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        傅里葉變換下Kramers-Kronig關系的理論推導*

        2022-10-28 12:04:56蘇紅梅
        吉首大學學報(自然科學版) 2022年3期
        關鍵詞:物理

        蘇紅梅

        (羅定職業(yè)技術學院教育系,廣東 羅定 527200)

        Kramers-Kronig關系(簡稱K-K關系)最早是由Kramers和Kronig利用原子氣體模型推導出來的,他們給出了介電函數(shù)及復折射率的實部和虛部之間的色散關系,并將色散關系成功地應用于X射線的色散實驗中.K-K關系被推導出來以后,學者經(jīng)常將其應用于各種材料的光學研究中.如光學常數(shù)測量和計算過程中[1],K-K關系因具有優(yōu)于其他常規(guī)光學測量方法的特性,成為獲取光學常數(shù)的一種基本方法,對各種各樣的材料都適用.筆者擬利用傅里葉變換[2-4],從物理實驗事實的因果律出發(fā),脫離具體的微觀物理模型,從數(shù)學角度推導K-K關系的表達式,從純粹的數(shù)學性中發(fā)現(xiàn)其蘊含的應用的普適性.

        1 傅里葉變換簡介

        傅里葉變換是一種分析信號的方法,其過程是將一個時域非周期的連續(xù)信號,轉(zhuǎn)換為一個頻域非周期的連續(xù)信號.在不同的研究領域,傅里葉變換具有不同的形式.本研究中主要運用連續(xù)傅里葉變換,將時域空間和頻域空間的函數(shù)進行相互轉(zhuǎn)換.這里假定函數(shù)f(t)滿足傅里葉變換的要求,那么函數(shù)f(t)的傅里葉變換為

        其中F(ω)稱為f(t)的像函數(shù),f(t)稱為F(ω)的原像函數(shù).F(ω)的傅里葉逆變換為

        (1)

        2 K-K關系的推導

        凡是由因果關系決定的光學響應函數(shù),其實部和虛部之間都不是相互獨立的,用來描述這些響應的每一對宏觀的光學常數(shù)(如n和κ,ε′和ε″,r和θ)之間都存在一定的內(nèi)在聯(lián)系.基于一定的微觀物理模型,通過一些物理關系,可以解出宏觀光學常數(shù)的表達式,找到它們之間的內(nèi)在聯(lián)系;從基本的物理量性質(zhì)及基本的物理條件考慮,利用數(shù)學計算方法也可以推導出它們之間的函數(shù)關系和內(nèi)在聯(lián)系,如在光學常數(shù)測量和計算中經(jīng)常用的K-K關系.接下來,將從介電常數(shù)出發(fā)對K-K關系進行詳細推導.

        在電磁學中,用極化率和電場強度之間的關系來描述各項同性、非磁性的均勻介質(zhì)的線性響應,線性響應關系式為

        p(t)=ε0(εr-1)E(t),

        其中ε0,εr分別是真空介電常數(shù)和介質(zhì)的相對介電常數(shù).利用傅里葉逆變換(1)式可得

        (2)

        考慮到極化矢量可能滯后,將(2)式改寫為

        其中

        G(t′-t)稱為響應函數(shù),它描述了t′時刻的δ電場脈沖造成的t時刻的電極化,是εr(ω)-1的傅里葉積分.傅里葉逆變換可以表示為

        (3)

        因為因果律要求在加電場之前沒有響應,所以(3)式中的G(T)在T<0時,有G(T)=0.于是,εr(ω)-1為一個在ω復平面上半空間是解析的函數(shù),并在上半平面內(nèi)對ω的微商是收斂的,當沿著圖1所示積分路徑積分時,積分結果為0.具體環(huán)路積分表達式為

        (4)

        (4)式中的積分區(qū)間為(-∞,ω-δ)和(ω+δ,+∞),在δ→0的極限情況下,積分值就是沿實軸的柯西積分主值.根據(jù)留數(shù)定理和初等色散理論[5-6],εr(ω)-1的積分表達式為

        (5)

        (6)

        又因為

        圖1 積分路徑Fig. 1 Integral Path

        所以將(6)式代入方程組(5)可得K-K關系的另一種形式:

        (7)

        也即εr(ω)的實部和虛部之間的色散關系.

        3 K-K關系的微分形式

        在實際的物理應用中,為了突出某些特征或考慮到光學響應函數(shù)在高低頻的收斂性質(zhì),會將K-K變換的積分形式轉(zhuǎn)化為微分形式,這2種形式可以形成互補作用.對方程組(7)中實部函數(shù)表達式進行湊微分、分部積分,計算出實部、虛部的具體微分表達式如下:

        可以看出,變換由兩部分組成,即微分因子和對數(shù)形式的權重因子.對于權重因子而言,只有ω→ω′時才有明顯貢獻,如圖2所示.

        圖2 ω=ω′附近貢獻最大Fig. 2 Largest Contribution to the Near ω=ω′

        至此,得到K-K關系的3種較常用的形式,即被積函數(shù)有界、線性響應關系和因果律,因為這些關系非常適用于輸入輸出線性關系的物理量,所以在物理學的很多分支領域都有重要的應用.K-K關系是無量綱的表達式,它可以不依賴于任何模型而存在,還能極大方便物理參數(shù)測量,如為了得到響應函數(shù)的相位需要相對復雜的技術和系統(tǒng),而根據(jù)K-K關系只需要簡單測量消光譜就可以計算出來.

        4 K-K關系的其他表示形式

        對于不同的物理背景,K-K關系還有其他的表示形式,如折射率和消光系數(shù)之間的n-κ關系:

        (8)

        因為

        5 結語

        K-K關系具有優(yōu)美的數(shù)學形式和普遍的物理內(nèi)涵,其表達式具備應用的普適性,雖然公式的導出不需要任何物理模型,但卻是物理實在(Physical Reality)的高度數(shù)學概括.由于因果性條件的保證,K-K關系理論上能應用到任何物理實在中,如已知的反射和透射響應函數(shù)、復介電常數(shù)、復折射率、復電導率、電阻抗、復磁導率、復原子散射因子、絕熱壓縮系數(shù)、聲折射率、單邊帶時域信號、空間K-K介質(zhì)及各種非線性介質(zhì)等[1,7-9],可以相信,K-K關系的應用領域會越來越廣.

        當然,在應用中K-K 關系也有不足之處.如K-K積分一般都是在[0,+∞)之間,但由于實際能夠測量的物理模型或已知的變量范圍總是有限的,會給計算結果帶來截斷誤差,因此需要借助各種積分范圍的外推方法來減小誤差.目前關于K-K關系的最新研究進展發(fā)現(xiàn),在時域和空域也有K-K關系[7],未來在這2個發(fā)展方向應該會有全新的概念和應用.

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