?重慶市涪陵高級(jí)中學(xué)校 張雨靈

1 引言

直線與二次曲線相交、相切、相離等位置關(guān)系的判斷以及由此引出的系列問題是高中解析幾何專題要討論的問題，這些問題是訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)的重要載體.解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究解決幾何問題，所以在求解解析幾何相關(guān)問題的過程中往往需要大量計(jì)算，這是解析幾何問題的主要難點(diǎn)所在.而突破這一難點(diǎn)，除了需要充分挖掘利用幾何信息簡化計(jì)算外，有時(shí)還需根據(jù)具體問題合理選擇直線或曲線方程的形式.比如，利用直線方程參數(shù)形式，不僅可以在解決二次曲線和直線相交時(shí)的求點(diǎn)坐標(biāo)、距離、弦長、弦的直線方程等系列問題中簡化計(jì)算,而且還可以有效解決與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡方程，以及曲線的切線方程等問題.下面先探討直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義及其應(yīng)用.

1.1 直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義

1.2 聯(lián)立直線與二次曲線方程

設(shè)缺xy項(xiàng)的一般二次曲線Γ的方程為Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(其中A,C不同時(shí)為0)，聯(lián)立二次曲線Γ與直線l的參數(shù)方程,得

(*)

不妨記

m=Acos2α+Csin2α

①

n=2Ax0cosα+2Cy0sinα+Dcosα+Esinα

②

③

則(*)式可簡記為

mt2+nt+w=0.

④

下文將運(yùn)用直線l的參數(shù)方程并結(jié)合參數(shù)t的幾何意義，解決直線l與二次曲線Γ的常見問題.

2 判斷直線l與二次曲線C的位置關(guān)系

將直線l的參數(shù)方程與二次曲線Γ聯(lián)立，整理的方程記為④，則其判別式為Δ=n2-4mw.當(dāng)Δ>0時(shí)，直線l與二次曲線Γ相交；當(dāng)Δ=0時(shí)，直線l與二次曲線Γ相切；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與二次曲線Γ相離.

由Δ=8>0知，直線l與橢圓Γ相交.

3 直線與二次曲線的交點(diǎn)或弦長問題

將直線l參數(shù)方程與二次曲線Γ聯(lián)立，整理得方程④，當(dāng)Δ>0時(shí)，記兩實(shí)根分別為

(1)由直線參數(shù)方程中參數(shù)t的意義知，t1,t2分別為直線l與二次曲線Γ交點(diǎn)A，B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)，由此可求出交點(diǎn)A，B坐標(biāo)為

A(x0+t1cosα,y0+t1sinα)，

B(x0+t2cosα,y0+t2sinα).

圖1

所以|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，從而A，B，C，D四點(diǎn)共圓.

4 二次曲線Γ中與弦中點(diǎn)有關(guān)的問題

4.1 求二次曲線Γ平行弦中點(diǎn)所滿足的軌跡方程

因?yàn)镸(x′,y′)為中點(diǎn)，所以有t1+t2=0，即x′+3y′=0.所以中點(diǎn)M的軌跡方程為x+3y=0.

4.2 求二次曲線過定點(diǎn)P(x0,y0)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程

2A(x′)2+2C(y′)2-(2Ax0-D)x′-(2Cy0-E)y′-(Dx0+Ey0)=0

①

即中點(diǎn)M(x′,y′)坐標(biāo)滿足①式，即得中點(diǎn)M的軌跡方程.

當(dāng)動(dòng)弦的斜率不存在時(shí)，聯(lián)立直線x=x0及二次曲線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出中點(diǎn)，通過驗(yàn)證中點(diǎn)是否滿足斜率k存在時(shí)的方程①來決定是否需要補(bǔ)充這一點(diǎn).

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線無交點(diǎn).

綜上所述，弦中點(diǎn)的軌跡方程為4x2-y2+y=0(y<4或y≥1).

5 求二次曲線Γ的切線方程

5.1 求過某定點(diǎn)P(x0,y0)的二次曲線Γ的切線方程

例6過點(diǎn)P(-1,2)作拋物線y2=2x的切線，求此切線方程.

5.2 求二次曲線Γ的斜率(或傾斜角)已知的切線方程

例7求二次曲線ax2+by2=1，(a>0，b≠0)傾斜角為α的切線方程.

6 結(jié)論

通過上文分析討論，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)用直線方程的參數(shù)形式能較好地解決直線與二次曲線位置關(guān)系的判斷、直線與二次曲線交點(diǎn)、弦長、弦中點(diǎn)、切線等系列問題，并能避免繁雜的運(yùn)算，拓寬學(xué)生視野.