李明皓,汪旭明,張志威,譚宇豪,雷可君
(吉首大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,湖南 吉首 416000)
隨著電力電子技術(shù)的快速發(fā)展,越來越多的非線性負荷應(yīng)用于電力系統(tǒng),使得電力系統(tǒng)中產(chǎn)生了大量諧波.諧波不僅對電網(wǎng)的安全運行構(gòu)成了威脅,也嚴重影響了電能的質(zhì)量,所以對諧波進行治理至關(guān)重要[1-4].諧波檢測是諧波治理的前提,其主要的工作內(nèi)容是對諧波的幅值、頻率及相位等參數(shù)進行檢測[5-7].目前,快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,F(xiàn)FT)法因原理簡單且方便應(yīng)用,成為電力諧波檢測最主要的方法[8].但是,由于電網(wǎng)中的信號多為動態(tài)信號,很難對其進行同步采樣,因此在利用FFT時會出現(xiàn)頻譜泄漏[9-10].此外,信號經(jīng)過FFT處理后會出現(xiàn)柵欄效應(yīng)[11-12],即信號的譜序列為多根離散的譜線,并不能完全反映出原信號的信息,這就會導(dǎo)致信號參數(shù)檢測時出現(xiàn)誤差,從而降低參數(shù)檢測的精度.在時域給信號加窗可以降低頻譜泄漏的影響,在一定程度上提高檢測精度,但仍存在修正公式求解復(fù)雜的問題.另外,利用傳統(tǒng)FFT對譜序列結(jié)果修正時僅采用峰值及緊靠峰值處的譜線,并不能很好地抑制柵欄效應(yīng)的影響[13].針對傳統(tǒng)FFT存在的這些不足,筆者擬對信號進行時域加余弦窗截斷及頻域三譜線插值處理,以減少頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響,提高諧波參數(shù)檢測精度.
旁瓣峰值電平低及旁瓣衰減速度快的窗函數(shù)能夠較好地抑制頻譜泄露的影響.經(jīng)典的余弦窗函數(shù)具有較好的旁瓣性能,其時域表達式和頻域表達式分別為
(1)
(2)
將(1)式離散化,即令ω=2πk/N,再代入(2)式,可得余弦窗的譜函數(shù)
(3)
經(jīng)典余弦窗函數(shù)的系數(shù)見表1,表2給出了經(jīng)典余弦窗函數(shù)的主瓣及旁瓣特性.
表1 經(jīng)典余弦窗函數(shù)的系數(shù)
表2 經(jīng)典余弦窗函數(shù)的主瓣及旁瓣特性
以采樣頻率fs對頻率為f0、幅值為A0、相位為θ0的連續(xù)信號x(t)進行采樣,得到離散信號
(4)
其中n=0,1,2,…,N-1,N為采樣點數(shù).對(4)式加余弦窗截斷后進行離散時間傅里葉變換,可得
(5)
(6)
(7)
因為電網(wǎng)中的信號多為動態(tài)信號,所以很難對其同步采樣,此時,信號真實頻率位置處的譜線k0為頻率分辨率的非整數(shù)倍,即采樣時取不到峰值譜線的位置.為此,結(jié)合基于三譜線插值方法來獲取峰值譜線k0的位置[15].設(shè)峰值譜線k0附近幅值最大的譜線位置為kp,其左右兩側(cè)譜線的位置分別為kp-1,kp+1,3條譜線的幅值分別標(biāo)記為y1=|X(kp-1)|,y2=|X(kp)|,y3=|X(kp+1)|.
在實際應(yīng)用中,N?1.(3)式可化簡為
(8)
引入?yún)?shù)δ=k0-k,δ∈(-0.5,0.5).當(dāng)k=kp時,kp-k0=-δ,由(7)式可知
(9)
由(8)式可得
(10)
當(dāng)k=kp-1時,kp-1-k0=-δ-1,此時
(11)
當(dāng)k=kp+1時,kp+1-k0=-δ+1,此時
(12)
引入?yún)?shù)
(13)
結(jié)合(9)式,并將(10)~(12)式代入(13)式,可得
(14)
由(10)~(12)式可知(14)式是δ的函數(shù),但其形式較復(fù)雜,不利于求解出δ.為此,將(14)式記為η=f(δ),可知其反函數(shù)為δ=f-1(η),此時,令δ在(-0.5,0.5)內(nèi)取值,利用最小二乘及多項式擬合法可求出δ的表達式.以Blackman窗為例,δ的具體表達式為
δ=0.782 608 64η-0.077 816 42η3+0.016 220 29η5-0.003 728 39η7.
因kp+δ=k0,故可得頻率的修正公式
由(7)式可得相位的修正公式
由于kp最靠近真實頻點,所包含的信息量也最大,因此在計算時應(yīng)給予更大的權(quán)重,將y1,y2,y3這3條譜線的權(quán)重分別設(shè)置為1,2,1.由(7)式可得幅值的修正公式
(15)
當(dāng)N?1時,(15)式化簡為
A0=N-1(y1+2y2+y3)g(δ),
其中
利用類似于求解δ的方法,可得
g(δ)=1.492 537 30+0.490 447 39δ2+0.087 622 88δ4+0.011 736 62δ6.
同理,可求出其他經(jīng)典余弦窗函數(shù)的三譜線插值修正公式:
(1)Hanning窗:
δ=0.666 666 47η-0.074 061 84η3+0.016 282 44η5-0.003 700 48η7,
g(δ)=1.333 333 31+0.526 581 14δ2+0.117 118 08δ4+0.020 536 63δ6.
(2)Hamming窗:
δ=0.635 293 21η-0.089 969 55η3+0.026 959 09η5-0.007 779 23η7,
g(δ)=1.298 701 27+0.546 636 71δ2+0.128 257 73δ4+0.023 517 84δ6.
(3)Blackman-Harris窗:
δ=0.938 919 01η-0.058 092 48η3+0.003 010 99η5+0.000 397 57η7,
g(δ)=1.658 663 61+0.420 089 40δ2+0.065 093 55δ4+0.007 608 87δ6.
(4) 4項3階Nuttall窗:
δ=1.014 678 00η-0.035 783 35η3-0.011 088 27η5+0.003 053 83η7,
g(δ)=1.724 338 60+0.383 137 03δ2+0.060 516 43δ4+0.006 663 64δ6.
為了驗證基于經(jīng)典余弦窗三譜線插值FFT法的有效性,將其與傳統(tǒng)FFT法進行對比實驗,其中經(jīng)典余弦窗為Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗和4項3階Nuttall窗.設(shè)一個由基波、間諧波和整數(shù)次諧波組成的復(fù)合信號為
其中:采樣頻率fs=3 000 Hz;n為采樣點數(shù),n=0,1,2,…,N-1,采樣長度N=1 024;基波頻率f0=50.1 Hz;Am和φm分別為各次諧波的幅值和相位.諧波及間諧波參數(shù)的具體設(shè)置見表3,仿真實驗結(jié)果見表4~6.
表3 諧波及間諧波參數(shù)
表4 諧波及間諧波幅值的相對誤差
表5 諧波及間諧波頻率的相對誤差
表6 諧波及間諧波相位的相對誤差
由表4~6可知:傳統(tǒng)FFT法的間諧波與諧波的幅值、頻率、相位的檢測精度較低,相位的檢測誤差很大,不滿足文獻[16]中對諧波測量的要求,且間諧波與諧波之間的頻率間隔很近,頻譜泄漏會造成很大的影響,如1.8次間諧波和基波,與整數(shù)次諧波和整數(shù)次諧波相比,1.8次間諧波和基波的間隔更小,所以對間諧波參數(shù)的估計不太準確;基于經(jīng)典余弦窗三譜線插值FFT法,以Blackman窗為例,間諧波與諧波的檢測精度均較高,幅值的檢測精度相較于傳統(tǒng)FFT提高了3~6個數(shù)量級,頻率的檢測精度提高了4~7個數(shù)量級,相位的檢測精度提高了4~7個數(shù)量級,均滿足文獻[16]中對諧波測量的要求,且雖然也受到間諧波與諧波相隔較近的影響,但能夠較好地克服頻譜泄漏問題.另外,窗函數(shù)的旁瓣性能極大地影響參數(shù)檢測的精度,但旁瓣性能較好的窗函數(shù)未必檢測精度就高,檢測精度還受主瓣寬度的影響,主瓣寬度較寬的窗函數(shù)的檢測精度相對較低.
提出了一種基于經(jīng)典余弦窗三譜線插值FFT算法,該算法結(jié)合經(jīng)典余弦窗并利用真實頻點附近幅值最大的譜線及其兩側(cè)的譜線來減少頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響.在此基礎(chǔ)上,利用最小二乘及多項式擬合方法推導(dǎo)出諧波幅值、頻率及相位的修正公式.對含基波、間諧波與整數(shù)次諧波的復(fù)合信號進行了仿真實驗,結(jié)果表明,基于經(jīng)典余弦窗三譜線插值FFT法相較于傳統(tǒng)FFT法具有更高的諧波參數(shù)檢測精度,能夠更好地抑制頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響.