宋通政，戴厚平，馮舒婷，魏雪丹

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

非線性耦合的長(zhǎng)短波方程是物理學(xué)中一類重要的共振方程.1997 年，Djordjevic等[1]研究在二維毛細(xì)管-重力波運(yùn)動(dòng)時(shí)，首次提出了長(zhǎng)短波方程，揭示了長(zhǎng)波與短波之間存在共振相互作用.長(zhǎng)短波方程因其豐富的物理和數(shù)學(xué)性質(zhì)，被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、等離子物理和化學(xué)物理等.近年來(lái)，學(xué)者采用各種數(shù)值方法如譜方法[2-3]、有限差分法[4-5]等求解長(zhǎng)短波方程.這些方法的差分格式的計(jì)算較為復(fù)雜，不利于計(jì)算機(jī)編程，處理復(fù)雜的邊界問(wèn)題比較困難.

格子Boltzmann模型 (Lattice Boltzmann Model，LBM) 是一種新興的數(shù)值方法.與傳統(tǒng)的數(shù)值方法相比，LBM通過(guò)微觀機(jī)制來(lái)研究宏觀方程，它在宏觀上是離散的，在微觀上是連續(xù)的，具有物理背景清晰、邊界條件易處理、并行性良好及程序易實(shí)施等特點(diǎn)[6-8].LBM已廣泛應(yīng)用于求解一些特殊的偏微分方程，如對(duì)流擴(kuò)散方程[9]、KDV方程[10]和波動(dòng)方程[11]等.鑒于LBM的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，筆者擬嘗試?yán)肔BM求解一類非線性耦合的長(zhǎng)短波方程的初邊值問(wèn)題.

1 長(zhǎng)短波方程的格子Boltzmann模型

1.1 格子Boltzmann模型

考慮Benney在研究色散介質(zhì)能量的非線性交換時(shí)提出的長(zhǎng)短波方程[12]，其具體數(shù)學(xué)表達(dá)形式為

(1)

其中:η,β,α和λ為常數(shù);復(fù)函數(shù)u(x,t)為短波的包絡(luò);實(shí)函數(shù)v(x,t)為長(zhǎng)波的振幅;F(x,t)和G(x,t)分別為已知的復(fù)函數(shù)和實(shí)函數(shù).短波u(x,t)通常用非線性Schr?dinger型方程來(lái)解釋,長(zhǎng)波v(x,t)一般由帶有色散的某類波函數(shù)來(lái)描述.

對(duì)方程(1)構(gòu)建具有雙分布函數(shù)的D1Q3格子Boltzmann模型.選用離散速度方向[c0,c1,c2]=[0,c,-c]，其中c為格子速度.采用如下形式的演化方程:

(2)

為了恢復(fù)宏觀方程(1)，將(2)式等號(hào)左邊對(duì)空間x和時(shí)間t進(jìn)行Taylor展開(kāi)，得到

(3)

再進(jìn)行如下形式的Chapman-Enskog多尺度展開(kāi):

(4)

將方程組(4)代入(3)式，可得

(5)

比較(5)式兩邊ε同階項(xiàng)的系數(shù)，可得O(ε0)的系數(shù)為

O(ε1)的系數(shù)為

(6)

O(ε2)的系數(shù)為

(7)

由(6) 式可得

(8)

將(8)式代入(7)式，可得

(9)

對(duì)(6)式兩邊關(guān)于i求和，得到

(10)

對(duì)(9)式兩邊關(guān)于i求和，得到

(11)

1.2 恢復(fù)短波方程

當(dāng)s=1時(shí)，為了恢復(fù)短波方程，選擇滿足

(12)

(13)

將(12)式代入(10)式，可得

(14)

將(12)和(13)式代入(11)式，可得

(15)

將(15)式乘以ε后與(14)式相加，得到

1.3 恢復(fù)長(zhǎng)波方程

當(dāng)s=2時(shí)，為了恢復(fù)長(zhǎng)波方程，選擇滿足

(16)

(17)

將(16)式代入(10)式，可得

(18)

將(16)和(17)式代入(11)式，可得

(19)

由(16)式可得

(20)

和

(21)

(22)

將(22)式代入(18)式，可得

(23)

將(23)式乘以ε后與(18)式相加，可恢復(fù)出如下長(zhǎng)波方程:

2 數(shù)值算例

δAE(u)=|u(xk,t)-u*(xk,t)|,

其中u(xk,t)，u*(xk,t)分別為(xk,t)處的數(shù)值解和解析解.

例1考慮長(zhǎng)短波方程組(1)中參數(shù)η=1，β=0.1，α=1，λ=1，函數(shù)

的情形.此時(shí)方程(1)的初邊值問(wèn)題有如下平面波解：

在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，計(jì)算區(qū)間為[0,π].圖1給出了空間網(wǎng)格數(shù)N=100，Δt=0.000 1，T=2時(shí)|u|和v的精確解與新LBM解.由圖1可見(jiàn)，新LBM解與精確解吻合得較好，具有很好的一致性.

圖1 T=2時(shí)|u|和v的精確解與新LBM解Fig. 1 Exact Solution and New LBM Solution of |u| and v with T=2

表1和表2分別表示空間網(wǎng)格數(shù)N=100，Δt=0.000 1，T=2時(shí)，u和v在不同位置節(jié)點(diǎn)的精確解與新LBM解.表1和表2可以進(jìn)一步說(shuō)明新LBM用于求解長(zhǎng)短波方程的有效性.

表1 T=2時(shí)u在不同位置節(jié)點(diǎn)的精確解與新LBM解

表2 T=2時(shí)v在不同位置節(jié)點(diǎn)的精確解與新LBM解

表3給出了Δt=0.000 1，T=2時(shí)，不同空間網(wǎng)格數(shù)下u和v的誤差分析.由表3可知，隨著空間網(wǎng)格數(shù)的增大，u和v的全局相對(duì)誤差都逐漸減小，且收斂階均在2階左右.這說(shuō)明了新LBM是穩(wěn)定且收斂的.

表3 T=2時(shí)不同空間網(wǎng)格數(shù)下u的誤差分析

圖2給出了空間網(wǎng)格數(shù)N=100，Δt=0.000 1，T=1時(shí)u和v的絕對(duì)誤差.由圖2可見(jiàn)，u和v的絕對(duì)誤差均達(dá)到10-4數(shù)量級(jí).

圖2 T=1時(shí)u和v的絕對(duì)誤差Fig. 2 Absolute Error of u and v with T=1

例2考慮方程組(1)中參數(shù)η=1，β=1，α=-1.5，λ=1，函數(shù)

的情形.此時(shí)方程(1)的初邊值問(wèn)題有如下孤立波解:

圖3給出了空間網(wǎng)格數(shù)N=700，Δt=0.000 1，T=1時(shí)|u|和v的精確解與新LBM解.從圖3可以看出，新LBM解與精確解十分吻合，具有很好的一致性.

圖3 T=1時(shí) |u|和v的精確解與新LBM解Fig. 3 Exact Solution and New LBM Solution of |u| and v with T=1

表4給出了空間網(wǎng)格數(shù)N=700，Δt=0.000 1時(shí)，不同時(shí)刻T下u和v的全局相對(duì)誤差.由表4可知，u和v的全局相對(duì)誤差均在10-4數(shù)量級(jí)左右.

表4 不同時(shí)刻T下u和v的全局相對(duì)誤差

圖4給出了空間網(wǎng)格數(shù)N=700，Δt=0.000 1，T=0.5時(shí)u和v的絕對(duì)誤差.由圖4可見(jiàn)，u和v的絕對(duì)誤差都達(dá)到10-4數(shù)量級(jí).

圖4 T=0.5時(shí)u和v的絕對(duì)誤差Fig. 4 Absolute Errors of u and v with T=0.5

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)一類非線性耦合的長(zhǎng)短波方程的初邊值問(wèn)題，利用引入平衡態(tài)分布函數(shù)和修正函數(shù)的D1Q3格子Boltzmann模型進(jìn)行了求解.由數(shù)值算例可以看出數(shù)值解與精確解比較吻合，說(shuō)明該模型可有效地求解這類非線性耦合的長(zhǎng)短波方程的初邊值問(wèn)題.接下來(lái)，筆者考慮將本研究結(jié)果推廣到更高維空間及分?jǐn)?shù)階長(zhǎng)短波方程的初邊值問(wèn)題，進(jìn)而拓展LBM在求解偏微分方程方向上的應(yīng)用.