張宵洋，陳康義，吳新波

(1.九州電子有限公司，山東濰坊 261000；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)化工與化學(xué)學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001)

荷電狀態(tài)(SOC)是電動(dòng)汽車鋰電池管理系統(tǒng)的重要指標(biāo)，準(zhǔn)確地估計(jì)SOC能夠保證電池組安全性以及提高電動(dòng)汽車運(yùn)行可靠性。目前來(lái)說(shuō)，等效模型的精確表達(dá)與估計(jì)算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)是提高SOC估計(jì)精度的兩大重要技術(shù)路線。準(zhǔn)確的模型是實(shí)現(xiàn)高效、準(zhǔn)確估算SOC的前提。流行的模型可主要分為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀㈦娀瘜W(xué)模型和電氣等效電路模型。在經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，使用?shù)學(xué)表達(dá)式或多項(xiàng)式來(lái)表示鋰電池的內(nèi)部動(dòng)力學(xué)[1]。然而，經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ涂偸峭ㄟ^(guò)增加更多的參數(shù)來(lái)提高其精度，這增加了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但計(jì)算量大，不適合在線SOC估計(jì)。從基本電化學(xué)機(jī)理出發(fā)建立的電化學(xué)模型可以用一系列偏微分方程來(lái)描述，有助于我們從微觀的角度詳細(xì)地把握基本反應(yīng)[2]。但由于計(jì)算復(fù)雜度太高，使得在實(shí)際應(yīng)用中的難度較大。電氣等效電路模型用理想的電路元件來(lái)描述電池的端電壓，具有復(fù)雜度低的優(yōu)點(diǎn)。比如戴維南模型[3]、雙極化模型[4]，PNGV 模型[5]與考慮遲滯效應(yīng)模型[6]等。分?jǐn)?shù)階模型(FOM)與整數(shù)階模型(DPM)相比，能夠更深入地揭示電池固有的電化學(xué)性能[7]。電池內(nèi)部的電化學(xué)反應(yīng)具有反常擴(kuò)散、記憶和遲滯等特性，F(xiàn)OM 可以更簡(jiǎn)潔地描述這些特性。文獻(xiàn)[8]利用電化學(xué)阻抗譜，分別對(duì)鋰電池和超級(jí)電容進(jìn)行了分?jǐn)?shù)階建模。文獻(xiàn)[9]證明了存儲(chǔ)長(zhǎng)度為N的FOM 等價(jià)于具有N個(gè)RC 分支的DPM，這意味著FOM 可以用較少的電路元件達(dá)到相同的精度。因此，大量的研究將FOM 引入到電池研究中。文獻(xiàn)[10]比較了多種模型，進(jìn)一步證明了分?jǐn)?shù)階模型相比整數(shù)階模型具有更高的建模精度。

文獻(xiàn)[11]在FOM 基礎(chǔ)上采用擴(kuò)展卡爾曼濾波算法(EKF)估計(jì)SOC，結(jié)果表明相比于傳統(tǒng)DPM，F(xiàn)OM 具有更高的SOC估計(jì)精度。但是EKF 存在對(duì)非線性系統(tǒng)線性化處理的截?cái)嗾`差問(wèn)題。并且，卡爾曼濾波類的算法僅適用于高斯噪聲條件下。當(dāng)處于非高斯白噪聲工況下時(shí)，估測(cè)效果就不盡人意。粒子濾波算法(PF)更適合應(yīng)用于非線性非高斯系統(tǒng)。該算法在鋰電池SOC觀測(cè)領(lǐng)域中也得到了廣泛的研究與應(yīng)用[12-13]。但PF 算法存在粒子退化的問(wèn)題，并且需要通過(guò)大量的粒子數(shù)來(lái)保證SOC的估測(cè)精度，粒子數(shù)的過(guò)多增加對(duì)硬件提出了更高的計(jì)算需求。另外，F(xiàn)OM 中對(duì)歷史記憶時(shí)間長(zhǎng)度的疊加運(yùn)算加劇了算法的計(jì)算負(fù)擔(dān)。因此，在不降低SOC估計(jì)精度的前提下，對(duì)于削減分?jǐn)?shù)階粒子濾波算法計(jì)算量的研究具有重要的科學(xué)價(jià)值。

綜合上述研究現(xiàn)狀，本文提出了一種基于簡(jiǎn)化分?jǐn)?shù)階模型的自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼粒子濾波的SOC估計(jì)算法，然后在動(dòng)態(tài)應(yīng)力和補(bǔ)充聯(lián)邦電流工況進(jìn)行了相應(yīng)的測(cè)試驗(yàn)證。

1 鋰電池等效電路模型

圖1 是整數(shù)階等效電路模型，圖2 是分?jǐn)?shù)階等效電路模型。然而，DPM 不能準(zhǔn)確反映電池內(nèi)部的電化學(xué)反應(yīng)。因此，包含Warburg 在內(nèi)的分?jǐn)?shù)階阻抗元件的引入有效解決了這個(gè)問(wèn)題，由此構(gòu)成FOM。從電化學(xué)阻抗譜的角度來(lái)看，分?jǐn)?shù)階阻抗元件構(gòu)成的電路能夠更好地?cái)M合鋰離子電池的阻抗特性。

圖1 整數(shù)階模型

圖2 分?jǐn)?shù)階模型

對(duì)于FOM，模型阻抗的傳遞函數(shù)為：

式中：Z1=(CPE1sα)-1和Z2=(CPE2sα)-1，分別表示CPE1和CPE2恒相位元件阻抗；ZW=(Wsγ)-1表示W(wǎng)arburg 元件阻抗；R0為歐姆內(nèi)阻；R1、R2為電化學(xué)極化內(nèi)阻；C1、C2為濃差極化電容；OCV為開路電壓；i為負(fù)載電流；ut為端電壓。

系統(tǒng)輸入為u(t)=i(t)，輸出為y(t)=OCV(t)-ut(t)，則系統(tǒng)模型由分?jǐn)?shù)階時(shí)域方程表示為：

引入Grünwald-Letnikov(GL)定理：

式中：Dα是微分算子；表示二項(xiàng)式系數(shù)；Ts表示步長(zhǎng)；[t/Ts]表示[t/Ts]的整數(shù)部分；t表示當(dāng)前時(shí)刻；j表示步數(shù)。

應(yīng)用式(3)，在k+1 時(shí)刻，式(2)表示為：

式中：h是充放電效率；Cn為電池額定容量；Ts是采樣時(shí)間。

通過(guò)式(4)發(fā)現(xiàn)，隨著累加項(xiàng)目數(shù)量的增加，硬件的計(jì)算負(fù)擔(dān)也隨之增加。在實(shí)際應(yīng)用中，考慮到電池模型的精度要求、計(jì)算負(fù)擔(dān)和短時(shí)記憶原理，求和項(xiàng)可以適當(dāng)截?cái)唷１疚膶⑶蠛蜕舷拊O(shè)定為1，式(4)則可以修改為：

2 參數(shù)辨識(shí)

開路電壓OCV是電池經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間靜置得到的，它是能夠間接地準(zhǔn)確反映SOC大小的重要參數(shù)。根據(jù)在不同SOC下OCV的測(cè)試數(shù)據(jù)與經(jīng)驗(yàn)公式(6)，可以得到OCV-SOC曲線，如圖3 所示。表1 是OCV-SOC擬合曲線的參數(shù)表，表2 是OCVSOC曲線的擬合系數(shù)。

圖3 OCV-SOC的非線性曲線

表1 OCV-SOC 擬合曲線的參數(shù)表

表2 OCV-SOC 曲線的擬合系數(shù)

SOC的準(zhǔn)確估計(jì)依賴于模型參數(shù)的準(zhǔn)確性。相比于DPM，F(xiàn)OM 增加了系統(tǒng)的非線性特性，所以難以再使用經(jīng)典的最小二乘擬合法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。而遺傳算法可通過(guò)模擬遺傳生物學(xué)的演化過(guò)程實(shí)現(xiàn)參數(shù)尋優(yōu)，能夠應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)。因此本文基于FOM，使用遺傳算法辨識(shí)包括階次在內(nèi)的分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)，其中選擇了端電壓測(cè)量值與估計(jì)值的絕對(duì)均方根誤差作為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)。辨識(shí)結(jié)果如表3 所示。

表3 分?jǐn)?shù)階模型離線辨識(shí)參數(shù)表

3 基于分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼粒子濾波算法的SOC 估計(jì)

粒子濾波算法不會(huì)過(guò)分受制于噪聲模型的限制，能夠適用于非高斯噪聲的條件。為了進(jìn)一步提高估測(cè)精度和魯棒性，本文將自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波(AEKF)作為PF 算法的建議分布函數(shù)，即自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼粒子濾波算法(AEPF)。

根據(jù)式(5)，對(duì)于鋰電池的狀態(tài)方程和測(cè)量方程可統(tǒng)一表示為：

式 中：xk=[SOCk u1,k u2,k u3,k]T；f=Akxk＋Bkuk；uk=Ik；yk=Ut,k；h(xk,uk)=Ckxk＋Dkuk；wk為過(guò)程噪聲；νk為測(cè)量噪聲。

將鋰電池的狀態(tài)空間方程和已被辨識(shí)的模型參數(shù)應(yīng)用到如下所示AEPF 算法的具體步驟，即可實(shí)現(xiàn)鋰電池SOC的實(shí)時(shí)估計(jì)。

步驟(1)：

初始化，k=0，隨機(jī)產(chǎn)生n個(gè)用于SOC估計(jì)初始粒子(i=1,2,…,n)，起始權(quán)值w0均為1/N。

步驟(2)：

(a)利用AEKF 更新粒子，在k時(shí)刻，對(duì)于每一個(gè)粒子根據(jù)式(7)得到一步預(yù)測(cè)值

(f)噪聲自適應(yīng)，

步驟(3)：

用高斯分布近似重要概率函數(shù)來(lái)產(chǎn)生粒子濾波算法的建議分布，計(jì)算重要性權(quán)重，

步驟(4)：

步驟(5)：

重采樣，選擇隨機(jī)重采樣方式，依據(jù)重要性權(quán)重對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮和放大。

步驟(6)：

步驟(7)：

令k=k+1，返回步驟(2)循環(huán)。

4 測(cè)試結(jié)果與分析

本文所用電池組型號(hào)為A123 三元鋰離子軟包電池，額定容量為24 Ah，充放電截止電壓分別為4.2和2.5 V，標(biāo)稱電壓為3.6 V。使用MATLAB R2018a 軟件編寫腳本程序。分別采用動(dòng)態(tài)應(yīng)力(DST)和聯(lián)邦(US06)的放電工況對(duì)電池進(jìn)行測(cè)試，圖4 和圖5 分別是DST 和US06 兩個(gè)測(cè)試工況下電流與電壓數(shù)據(jù)。本文基于此數(shù)據(jù)驗(yàn)證所提出方法的有效性和魯棒性。

圖4 DST工況

圖5 US06工況

4.1 不同算法的對(duì)比測(cè)試

為了突出所提算法在SOC估計(jì)上的優(yōu)越性，用5 種其他算法進(jìn)行SOC估計(jì)，將估計(jì)的結(jié)果與本文所提出的算法估計(jì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。這6 種算法分別為基于DPM 的EKF 算法(DPM-EKF)，基于FOM 的EKF 算法(FOM-EKF)，基于DPM 的PF 算法(DPM-PF)，基于FOM 的PF 算法(FOM-PF)，基于DPM的AEPF 算法(DPM-AEPF)和基于FOM 的AEPF 算法(FOMAEPF)。

在DST 的測(cè)試工況下，圖6 為端電壓，圖7 為端電壓估計(jì)誤差，圖8 為SOC估計(jì)結(jié)果，圖9 為SOC估計(jì)誤差。表4 給出了各算法的SOC和端電壓的最大絕對(duì)值誤差、絕對(duì)平均誤差和絕對(duì)均方根誤差。結(jié)合下面的圖表，從模型的角度，基于FOM 的各算法要比基于DPM 的端電壓和SOC的估計(jì)誤差要小，這體現(xiàn)了模型升級(jí)的優(yōu)點(diǎn)；從算法的角度，AEPF 算法要比EKF、PF 算法的估計(jì)誤差要小，估計(jì)誤差的波動(dòng)也更加平滑，這體現(xiàn)了算法融合的優(yōu)勢(shì)。所以本文所提出的FOAEPF方法具有更高的SOC估計(jì)精度。表中SOCmax為SOC最大絕對(duì)值誤差；SOCMEAN為SOC絕對(duì)平均誤差；SOCRMSE為SOC絕對(duì)均方根誤差；Ut,max為Ut最大絕對(duì)值誤差；Ut,MEAN為Ut絕對(duì)平均誤差；Ut,RMSE為Ut絕對(duì)均方根誤差。

圖6 端電壓

圖7 端電壓估計(jì)誤差

圖8 SOC估計(jì)值

圖9 SOC估計(jì)誤差

表4 不同算法估計(jì)誤差的比較結(jié)果

4.2 算法計(jì)算量測(cè)試

為了進(jìn)一步測(cè)試EPF 的粒子數(shù)與估計(jì)精度之間的影響，本節(jié)分別采用了粒子數(shù)為20、50 和200 的條件進(jìn)行測(cè)試。圖10 和圖11 分別是在DST 和US06 工況下不同粒子數(shù)SOC的估計(jì)結(jié)果。由圖可見，電池放電的前期SOC的估計(jì)誤差較大，這是因?yàn)樗惴ㄔ陔姵胤烹娗捌跁r(shí)需要一定的時(shí)間來(lái)自適應(yīng)調(diào)整，并淘汰掉不適合的粒子。而到電池放電的中后期時(shí)，三種粒子數(shù)條件下的估計(jì)誤差基本趨于一致。

圖10 DST工況、不同粒子數(shù)下SOC的估計(jì)結(jié)果

圖11 US06工況、不同粒子數(shù)下SOC的估計(jì)結(jié)果

圖12 是不同粒子數(shù)下算法的平均誤差與計(jì)算時(shí)間的比較結(jié)果。從圖12 可以看出，增加粒子數(shù)并沒有使SOC估計(jì)精度得到顯著提高，但增加了較多的運(yùn)算時(shí)間。這說(shuō)明AEKF算法作為PF 的建議分布函數(shù)是有效的，AEKF 算法融合進(jìn)一步提高了估計(jì)器的濾波能力，因此，本文提出的AEPF 算法相比于傳統(tǒng)PF 算法能夠明顯降低計(jì)算量。

圖12 不同粒子數(shù)下算法的平均誤差與計(jì)算時(shí)間的比較結(jié)果

5 結(jié)論

本文建立電池分?jǐn)?shù)階等效模型，對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)的求和項(xiàng)進(jìn)行了適當(dāng)截?cái)?，比DPM 具有更高的建模精度，能夠有效降低因歷史記憶數(shù)據(jù)積累帶來(lái)的計(jì)算量。采用AEPF 算法，避免過(guò)度依賴“增加粒子數(shù)來(lái)保證粒子濾波算法估計(jì)精度”的傳統(tǒng)方式，使用較少粒子即可滿足估計(jì)精度需求。AEKF 作為概率密度的建議分布函數(shù)，能有效解決PF 算法粒子退化問(wèn)題。融合算法實(shí)現(xiàn)了二次濾波，進(jìn)一步提高算法估計(jì)精度和魯棒性。