李明皓，汪旭明，張志威，譚宇豪，雷可君

(吉首大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

隨著電力電子技術(shù)的快速發(fā)展，越來越多的非線性負荷應(yīng)用于電力系統(tǒng)，使得電力系統(tǒng)中產(chǎn)生了大量諧波.諧波不僅對電網(wǎng)的安全運行構(gòu)成了威脅，也嚴重影響了電能的質(zhì)量，所以對諧波進行治理至關(guān)重要[1-4].諧波檢測是諧波治理的前提，其主要的工作內(nèi)容是對諧波的幅值、頻率及相位等參數(shù)進行檢測[5-7].目前，快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)法因原理簡單且方便應(yīng)用，成為電力諧波檢測最主要的方法[8].但是，由于電網(wǎng)中的信號多為動態(tài)信號，很難對其進行同步采樣，因此在利用FFT時會出現(xiàn)頻譜泄漏[9-10].此外，信號經(jīng)過FFT處理后會出現(xiàn)柵欄效應(yīng)[11-12]，即信號的譜序列為多根離散的譜線，并不能完全反映出原信號的信息，這就會導(dǎo)致信號參數(shù)檢測時出現(xiàn)誤差，從而降低參數(shù)檢測的精度.在時域給信號加窗可以降低頻譜泄漏的影響，在一定程度上提高檢測精度，但仍存在修正公式求解復(fù)雜的問題.另外，利用傳統(tǒng)FFT對譜序列結(jié)果修正時僅采用峰值及緊靠峰值處的譜線，并不能很好地抑制柵欄效應(yīng)的影響[13].針對傳統(tǒng)FFT存在的這些不足，筆者擬對信號進行時域加余弦窗截斷及頻域三譜線插值處理，以減少頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響，提高諧波參數(shù)檢測精度.

1 經(jīng)典余弦窗及其頻域特性

旁瓣峰值電平低及旁瓣衰減速度快的窗函數(shù)能夠較好地抑制頻譜泄露的影響.經(jīng)典的余弦窗函數(shù)具有較好的旁瓣性能，其時域表達式和頻域表達式分別為

(1)

(2)

將(1)式離散化，即令ω=2πk/N，再代入(2)式，可得余弦窗的譜函數(shù)

(3)

經(jīng)典余弦窗函數(shù)的系數(shù)見表1，表2給出了經(jīng)典余弦窗函數(shù)的主瓣及旁瓣特性.

表1 經(jīng)典余弦窗函數(shù)的系數(shù)

表2 經(jīng)典余弦窗函數(shù)的主瓣及旁瓣特性

2 經(jīng)典余弦窗三譜線插值算法

以采樣頻率fs對頻率為f0、幅值為A0、相位為θ0的連續(xù)信號x(t)進行采樣，得到離散信號

(4)

其中n=0,1,2,…,N-1，N為采樣點數(shù).對(4)式加余弦窗截斷后進行離散時間傅里葉變換，可得

(5)

(6)

(7)

因為電網(wǎng)中的信號多為動態(tài)信號，所以很難對其同步采樣，此時，信號真實頻率位置處的譜線k0為頻率分辨率的非整數(shù)倍，即采樣時取不到峰值譜線的位置.為此，結(jié)合基于三譜線插值方法來獲取峰值譜線k0的位置[15].設(shè)峰值譜線k0附近幅值最大的譜線位置為kp，其左右兩側(cè)譜線的位置分別為kp-1，kp+1，3條譜線的幅值分別標(biāo)記為y1=|X(kp-1)|，y2=|X(kp)|，y3=|X(kp+1)|.

在實際應(yīng)用中，N?1.(3)式可化簡為

(8)

引入?yún)?shù)δ=k0-k，δ∈(-0.5,0.5).當(dāng)k=kp時，kp-k0=-δ，由(7)式可知

(9)

由(8)式可得

(10)

當(dāng)k=kp-1時，kp-1-k0=-δ-1，此時

(11)

當(dāng)k=kp+1時，kp+1-k0=-δ+1，此時

(12)

引入?yún)?shù)

(13)

結(jié)合(9)式，并將(10)～(12)式代入(13)式，可得

(14)

由(10)～(12)式可知(14)式是δ的函數(shù)，但其形式較復(fù)雜，不利于求解出δ.為此，將(14)式記為η=f(δ)，可知其反函數(shù)為δ=f-1(η)，此時，令δ在(-0.5,0.5)內(nèi)取值，利用最小二乘及多項式擬合法可求出δ的表達式.以Blackman窗為例，δ的具體表達式為

δ=0.782 608 64η-0.077 816 42η3+0.016 220 29η5-0.003 728 39η7.

因kp+δ=k0，故可得頻率的修正公式

由(7)式可得相位的修正公式

由于kp最靠近真實頻點，所包含的信息量也最大，因此在計算時應(yīng)給予更大的權(quán)重，將y1，y2，y3這3條譜線的權(quán)重分別設(shè)置為1，2，1.由(7)式可得幅值的修正公式

(15)

當(dāng)N?1時，(15)式化簡為

A0=N-1(y1+2y2+y3)g(δ)，

其中

利用類似于求解δ的方法，可得

g(δ)=1.492 537 30+0.490 447 39δ2+0.087 622 88δ4+0.011 736 62δ6.

同理，可求出其他經(jīng)典余弦窗函數(shù)的三譜線插值修正公式：

(1)Hanning窗：

δ=0.666 666 47η-0.074 061 84η3+0.016 282 44η5-0.003 700 48η7,

g(δ)=1.333 333 31+0.526 581 14δ2+0.117 118 08δ4+0.020 536 63δ6.

(2)Hamming窗：

δ=0.635 293 21η-0.089 969 55η3+0.026 959 09η5-0.007 779 23η7,

g(δ)=1.298 701 27+0.546 636 71δ2+0.128 257 73δ4+0.023 517 84δ6.

(3)Blackman-Harris窗：

δ=0.938 919 01η-0.058 092 48η3+0.003 010 99η5+0.000 397 57η7,

g(δ)=1.658 663 61+0.420 089 40δ2+0.065 093 55δ4+0.007 608 87δ6.

(4) 4項3階Nuttall窗：

δ=1.014 678 00η-0.035 783 35η3-0.011 088 27η5+0.003 053 83η7,

g(δ)=1.724 338 60+0.383 137 03δ2+0.060 516 43δ4+0.006 663 64δ6.

3 仿真實驗

為了驗證基于經(jīng)典余弦窗三譜線插值FFT法的有效性，將其與傳統(tǒng)FFT法進行對比實驗，其中經(jīng)典余弦窗為Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗和4項3階Nuttall窗.設(shè)一個由基波、間諧波和整數(shù)次諧波組成的復(fù)合信號為

其中：采樣頻率fs=3 000 Hz；n為采樣點數(shù)，n=0，1，2,…，N-1，采樣長度N=1 024；基波頻率f0=50.1 Hz；Am和φm分別為各次諧波的幅值和相位.諧波及間諧波參數(shù)的具體設(shè)置見表3，仿真實驗結(jié)果見表4～6.

表3 諧波及間諧波參數(shù)

表4 諧波及間諧波幅值的相對誤差

表5 諧波及間諧波頻率的相對誤差

表6 諧波及間諧波相位的相對誤差

由表4～6可知：傳統(tǒng)FFT法的間諧波與諧波的幅值、頻率、相位的檢測精度較低，相位的檢測誤差很大，不滿足文獻[16]中對諧波測量的要求，且間諧波與諧波之間的頻率間隔很近，頻譜泄漏會造成很大的影響，如1.8次間諧波和基波，與整數(shù)次諧波和整數(shù)次諧波相比，1.8次間諧波和基波的間隔更小，所以對間諧波參數(shù)的估計不太準確；基于經(jīng)典余弦窗三譜線插值FFT法，以Blackman窗為例，間諧波與諧波的檢測精度均較高，幅值的檢測精度相較于傳統(tǒng)FFT提高了3～6個數(shù)量級，頻率的檢測精度提高了4～7個數(shù)量級，相位的檢測精度提高了4～7個數(shù)量級，均滿足文獻[16]中對諧波測量的要求，且雖然也受到間諧波與諧波相隔較近的影響，但能夠較好地克服頻譜泄漏問題.另外，窗函數(shù)的旁瓣性能極大地影響參數(shù)檢測的精度，但旁瓣性能較好的窗函數(shù)未必檢測精度就高，檢測精度還受主瓣寬度的影響，主瓣寬度較寬的窗函數(shù)的檢測精度相對較低.

4 結(jié)語

提出了一種基于經(jīng)典余弦窗三譜線插值FFT算法，該算法結(jié)合經(jīng)典余弦窗并利用真實頻點附近幅值最大的譜線及其兩側(cè)的譜線來減少頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響.在此基礎(chǔ)上，利用最小二乘及多項式擬合方法推導(dǎo)出諧波幅值、頻率及相位的修正公式.對含基波、間諧波與整數(shù)次諧波的復(fù)合信號進行了仿真實驗，結(jié)果表明，基于經(jīng)典余弦窗三譜線插值FFT法相較于傳統(tǒng)FFT法具有更高的諧波參數(shù)檢測精度，能夠更好地抑制頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響.