215600 江蘇省張家港市實驗學校(籌建) 張 林

主體間性又稱交互主體性、共主體性等，是現(xiàn)代西方哲學的一個核心概念

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主體間性教育理論認為教師和學生都是教學活動的主體，教學資源是教學活動的客體，倡導教師、學生、教學資源等教育主客體之間的互動交往行為，構(gòu)建“主體中介客體主體”的教學關(guān)系

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教育部最新修訂的《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下簡稱“新課標”)指出：“有效的教學活動是學生學和教師教的統(tǒng)一，學生是學習的主體， 教師是學習的組織者、引導者與合作者

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”由此可以發(fā)現(xiàn)，主體間性教育理論思想和新課標具有一致性

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教師不僅要明確教學內(nèi)容，更要懂得如何組織、引導學生學習，教學不再是單向的“我教你學”活動，而是在師生相互理解、雙向互動、主動對話、平等和諧的交往中，共同對中介客體進行研究和學習的合作活動

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筆者以在蘇州市名師共同體活動中開設的蘇科版教材數(shù)學八年級上冊“一次函數(shù)的圖像(1)”的公開課教學為例，闡述主體間性理論下的教學實踐與思考

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1 教學分析

1.1 問題梳理

在平時的教學觀察和文獻研讀中，筆者發(fā)現(xiàn)“一次函數(shù)的圖像(1)”教學中存在以下問題

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一是教學功利化，忽視教學過程，缺乏平等互動，將基本技能的掌握作為重要的教學目標，急于求成，探究活動流于形式，往往只關(guān)注學生是否掌握畫一次函數(shù)圖像的方法

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二是生長性不足，知識的生成、生長不夠自然，例如未明確為什么要畫圖像，為什么要列表，點從何來，為什么要連線，如何連線，直線還是曲線，如何說明一次函數(shù)的圖像是一條直線等問題

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三是關(guān)聯(lián)性不足，教學的起點把握不準，即知識的本源定位不精準，割裂了前后知識間的延續(xù)性和關(guān)聯(lián)性，使教學引入環(huán)節(jié)顯得突兀

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1.2 學材研讀

新課標中對一次函數(shù)圖像的教學要求是：“能畫一次函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像和表達式

y

=

kx

+

b

(

k

≠0)探索并理解

k

>0和

k

<0時，圖像的變化情況”

.

“6

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3 一次函數(shù)的圖像(1)”主要設置了以下教學內(nèi)容

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一是現(xiàn)實情境，呈現(xiàn)熏香燃燒的圖片、待填寫的表格、平面直角坐標系，提出五點是否共線的問題；二是知識生成，明確列表、描點、連線三個畫圖像的一般步驟，初步感受一次函數(shù)

y

=2

x

+1的圖像畫法及特征；三是畫法遷移，用上面的方法畫出一次函數(shù)

y

=-

x

+2的圖像，確定一次函數(shù)的圖像是一條直線；四是畫法優(yōu)化，將一般畫法優(yōu)化為“兩點法”，用“兩點法”畫一次函數(shù)

y

=-3

x

+3的圖像；五是練習鞏固，畫出一次函數(shù)的圖像并判斷點是否在函數(shù)圖像上，初步體悟兩直線的位置和數(shù)量關(guān)系

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從課程目標看，本節(jié)課的教學核心是能畫出一次函數(shù)的圖像，教材提供的情境包括現(xiàn)實情境和數(shù)學情境，教師應基于學生的認知基礎，合理做出取舍或整合，以發(fā)揮學材的教學功能

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1.3 認知基礎

在本課學習前，學生已經(jīng)學習了平面直角坐標系(知道在平面直角坐標系中用有序?qū)崝?shù)對描述點的位置及其變化趨勢)、函數(shù)、函數(shù)的圖像、一次函數(shù)等知識，初步了解函數(shù)的三種表達形式，了解函數(shù)圖像的現(xiàn)實意義，為本節(jié)課一次函數(shù)的圖像學習奠定基礎

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學生存在的認知障礙主要是對函數(shù)關(guān)系式與函數(shù)圖像之間的關(guān)系認識尚淺，尚未有過畫函數(shù)圖像的經(jīng)歷，正確畫出函數(shù)圖像存在一定的困難

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1.4 教學目標

經(jīng)歷一次函數(shù)圖像的生成過程，掌握畫一次函數(shù)圖像的一般步驟并能畫出圖像；理解一次函數(shù)的圖像是一條直線；會選取兩個適當?shù)狞c畫出一次函數(shù)的圖像

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2 教學設計

2.1 先行組織

問題1

填空：(1)一次函數(shù)的表達式為________，正比例函數(shù)的表達式為________；(2)在平面直角坐標系中，以函數(shù)的________的值為橫坐標、對應的________為縱坐標的________所組成的圖形叫做這個函數(shù)的________

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教學說明：

心理學家奧蘇貝爾指出，“影響學習的最重要因素是學生已經(jīng)知道了什么，我們應當根據(jù)學生已有的知識經(jīng)驗去進行教學”

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“函數(shù)的圖像”概念是本節(jié)課教學的出發(fā)點和生長點，是學生認知經(jīng)驗的核心內(nèi)容

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學生只有理解了函數(shù)圖像的概念，才能理解一次函數(shù)圖像的來龍去脈，也就說清楚了一次函數(shù)圖像從何而來的問題

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2.2 概念引思

問題2

(1)根據(jù)函數(shù)的圖像定義，你知道如何畫函數(shù)的圖像嗎？(2)關(guān)于一次函數(shù)的圖像，請你試著提出一些待研究的問題

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教學說明：

基于“函數(shù)的圖像”的概念理解，引發(fā)學生學前先思，在搞清楚函數(shù)圖像的基礎上，獲得一定的認知經(jīng)驗，為一次函數(shù)圖像的學習做好鋪墊

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小問(2)設計開放性問題，驅(qū)動學生思考并提出一些有意義的問題，如“一次函數(shù)的圖像是什么？怎樣畫一次函數(shù)的圖像？為什么學習一次函數(shù)的圖像？”等，讓學生帶著這些疑問開啟新課的學習，既激發(fā)學生的求知欲，又培養(yǎng)學生的問題意識

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2.3 建立模型

問題3

點燃一支香(如圖1所示)，觀察它的長度隨時間的變化情況

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圖1

(1)圖片給出了幾個燃燒時間？分別是多少？填入表1

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表1

燃燒時間/min香的長度/cm

(2)這支香沒點燃前有多長？點燃5分鐘后是多少？10分鐘呢？填入表1

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(3)從表格中你能發(fā)現(xiàn)香的燃燒有什么規(guī)律嗎？

(4)設香的長度為

y

(cm)，燃燒時間

x

(min)，你能寫出

y

與

x

之間的函數(shù)表達式嗎？這是什么函數(shù)？

(5)依次聯(lián)結(jié)圖1中香的頂端，你有什么發(fā)現(xiàn)？

教學說明：

通過情境創(chuàng)設和問題探索，幫助學生深入理解圖片隱含的豐富內(nèi)容

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將同一支香同時顯示在不同位置，表示隨著時間的增加香的長度在縮短，通過依次聯(lián)結(jié)圖片中香的頂端，直觀感受一次函數(shù)的圖像是一條直線

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讓學生寫出

y

與

x

的函數(shù)表達式，從而獲得一次函數(shù)模型，為學生用平面直角坐標系將實際問題數(shù)學化、在數(shù)學內(nèi)部進行模型探究做好鋪墊

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2.4 模型探究

問題4

你能用平面直角坐標系(如圖2所示)將圖1所揭示的信息及你的發(fā)現(xiàn)告訴大家嗎？

(1)怎樣建立平面直角坐標系？

(2)你準備描出哪些點？

(3)觀察這些點的位置，你有什么發(fā)現(xiàn)？

(4)你能再自行描出一個符合題意的點嗎？這個點的坐標怎么求？

(5)觀察這個點的位置，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

(6)如果再繼續(xù)描出符合題意的點，猜想會是什么情況

.

(7)猜想一次函數(shù)圖像的形狀是怎樣的

.

圖2

教學說明：

通過建立平面直角坐標系將實際問題數(shù)學化，將一次函數(shù)表達式進行“圖形化”表達，引導學生經(jīng)歷“描點→連線→觀察→歸納→猜想”的過程

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學生第一次的觀察和發(fā)現(xiàn)是基于小問(2)描出的五個點，而第二次的觀察和發(fā)現(xiàn)是基于小問(4)自行描出的一個點，并通過小問(6)的追問，為學生猜想一次函數(shù)的圖像是一條直線增加了認知的可信度，減少了內(nèi)心的疑惑

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2.5 畫法遷移

例1

按下列步驟，在平面直角坐標系中畫一次函數(shù)

y

=2

x

+1的圖像

.

(1)列表:恰當?shù)剡x取自變量

x

的幾個值，計算函數(shù)

y

對應的值

.

(如表2所示)

表2

x…-2-1012…y…-3-1135…

(2)描點:以表中各對

x

，

y

的值為點的坐標，在平面直角坐標系中描出相應的點

.

(3)連線:順次聯(lián)結(jié)描出的各點，得到該函數(shù)的圖像

.

教學說明：

(1)列表前，再次回顧函數(shù)圖像的定義，讓學生明確要畫一次函數(shù)的圖像，必須先描點，而要描點，又必須先確定點的坐標

.

點的坐標如何確定？以自變量

x

的值為橫坐標、相應的函數(shù)值

y

為縱坐標來確定

.

(2)列表時，引導學生明確如何列表，自變量

x

的值如何選取才恰當，函數(shù)

y

的值如何確定

.

(3)描點時，引導學生明確如何建立平面直角坐標系，描的是哪幾個點

.

(4)連線時，提問“為什么要連線？怎樣連線？”引導學生明確列表時只恰當?shù)剡x取了自變量

x

的五個值，從而只描出了其中的五個點，事實上該函數(shù)的自變量

x

可以取任何實數(shù)，從而滿足該函數(shù)的點有無數(shù)個，根據(jù)線是由點形成的，連線其實就是補描出無數(shù)個滿足該函數(shù)的點

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2.6 實踐體悟

練習1

利用上面的方法，在平面直角坐標系中畫一次函數(shù)的圖像

.

練習2

點(-2，1)，(0

.

5，3)，(4，0)在上面所畫的圖像上嗎？為什么？

教學說明：

(1)通過練習1，學生進一步掌握畫一次函數(shù)圖像的基本步驟和方法，并再次感知一次函數(shù)的圖像是一條直線

.

實際上，這個事實已經(jīng)被人們所證實

.

由此得到①一次函數(shù)

y

=

kx

+

b

(

k

，

b

為常數(shù)，

k

≠0)的圖像是一條直線；②一次函數(shù)

y

=

kx

+

b

(

k

，

b

為常數(shù)，

k

≠0)的圖像也稱為直線

y

=

kx

+

b

(

k

，

b

為常數(shù)，

k

≠0)

.

(2)通過練習2，學生掌握兩種判斷方法，即①從表達式(數(shù))上判斷，②從圖像(形)上判斷；并從中得到函數(shù)的表達式(數(shù))與圖像(形)之間的關(guān)系，一是滿足函數(shù)表達式的每一對

x

，

y

的值所確定的點都在圖像上，二是圖像上每一點的橫坐標

x

、縱坐標

y

都滿足函數(shù)表達式

.

2.7 畫法優(yōu)化

問題5

既然一次函數(shù)的圖像是一條直線，那么有沒有簡單的畫法？能否用更少的點來畫呢？

追問1

那么選取哪兩個點呢？

追問2

如何求直線與坐標軸的兩個交點坐標？

追問3

選直線與坐標軸的兩個交點一定是最恰當?shù)膯幔?p>例2

在平面直角坐標系中畫一次函數(shù)

y

=-3

x

+3的圖像

.

練習3

在平面直角坐標系中畫一次函數(shù)

y

=16-0

.

8

x

和

y

=2

x

的圖像

.

教學說明：

通過問題5引導學生理解“兩點法”的數(shù)學原理

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通過追問1，學生觀察之前畫的兩個一次函數(shù)圖像，充分討論與交流，明確通常選取“直線與坐標軸的兩個交點”更加方便、準確，效果更好

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通過追問3引導學生思考如何確定“恰當?shù)膬牲c”

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通過例2和練習3，學生掌握“兩點法”的畫圖方法

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2.8 回歸現(xiàn)實

練習4

前面已求得香的長度

y

(cm)與燃燒時間

x

(min)之間的函數(shù)表達式為

y

=16-0

.

8

x

(0≤

x

≤20)，請畫出其圖像，并觀察其特征，用數(shù)學語言描述

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教學說明：

使學生感受一次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型，一次函數(shù)的圖像是對函數(shù)變化規(guī)律的直觀表達，自變量和因變量的取值受實際問題的限制，圖像是直線的一部分(線段)

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2.9 總結(jié)感悟

問題6

本節(jié)課研究了哪些問題？需要注意哪些問題？還有哪些需要進一步研究的問題？

教學說明：

以“問題”作為課堂梳理總結(jié)的載體，引導學生再學習、再探究、再思悟，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，給學生一個充分展示自我的平臺，學生的認識會有質(zhì)的飛躍

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3 教學思考

3.1 創(chuàng)設引起學生好奇的現(xiàn)實情境，激發(fā)學生的學習動機

主體間性理論認為，教師和學生作為獨特的精神整體在相互作用中形成主體性關(guān)系即主體間性，師生誰也不是客體，教師和學生始終是主體，誰也不能控制誰或者強行把意志、意見加于另一方

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這就需要教師能靈活利用教材(客體)，把教材的內(nèi)容轉(zhuǎn)化到現(xiàn)實情境和日常生活中，從而更好地抽象出數(shù)學問題，吸引學生的注意力，激發(fā)學生的求知欲，提升學生的生活經(jīng)驗，讓學生看到數(shù)學的內(nèi)在本質(zhì)和自身魅力

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新課標也指出：“數(shù)學教學要強化情境設計與問題提出，發(fā)揮情境設計對學生主動參與教學活動的促進作用，使學生在活動中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)

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”例如，本課例以現(xiàn)實生活中點燃一支香為情境，觀察香的長度隨時間變化的方式，使抽象的函數(shù)知識以具體直觀的形象呈現(xiàn)

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這樣的情境有利于調(diào)動學生的學習興趣，促進學生自覺主動地將現(xiàn)實問題引入到數(shù)學內(nèi)部進行探究和求解，學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界

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3.2 引導學生探索知識的來龍去脈，落實學生的主體地位

主體間性理論認為，教育就是主體間指導學習，教師要充分肯定學生在教學活動中的主體價值和地位，站在與學生平等的角度想學生所想、講學生所需，全局把握、主體引導，師生主體間相互作用和影響，共同交流、探討知識客體

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新課標也指出：“數(shù)學新知識的學習要注重來龍去脈，要展現(xiàn)‘知識背景→知識形成→揭示聯(lián)系’的過程，讓學生經(jīng)歷數(shù)學觀察、數(shù)學思考、數(shù)學表達、概括歸納、遷移運用等學習過程

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”這就要求教師為學生提供充分的思考空間，營造“平等的對話交往、合作的探究學習”課堂氛圍，增強學生的學習體驗，積累基本活動經(jīng)驗

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例如，本課例就知識生成而言，“函數(shù)→橫坐標、縱坐標→點→集合→圖形→圖像”的認知經(jīng)驗的調(diào)取與遷移是知識生成的關(guān)鍵，為師生共同經(jīng)歷“一次函數(shù)表達式→列表(橫、縱坐標)→描點→連線(集合)→圖像”的探究路徑提供重要經(jīng)驗

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整個探究活動充分展現(xiàn)師生多元對話互動，遵循從具體到抽象、從特殊到一般的原則，體現(xiàn)數(shù)學知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，使學生能夠從中了解一次函數(shù)圖像的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價值與意義

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3.3 設計引發(fā)學生思考的合理問題，培養(yǎng)學生的思維能力

主體間性理論認為，教學不是單向的“我教你學”的教學關(guān)系，而是師生主體間的相互理解和共同認識，是師生不同主體取得共識，通過共識表現(xiàn)的一致性

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而師生主體間取得共識的數(shù)學教學過程，從本質(zhì)上來說是教師促進學生思維發(fā)展、人格完善的過程，促進學生思維發(fā)展的重要載體是“問題”，有了問題，學生就有了思考、討論和展示的機會

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新課標也指出：數(shù)學教學要重視設計合理問題

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問題的設置要有利于考查對數(shù)學概念、性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律的理解、表達和應用，注重考查學生的思維過程，避免死記硬背、機械刷題

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”因此，教師在教學中可以提出能引發(fā)學生思考的數(shù)學問題，激起學生認知沖突，促進學生積極探究，同時也可以引導學生提出合理問題，培養(yǎng)學生會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，增強學生認識真實世界、解決真實問題的能力

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例如，本課例中的教學活動始終圍繞問題展開，其中“如何列表？表中

x

值如何選??？”“怎樣描點？描多少個點？”“為什么要連線？怎樣連線？”等問題很有挑戰(zhàn)性，極大地調(diào)動了學生的探究熱情，激發(fā)了學生的思維活力，讓學生從“知其然”到“知其所以然”“知何由以知其所以然”

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再如，在“概念引思”和“總結(jié)感悟”環(huán)節(jié)中，教師鼓勵學生質(zhì)疑問難，敢于提出問題、發(fā)表自己的觀點，培養(yǎng)學生的問題意識和創(chuàng)新意識，喚起學生的內(nèi)驅(qū)力，讓數(shù)學思考更具主動、數(shù)學思維更有深度

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3.4 幫助學生感悟數(shù)學思想方法，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)

主體間性理論認為，主體間性教育就是師生主體之間的一種共享，共享知識、智慧等，共享主體間一切精神上的東西

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新課標也指出：“義務教育數(shù)學課程應使學生通過數(shù)學的學習，形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)

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”因此，在數(shù)學教學中，教師不僅要促進學生理解和掌握數(shù)學的基礎知識和基本技能，還要讓學生體會和運用數(shù)學的思想與方法，獲得數(shù)學的基本活動經(jīng)驗，形成積極的情感、態(tài)度和價值觀，逐步形成核心素養(yǎng)

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例如，本課例在“先行組織”環(huán)節(jié)，通過復習一次函數(shù)的表達式和函數(shù)的圖像，借助華羅庚的名言“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”引入一次函數(shù)的圖像；“實踐體悟”環(huán)節(jié)中，通過練習2教會學生不僅應從圖像上看問題，還要從函數(shù)表達式上看問題；對于一次函數(shù)，從列表到描點，從函數(shù)表達式到直線圖像，這些都充分體現(xiàn)和應用了“數(shù)形結(jié)合”的思想

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又如在“模型探究”環(huán)節(jié)，通過描出幾個點的位置，猜想所有點的位置；通過先畫出從情境中抽象出的一個一次函數(shù)圖像進行猜想，再畫出例題、習題中的幾個不同的一次函數(shù)圖像進行驗證，然后歸納得出所有一次函數(shù)圖像是一條直線的普遍結(jié)論，學生理解函數(shù)圖像與表達式的對應關(guān)系，增強幾何直觀，提升觀察、比較、抽象和概括的能力，發(fā)揮數(shù)學學科的育人價值，促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展

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