智能制造學(xué)院，湖北 武漢 430065）

在中國(guó)制造2025 的背景下，工業(yè)機(jī)器人技術(shù)進(jìn)一步發(fā)展。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模仿真技術(shù)可以動(dòng)態(tài)描述機(jī)器人關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)特性，直觀地顯示機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)情況，對(duì)機(jī)器人的軌跡規(guī)劃和運(yùn)動(dòng)控制研究有重大意義。

1 DH 建模意義

工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述就是如何在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的情況下確定末端執(zhí)行器的位姿。機(jī)械臂是由一系列關(guān)節(jié)和連桿組成，關(guān)節(jié)和連桿之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，末端執(zhí)行器將隨著關(guān)節(jié)和連桿運(yùn)動(dòng)，其位姿描述的是一種動(dòng)態(tài)關(guān)系。為清晰地表達(dá)這種關(guān)系，需要確定關(guān)節(jié)、各連桿和末端執(zhí)行器之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系。

建立坐標(biāo)系可以方便描述運(yùn)動(dòng)關(guān)系，以機(jī)器人末端執(zhí)行器尖端一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描述為例，尖端點(diǎn)相對(duì)末端的位置與末端執(zhí)行器的尺寸有關(guān)，與連桿無(wú)關(guān)，如果在機(jī)器人末端上面建立一個(gè)空間坐標(biāo)系，那么很容易在該坐標(biāo)系下描述尖端點(diǎn)的位置。然而，連桿和關(guān)節(jié)是運(yùn)動(dòng)的，尖端點(diǎn)相對(duì)于連桿和基座的坐標(biāo)卻是不固定的，因此還需要在連桿上建立坐標(biāo)系，明確連桿坐標(biāo)系和末端坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。簡(jiǎn)單、清晰地描述坐標(biāo)系間轉(zhuǎn)換關(guān)系的關(guān)鍵在于建立坐標(biāo)系。

機(jī)器人關(guān)節(jié)一般有6 個(gè)，連桿也有多個(gè)，需要建立多個(gè)坐標(biāo)系。為避免坐標(biāo)系之間的關(guān)系復(fù)雜多樣，須統(tǒng)一坐標(biāo)系的規(guī)則，并且坐標(biāo)系的參數(shù)要盡可能少，根據(jù)該原則，DH參數(shù)法是比較合適機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的模型。DH 參數(shù)法分標(biāo)準(zhǔn)型和改進(jìn)型，其模型中的每個(gè)連桿坐標(biāo)系只需要4 個(gè)參數(shù)，因此被廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人建模。

2 標(biāo)準(zhǔn)型DH 建模方法

標(biāo)準(zhǔn)型DH 參數(shù)法是目前機(jī)器人建模的一般方法，是一種描述連桿坐標(biāo)系的簡(jiǎn)單且有效的方法，適用于任何機(jī)器人結(jié)構(gòu)。

首先，標(biāo)準(zhǔn)型DH 參數(shù)法建模確定各個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系間的變化關(guān)系。其次，將所有坐標(biāo)間的變化結(jié)合起來(lái)。最后，推導(dǎo)末端坐標(biāo)系與基座的關(guān)系。如圖1 所示是機(jī)器人中的2 個(gè)相鄰連桿，在關(guān)節(jié)處按照DH 參數(shù)法建立坐標(biāo)系。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)型DH 模型連桿坐標(biāo)系描述

根據(jù)坐標(biāo)系建立原則（關(guān)節(jié)軸+1 軸線方向?yàn)?span id="3vvtbt5" class="emphasis_italic">Z，關(guān)節(jié)軸和+1 的公垂線所在直線為X，右手法則確定Y軸）可知，X垂直于關(guān)節(jié)軸，X也垂直于關(guān)節(jié)軸，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，關(guān)節(jié)軸垂直于異面直線X和X所在的平面。如果異面直線X和X的夾角為θ，那么坐標(biāo)系O繞著Z轉(zhuǎn)動(dòng)θ后，X與X平行。接著，沿著Z移動(dòng)距離d，X和X重合。下一步，沿著X移動(dòng)距離a，不僅X與X重合，坐標(biāo)系O與O的原點(diǎn)也重合，最后繞著X轉(zhuǎn)動(dòng)α，Z和Z重合, 坐標(biāo)系O和O完全重合。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)該坐標(biāo)系地轉(zhuǎn)換過(guò)程，如公式（1）所示。

將公式（1）展開(kāi)得到任意相鄰坐標(biāo)系的變換矩陣，如公式（2）所示。

該變換矩陣可以將坐標(biāo)系O映射到O。在每個(gè)連桿上都建立一個(gè)坐標(biāo)系，然后用上述變換關(guān)系找到相鄰連桿之間的變換關(guān)系，就可以描述機(jī)器人末端點(diǎn)在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，即DH 參數(shù)法僅用、、和這4 個(gè)參數(shù)就能描述坐標(biāo)變換。

3 改進(jìn)型DH 建模方法

與標(biāo)準(zhǔn)型DH 建模法不同，改進(jìn)型DH 坐標(biāo)系不是建立在傳動(dòng)軸上的，而是建立在連桿的驅(qū)動(dòng)軸上，即靠近基座一側(cè)的關(guān)節(jié)軸上。2 種建模法坐標(biāo)系描述的區(qū)別如圖2、圖3所示。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)型DH 坐標(biāo)系

圖3 改進(jìn)型DH 坐標(biāo)系

改進(jìn)型DH 建模法的關(guān)節(jié)、連桿和坐標(biāo)系按照從基座到末端執(zhí)行器的方向排列，其順序?yàn)殛P(guān)節(jié)1、與關(guān)節(jié)1 并列的連桿1 坐標(biāo)系、連桿1 以及關(guān)節(jié)2，以此類(lèi)推。

對(duì)傳統(tǒng)的串聯(lián)機(jī)器人來(lái)說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)型DH 建模方法受到大多數(shù)研究者的青睞。但是對(duì)非串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機(jī)器人來(lái)說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)型DH 建模法并不適用。例如1 個(gè)連桿同時(shí)存在2 個(gè)傳動(dòng)軸，分別連接2 個(gè)連桿，如圖4 所示。設(shè)關(guān)節(jié)1 和基座之間的連桿編號(hào)為0，參考坐標(biāo)系編號(hào)為0。按照標(biāo)準(zhǔn)型DH 建模法，連桿的坐標(biāo)系在傳動(dòng)軸上面，那么連桿坐標(biāo)系3 將與參考坐標(biāo)系0 重合，即在關(guān)節(jié)1 處將同時(shí)建立2 個(gè)坐標(biāo)系，會(huì)引起歧義。而采用改進(jìn)型DH 建模方法，連桿的坐標(biāo)系在驅(qū)動(dòng)軸上面，各個(gè)連桿坐標(biāo)不會(huì)出現(xiàn)重合的問(wèn)題，如圖5 所示。

圖4 非串聯(lián)結(jié)構(gòu)機(jī)器人的標(biāo)準(zhǔn)型DH 建模坐標(biāo)描述

圖5 非串聯(lián)結(jié)構(gòu)機(jī)器人的改進(jìn)型DH 建模坐標(biāo)描述

不管機(jī)器人結(jié)構(gòu)多復(fù)雜，每個(gè)連桿只有1 個(gè)驅(qū)動(dòng)軸，改進(jìn)型DH 參數(shù)法都可以準(zhǔn)確的建立坐標(biāo)系，可解決多個(gè)傳動(dòng)軸坐標(biāo)系無(wú)法準(zhǔn)確建立的問(wèn)題。與標(biāo)準(zhǔn)型DH 建模法相比，改進(jìn)型DH 建立坐標(biāo)系的位置發(fā)生了變化，連桿之間的變換關(guān)系自然也有相應(yīng)的變化，由數(shù)學(xué)坐標(biāo)變換知識(shí)可得，改進(jìn)型DH 坐標(biāo)系相鄰連桿之間的變換關(guān)系如公式（3）所示。

將公式（3）展開(kāi)得任意相鄰坐標(biāo)系的變換矩陣，如公式（4）所示。

4 DH 建模的分析與驗(yàn)證

SCARA 是關(guān)節(jié)型機(jī)器人，其具有作業(yè)速度快、效率高的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活中。SCARA 采用1 個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)和3 個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，3 個(gè)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)則控制末端執(zhí)行器前后、左右運(yùn)動(dòng)，平面上具有很好的靈活性。為準(zhǔn)確地描述標(biāo)準(zhǔn)型DH 建模法和改進(jìn)型DH 建模法的差異，該文針對(duì)SCARA 機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模并對(duì)比仿真。SCARA 各個(gè)連桿上的坐標(biāo)系描述如圖6、圖7 所示。

圖6 標(biāo)準(zhǔn)型DH 模型連桿坐標(biāo)描述

圖7 改進(jìn)型DH 模型連桿坐標(biāo)描述

由坐標(biāo)系間的關(guān)系可推出DH 參數(shù)表，分別見(jiàn)表1、表2。其中，、、和為變量，其余參數(shù)均為固定值。

表1 標(biāo)準(zhǔn)型DH 參數(shù)

表2 改進(jìn)型DH 參數(shù)

根據(jù)DH 建模法，SCARA 機(jī)器人末端執(zhí)行器相對(duì)基座的坐標(biāo)如公式（5）所示。

分別將標(biāo)準(zhǔn)型和改進(jìn)型DH 參數(shù)帶入公式（2）和公式（4）并進(jìn)一步求得總變換矩陣，經(jīng)推算，標(biāo)準(zhǔn)型DH 建模法和改進(jìn)型DH 建模法得到的總變換矩陣一致，如公式（6）所示。

理論上，通過(guò)總變換矩陣可推算出末端執(zhí)行器的坐標(biāo)，便可進(jìn)一步描述末端執(zhí)行器相對(duì)于參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)?？傋儞Q矩陣一致說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)型和改進(jìn)型DH 建模在描述末端執(zhí)行器模型，如圖8 所示，通過(guò)對(duì)比再次證明2 種DH 參數(shù)仿真模型的一致性。根據(jù)所建立模型，采用多項(xiàng)式進(jìn)行軌跡規(guī)劃并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，結(jié)果表明2 種模型所得到的末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡是一樣的，如圖9 所示。因此，不論是標(biāo)準(zhǔn)型DH 建模還是改進(jìn)型DH 建模，盡管連桿的坐標(biāo)系描述不一樣，但是最終的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述效果是一樣的。

圖8 SCARA 機(jī)器人的SDH 和MDH 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

圖9 SCARA 末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡

5 結(jié)語(yǔ)

該文通過(guò)研究標(biāo)準(zhǔn)型和改進(jìn)型DH 參數(shù)建模法，以SCARA 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與仿真為例，得出2 種參數(shù)建模法在理論和仿真效果上具有一致性的結(jié)論，因此，對(duì)一般的串聯(lián)機(jī)器人來(lái)說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)型DH 和改進(jìn)型DH 模型沒(méi)有優(yōu)劣之分。然而隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，機(jī)器人的結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜，對(duì)的運(yùn)動(dòng)方面的效果是一樣的。

為進(jìn)一步驗(yàn)證效果的一致性，采用MATLAB 分別搭建基于標(biāo)準(zhǔn)型DH 參數(shù)（SDH）和改進(jìn)型DH 參數(shù)（MDH）的樹(shù)結(jié)構(gòu)、閉環(huán)結(jié)構(gòu)這種非串聯(lián)型機(jī)器人來(lái)說(shuō)，改進(jìn)型DH 模型可以避免坐標(biāo)系歧義問(wèn)題，更準(zhǔn)確地描述機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，更適合在運(yùn)動(dòng)學(xué)建模中應(yīng)用。