王 宇，張詩茹，張渝佶，周立群

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

近年來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被廣泛應(yīng)用于聯(lián)想記憶、信號處理、人工智能、優(yōu)化與控制等領(lǐng)域，這些應(yīng)用大都要求神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是穩(wěn)定的.但由于在網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行中時滯的存在不可避免，因此學(xué)者一直致力于研究時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的各種穩(wěn)定性[1-3].神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在控制器的作用下達(dá)到穩(wěn)定時，稱該網(wǎng)絡(luò)是可鎮(zhèn)定的.鎮(zhèn)定性也是一種穩(wěn)定性，學(xué)者對時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)鎮(zhèn)定性也進(jìn)行了深入研究[4-8].

比例時滯是一種客觀存在的無界時變時滯，其優(yōu)點是系統(tǒng)可根據(jù)網(wǎng)絡(luò)所允許的最大時滯去控制網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行時間.2011年，周立群[9]將比例時滯引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建了比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Proportional Delayed Neural Networks，PDNNs)模型.單調(diào)遞增的比例時滯函數(shù)使得系統(tǒng)時滯具有可控性和可預(yù)測性，故許多學(xué)者對PDNNs的動力學(xué)，尤其是穩(wěn)定性[10-18](包括鎮(zhèn)定性[19-22])進(jìn)行了眾多研究.例如，張保生[1]利用Lyapunov泛函方法、Barbalat引理和平均值不等式討論了時滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性；Zhou等[21]采用離散控制器，基于Lyapunov函數(shù)和LMI方法，獲得了PDNNs的全局多項式鎮(zhèn)定性和全局漸近鎮(zhèn)定性判據(jù).受文獻(xiàn)[1,21]的啟發(fā)，筆者擬針對一類PDNNs，采用狀態(tài)反饋控制器，在激活函數(shù)有界且滿足Lipschitz條件下，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，并利用平均值不等式及其分析技巧，研究了該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局多項式鎮(zhèn)定性和全局漸近鎮(zhèn)定性.

1 模型描述與預(yù)備知識

考慮如下PDNNs：

(1)

(H1) 在R上有界；

(H2) 滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)li>0，使得

|fi(ξ)-fi(η)|≤li|ξ-η|ξ,η∈R,i=1,2,…,n.

為了使系統(tǒng)(1)鎮(zhèn)定，取控制器ui(t)=-kixi(t)，則系統(tǒng)(1)變?yōu)槿缦麻]環(huán)系統(tǒng)：

(2)

其中α∈Z+.

注1全局多項式鎮(zhèn)定性也是一種全局漸近鎮(zhèn)定性，但其收斂速度比一般的全局漸近鎮(zhèn)定性的收斂速度快.

引理1[1]若fi(·)(i=1,2,…,n)滿足(H1)和(H2)，則系統(tǒng)(2)一定存在平衡點.

引理2[1]若fi(·)(i=1,2,…,n)滿足(H1)和(H2)，則系統(tǒng)(2)的所有解在[0,+∞)上均有界.

引理3[1]若ai(i=1,2,…,n)為正數(shù)，則

(3)

2 全局多項式鎮(zhèn)定性

令zi(t)=xi(et)，則系統(tǒng)(1)和(2)分別變?yōu)?/p>

和

(4)

注3由定義1易知系統(tǒng)(2)與(4)具有相同的平衡點，即x*=z*.

定理1假設(shè)(H1)和(H2)成立，在狀態(tài)反饋控制器ui(t)=-kixi(t)下，若存在α∈Z+和λ>0，使得

(5)

(6)

構(gòu)造正定的Lyapunov泛函

其中α∈Z+，λ>0.沿系統(tǒng)(5)計算V(t)的上右Dini導(dǎo)數(shù)，由(H2)，可得

(7)

根據(jù)平均值不等式(3)，可得

(8)

(9)

將(8)和(9)式代入(7)式，可得

(10)

(10)式蘊(yùn)含著V(t)≤V(lnt0),且

(11)

進(jìn)而有

(12)

(13)

(14)

在(14)式中取σ=t，得到

于是由定義(2)可知系統(tǒng)(1)全局多項式鎮(zhèn)定到它的平衡點x*.證畢.

定理2假設(shè)(H1)和(H2)成立，在控制器ui(t)=-kixi(t)作用下，若存在α-1∈Z+和λ>0，使得對于i,j=1,2,…,n，有

計算U(t)的右上Dini導(dǎo)數(shù)，可得

(15)

根據(jù)平均值不等式(3)，可得

(16)

(17)

將(16)和(17)式代入(15)式，可得

(18)

于是U(t)≤U(lnt0),且

(19)

進(jìn)而有

注4文獻(xiàn)[1]中的系統(tǒng)為常時滯的，本研究中的系統(tǒng)為無界時滯的，時滯函數(shù)(1-qi)t依賴比例時滯因子qi的大小，因此就時滯函數(shù)而言，本研究推廣了文獻(xiàn)[1]的結(jié)果.另外，文獻(xiàn)[1]中通過構(gòu)造Lyapunov泛函、Barbalat引理和平均值不等式，得到的是常時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性，本研究中沒有使用Barbalat引理，而是通過構(gòu)造Lyapunov泛函和平均值不等式得到全局多項式鎮(zhèn)定性，因此本研究所得結(jié)論更優(yōu).

3 全局漸近鎮(zhèn)定性

定理1與定理2是對系統(tǒng)(1)進(jìn)行非線性變換zi(t)=xi(et)，在狀態(tài)反饋控制器ui(t)=-kixi(t)作用下，得到系統(tǒng)(1)全局多項式鎮(zhèn)定到它的平衡點x*.如果不進(jìn)行該非線性變換，就只能得出系統(tǒng)(1)全局漸近鎮(zhèn)定到它的平衡點x*.

定理3假設(shè)(H1)和(H2)成立，在控制器ui(t)=-kixi(t)作用下，若存在α∈Z+，使得

(20)

(21)

顯然，平凡解y*=(0,0,…,0)T是系統(tǒng)(21)的平衡點.要證x*是系統(tǒng)(1)的全局漸近鎮(zhèn)定的平衡點，只需證y*是系統(tǒng)(21)的全局漸近鎮(zhèn)定的平衡點即可.

構(gòu)造Lyapunov泛函

其中α∈Z+.沿系統(tǒng)(21)的解計算V(t)的上右Dini導(dǎo)數(shù)，根據(jù)平均值不等式(3)和(H2)，可得

(22)

根據(jù)平均值不等式(3)和(22)式，可得

當(dāng)y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T≠0時，至少存在1個i，使得yi(t)≠0，于是由(20)式可得

因此D+V(t)<0.

當(dāng)y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T=0,y(qt)=(y1(q1t),y2(q2t),…,yn(qnt))T≠0時，有yi(t)=0(i=1,2,…,n)，于是由(22)式的第1個等號關(guān)系，可得

當(dāng)y(t)=y(qt)=0時,由(22)式的第1個等號關(guān)系，可得D+V(t)=0.

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)y(t)=y(qt)=0時，D+V(t)=0，其他情況都有D+V(t)<0.同時，當(dāng)‖y(t)‖→+∞時，V(t)→+∞，即V(t)是徑向無界的，因此系統(tǒng)(1)全局漸近鎮(zhèn)定到它的平衡點x*.

定理4假設(shè)(H1)和(H2)成立，在控制器ui(t)=-kixi(t)作用下，若存在α-1∈Z+，使得對于i=1,2,…,n，有

證明構(gòu)造Lyapunov泛函

其余證明過程類似定理2和定理3.證畢.

注5定理1～4的條件都依賴于比例時滯因子qi(i=1,2,…,n)，因此本研究所得結(jié)果均是時滯相關(guān)的，能很好地反映出比例時滯因子對系統(tǒng)鎮(zhèn)定性的影響.

注6在系統(tǒng)(1)中，當(dāng)qj=1(j=1,2,…,n)時，本研究所得到結(jié)果仍然適用.

4 數(shù)值算例

例1考慮如下二維比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

(23)

圖1 無控制器時系統(tǒng)(23)的時間響應(yīng)曲線Fig. 1 Time Response Curves of System(23)Without Control

情況1當(dāng)控制器ui(t)=0(i=1,2)時，系統(tǒng)(23)的從不同初值初始的時間響應(yīng)曲線如圖1所示.由圖1可以看出，此時系統(tǒng)(23)是不穩(wěn)定的.

情況2控制器ui(t)=-kixi(t)(k1=1.5,k2=2),e1=2,e2=2.5，取α=2，當(dāng)i=1,2時，通過計算可得

這滿足定理3的條件，因此由定理3可以判斷系統(tǒng)(23)全局漸近鎮(zhèn)定到它的平衡點(0,0)T.

情況3在情況2的條件下，取λ=1，α=2，當(dāng)i=1,2時，通過計算可得

由定理1可知，系統(tǒng)(23)的平衡點(0,0)T是全局多項式鎮(zhèn)定的.

系統(tǒng)(23)的相圖和時間響應(yīng)曲線分別如圖2，3所示.由圖2，3可以看出，此時系統(tǒng)(23)是穩(wěn)定的.

圖2 系統(tǒng)(23)的相圖Fig. 2 Phase Trajectory of System(23)

圖3 系統(tǒng)(23)的時間響應(yīng)曲線Fig. 3 Time Response Curves of System(23)

例2考慮如下二維比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

(24)

情況1當(dāng)控制器ui(t)=0(i=1,2)時，系統(tǒng)(24)的從(0,1)T初始的相圖和時間相應(yīng)曲線分別如圖4，5所示.由圖4，5可以看出，此時系統(tǒng)(24)是不穩(wěn)定的.

圖4 無控制器時系統(tǒng)(24)的相圖Fig. 4 Phase Trajectory of System(24)Without Control

圖5 無控制器時系統(tǒng)(24)的時間響應(yīng)曲線Fig. 5 Time Response Curves of System(24)Without Control

由定理4可知，系統(tǒng)(24)的平衡點(0,0)T是全局漸近鎮(zhèn)定的.

情況3在情況2的條件下，取λ=1，α=2，當(dāng)i=1,2時，通過計算可得

由定理2可知，系統(tǒng)(24)的平衡點(0,0)T是全局多項式鎮(zhèn)定的.

系統(tǒng)(24)的相圖和時間響應(yīng)曲線分別如圖6，7所示.由圖6，7可以看出，此時系統(tǒng)(24)是穩(wěn)定的.

圖6 系統(tǒng)(24)的相圖Fig. 6 Phase Trajectory of System(24)

圖7 系統(tǒng)(24)的時間響應(yīng)曲線Fig. 7 Time Response Curves of System(24)

綜上，對于系統(tǒng)(23)和(24)，在控制器ui(t)(i=1,2,…,n)作用下，分別應(yīng)用定理3和定理4，可得它們平衡點的全局漸近鎮(zhèn)定性，分別應(yīng)用定理1和2，可得它們平衡點的全局多項式鎮(zhèn)定性.根據(jù)注1，全局多項式鎮(zhèn)定性收斂速度快于漸近鎮(zhèn)定性，這說明定理1和定理2優(yōu)于定理3和定理4.

5 結(jié)語

研究了一類比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局多項式鎮(zhèn)定性，在狀態(tài)反饋控制器作用下，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，運(yùn)用平均值不等式及其分析技巧，獲得了保證系統(tǒng)時滯依賴的全局多項式鎮(zhèn)定和漸近鎮(zhèn)定的充分條件，并通過數(shù)值算例檢驗所得準(zhǔn)則的有效性.本研究結(jié)果獲得了相較全局多項式穩(wěn)定性、全局漸近穩(wěn)定性更優(yōu)的結(jié)果，不足之處在于無法控制系統(tǒng)收斂到平衡點的速度.下一步筆者考慮如何讓系統(tǒng)收斂的速度可控且盡量加快.