蘇紅梅

(羅定職業(yè)技術學院教育系，廣東 羅定 527200)

Kramers-Kronig關系(簡稱K-K關系)最早是由Kramers和Kronig利用原子氣體模型推導出來的，他們給出了介電函數(shù)及復折射率的實部和虛部之間的色散關系，并將色散關系成功地應用于X射線的色散實驗中.K-K關系被推導出來以后，學者經(jīng)常將其應用于各種材料的光學研究中.如光學常數(shù)測量和計算過程中[1]，K-K關系因具有優(yōu)于其他常規(guī)光學測量方法的特性，成為獲取光學常數(shù)的一種基本方法，對各種各樣的材料都適用.筆者擬利用傅里葉變換[2-4]，從物理實驗事實的因果律出發(fā)，脫離具體的微觀物理模型，從數(shù)學角度推導K-K關系的表達式，從純粹的數(shù)學性中發(fā)現(xiàn)其蘊含的應用的普適性.

1 傅里葉變換簡介

傅里葉變換是一種分析信號的方法，其過程是將一個時域非周期的連續(xù)信號，轉(zhuǎn)換為一個頻域非周期的連續(xù)信號.在不同的研究領域，傅里葉變換具有不同的形式.本研究中主要運用連續(xù)傅里葉變換，將時域空間和頻域空間的函數(shù)進行相互轉(zhuǎn)換.這里假定函數(shù)f(t)滿足傅里葉變換的要求，那么函數(shù)f(t)的傅里葉變換為

其中F(ω)稱為f(t)的像函數(shù)，f(t)稱為F(ω)的原像函數(shù).F(ω)的傅里葉逆變換為

(1)

2 K-K關系的推導

凡是由因果關系決定的光學響應函數(shù)，其實部和虛部之間都不是相互獨立的，用來描述這些響應的每一對宏觀的光學常數(shù)(如n和κ，ε′和ε″，r和θ)之間都存在一定的內(nèi)在聯(lián)系.基于一定的微觀物理模型，通過一些物理關系，可以解出宏觀光學常數(shù)的表達式，找到它們之間的內(nèi)在聯(lián)系；從基本的物理量性質(zhì)及基本的物理條件考慮，利用數(shù)學計算方法也可以推導出它們之間的函數(shù)關系和內(nèi)在聯(lián)系，如在光學常數(shù)測量和計算中經(jīng)常用的K-K關系.接下來，將從介電常數(shù)出發(fā)對K-K關系進行詳細推導.

在電磁學中，用極化率和電場強度之間的關系來描述各項同性、非磁性的均勻介質(zhì)的線性響應，線性響應關系式為

p(t)=ε0(εr-1)E(t),

其中ε0,εr分別是真空介電常數(shù)和介質(zhì)的相對介電常數(shù).利用傅里葉逆變換(1)式可得

(2)

考慮到極化矢量可能滯后，將(2)式改寫為

其中

G(t′-t)稱為響應函數(shù)，它描述了t′時刻的δ電場脈沖造成的t時刻的電極化，是εr(ω)-1的傅里葉積分.傅里葉逆變換可以表示為

(3)

因為因果律要求在加電場之前沒有響應，所以(3)式中的G(T)在T<0時，有G(T)=0.于是，εr(ω)-1為一個在ω復平面上半空間是解析的函數(shù)，并在上半平面內(nèi)對ω的微商是收斂的，當沿著圖1所示積分路徑積分時，積分結果為0.具體環(huán)路積分表達式為

(4)

(4)式中的積分區(qū)間為(-∞,ω-δ)和(ω+δ,+∞)，在δ→0的極限情況下，積分值就是沿實軸的柯西積分主值.根據(jù)留數(shù)定理和初等色散理論[5-6],εr(ω)-1的積分表達式為

(5)

(6)

又因為

圖1 積分路徑Fig. 1 Integral Path

所以將(6)式代入方程組(5)可得K-K關系的另一種形式：

(7)

也即εr(ω)的實部和虛部之間的色散關系.

3 K-K關系的微分形式

在實際的物理應用中，為了突出某些特征或考慮到光學響應函數(shù)在高低頻的收斂性質(zhì)，會將K-K變換的積分形式轉(zhuǎn)化為微分形式，這2種形式可以形成互補作用.對方程組(7)中實部函數(shù)表達式進行湊微分、分部積分，計算出實部、虛部的具體微分表達式如下：

可以看出，變換由兩部分組成，即微分因子和對數(shù)形式的權重因子.對于權重因子而言，只有ω→ω′時才有明顯貢獻，如圖2所示.

圖2 ω=ω′附近貢獻最大Fig. 2 Largest Contribution to the Near ω=ω′

至此，得到K-K關系的3種較常用的形式，即被積函數(shù)有界、線性響應關系和因果律，因為這些關系非常適用于輸入輸出線性關系的物理量，所以在物理學的很多分支領域都有重要的應用.K-K關系是無量綱的表達式，它可以不依賴于任何模型而存在，還能極大方便物理參數(shù)測量，如為了得到響應函數(shù)的相位需要相對復雜的技術和系統(tǒng)，而根據(jù)K-K關系只需要簡單測量消光譜就可以計算出來.

4 K-K關系的其他表示形式

對于不同的物理背景，K-K關系還有其他的表示形式，如折射率和消光系數(shù)之間的n-κ關系：

(8)

因為

5 結語

K-K關系具有優(yōu)美的數(shù)學形式和普遍的物理內(nèi)涵，其表達式具備應用的普適性，雖然公式的導出不需要任何物理模型，但卻是物理實在(Physical Reality)的高度數(shù)學概括.由于因果性條件的保證，K-K關系理論上能應用到任何物理實在中，如已知的反射和透射響應函數(shù)、復介電常數(shù)、復折射率、復電導率、電阻抗、復磁導率、復原子散射因子、絕熱壓縮系數(shù)、聲折射率、單邊帶時域信號、空間K-K介質(zhì)及各種非線性介質(zhì)等[1,7-9]，可以相信，K-K關系的應用領域會越來越廣.

當然，在應用中K-K 關系也有不足之處.如K-K積分一般都是在[0，+∞)之間，但由于實際能夠測量的物理模型或已知的變量范圍總是有限的，會給計算結果帶來截斷誤差，因此需要借助各種積分范圍的外推方法來減小誤差.目前關于K-K關系的最新研究進展發(fā)現(xiàn)，在時域和空域也有K-K關系[7]，未來在這2個發(fā)展方向應該會有全新的概念和應用.