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        一道中考?jí)狠S題的探索與變式

        2022-10-26 08:30:36湖北省宜昌市第六中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年20期
        關(guān)鍵詞:思路解題方法

        ?湖北省宜昌市第六中學(xué) 李 玲

        1 引言

        解答一道復(fù)雜的數(shù)學(xué)題,以特殊情形為起點(diǎn),往往能抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).現(xiàn)以2021年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)第24題解答探索及變式研究為例,探討如何就題變式、就題借力,追尋解題教學(xué)初心,有效發(fā)展學(xué)生思維能力,力求解題教學(xué)效能最優(yōu).

        2 試題呈現(xiàn)

        推理:

        如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn),將正方形沿著BE折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)F處,連結(jié)BE,CF,延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G.

        圖1

        (1)求證:△BCE≌△CDG.

        運(yùn)用:

        圖2

        拓展:

        3 解答研討

        3.1 “兩等兩線”看折疊,洞察結(jié)構(gòu)得思路

        思路分析:第(1)問,識(shí)別折疊具有軸對(duì)稱的本質(zhì),洞察到“兩等兩線”結(jié)構(gòu):折痕BE所在直線既是∠FBC的平分線、也是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段CF的垂直平分線;還有全等三角形及等腰△BCF,△ECF這樣的基本圖形.執(zhí)果索因,容易得到△BCE≌△CDG.

        3.2 給定比值求線段,聯(lián)想構(gòu)造妙轉(zhuǎn)化

        第(2)問,在推理的基礎(chǔ)上添加了線段比及一條線段長(zhǎng)兩個(gè)條件,緊扣“兩等兩線”如何去找關(guān)聯(lián)?結(jié)合條件及圖形分析,直接求解;或構(gòu)建方程模型整體求解;或搜索關(guān)聯(lián)相似三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化;或從直角入手建立坐標(biāo)系,借助點(diǎn)的坐標(biāo)去求線段長(zhǎng);或面積法入手建立方程等.

        圖3

        思路一:由條件易求出EF,HF,HD的長(zhǎng)度,從正方形內(nèi)折疊的圖形結(jié)構(gòu)聯(lián)想轉(zhuǎn)化,想到雙勾股法.

        思路二:由圖3中的對(duì)頂角和平行線,易得GH=FH=5,HD=4,再結(jié)合AB=BF=BC這個(gè)條件,在Rt△ABH中用勾股定理,先求出正方形的邊長(zhǎng),再利用線段和差關(guān)系間接求DE的長(zhǎng).

        解法2是從條件出發(fā),順?biāo)悸?lián)想,從前一問找思路.這樣的解答似乎還少了從設(shè)問間找關(guān)聯(lián),從結(jié)論出發(fā)逆推的思路.第(2)問還可以看透圖形結(jié)構(gòu),求DE的長(zhǎng),由(1)易得GD=CE=EF,加上正方形易捕捉到AG=DE,從而在轉(zhuǎn)化思想下,不妨直接設(shè)AG=DE=x,“由因?qū)Ч?、?zhí)果索因”,直取目標(biāo),計(jì)算上會(huì)優(yōu)于解法2.

        思路三:如圖4,分別延長(zhǎng)BH,CD交于點(diǎn)I,構(gòu)造和DE有關(guān)的相似三角形,即△IDH∽△IFE,求出ID與IE的長(zhǎng).

        圖4

        構(gòu)造和DE有關(guān)的相似三角形有多種方法.結(jié)合圖4,如,反“A”型△IDH∽△IFE,“A”型△IDH∽△ICB,“X”型△IDH∽△BAH,都可以求出DE的長(zhǎng),但在求解的過程中又引進(jìn)了新的未知量,且計(jì)算的過程中同一個(gè)三角形三條邊都需要用到,并涉及勾股定理,總的來說相似法計(jì)算難度較大.

        思路四:建系,利用一次函數(shù)求出D,E的坐標(biāo).

        圖5

        利用兩點(diǎn)間的距離公式及FH=5找等量關(guān)系,理論上可求出t的值,但因?yàn)橛?jì)算量大,在此處不追求解法的數(shù)量,僅供了解.

        思路五:當(dāng)圖形中出現(xiàn)多處垂直,可以由垂直聯(lián)想到高,進(jìn)而聯(lián)想到面積,用不同方法求同一個(gè)圖形的面積就可以得到等量關(guān)系,常稱作面積法.相較于前面4種解法,等量關(guān)系表面復(fù)雜,但計(jì)算并不復(fù)雜,計(jì)算難度較低,能順利得到結(jié)果.

        解法5:由給定條件易得DG=9,HD=4.如圖3,設(shè)DE=x,由S梯HDCB=S△HDE+S△HEB+S△EBC,得

        以上5種解法,學(xué)生最容易想到的思路是雙勾股法、勾股、相似、建系,計(jì)算上最為簡(jiǎn)便的是解法1的雙勾股法和解法5的面積法.筆者尤其要提到面積法難想易算這一點(diǎn),啟示我們無論做什么題,潛意識(shí)里不要見題就算,要先宏觀選擇方向,再微觀確定方法.

        3.3 形變質(zhì)不變,類比遷移可得法

        第(3)問,當(dāng)“正方形”的條件換為“矩形”,比值的條件不變時(shí),聯(lián)系第(2)問的運(yùn)用,發(fā)現(xiàn)問題表面上雖有變化,但在求解第(3)問時(shí)仍可沿用第(2)問的方法及思路.反過來,當(dāng)把第(3)問的結(jié)果求出時(shí),令k=1,利用第(2)問的結(jié)果來驗(yàn)證計(jì)算過程是否正確.沿用(2)的解題思路及方法,字母代替數(shù),比值代替相等,體現(xiàn)了變化中的不變性.因此,從特殊到一般,可以幫助我們厘清思路,找到解題方法及問題的本質(zhì).

        圖6

        圖7

        因?yàn)檫\(yùn)算量大,勾股法在第(3)問中不適用,所以不做詳細(xì)解答.同樣,對(duì)于沿用第(2)問中的相似法、建系法,實(shí)際計(jì)算過程繁雜,都不適用于第(3)問.

        點(diǎn)H在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí),如圖8,連接CH,仍設(shè)EC=x,則DG=kx.

        圖8

        面積法的算式看起來非常復(fù)雜,但是化簡(jiǎn)計(jì)算過程非常簡(jiǎn)單.

        4 變式拓展

        結(jié)合以上解答探索,發(fā)現(xiàn)此題以正方形到矩形的折疊問題為探究背景,融入初中數(shù)學(xué)核心知識(shí),滲透特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等核心數(shù)學(xué)思想方法.若對(duì)試題相關(guān)的命題素材進(jìn)行變式,將會(huì)引導(dǎo)學(xué)生注重知識(shí)體驗(yàn)的過程,優(yōu)化學(xué)生思維方式,強(qiáng)化基本數(shù)學(xué)思想方法的感悟與內(nèi)化,從而充分發(fā)揮此題的教學(xué)價(jià)值.基于此,筆者從以下三點(diǎn)進(jìn)行了相關(guān)的變式思考.

        4.1 第(1)問,還可以怎樣設(shè)問?

        能設(shè)問GD=EC嗎?事實(shí)上,這種設(shè)問是可以的,而且比原題第(1)問證明△BCE≌△CDG的方法更多,例如三角函數(shù)法,也為第(2)問的解答提供更多線索和思路,這樣的變式是可行的.

        4.2 第(2)問,條件能更改嗎?

        4.3 第(3)問,k值是任意的嗎?

        圖9

        圖10

        圖11

        圖12

        圖13

        圖14

        結(jié)合以上研題分析,給出這道題的完整變式,以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思維,更好地落實(shí)本題的解題教學(xué)價(jià)值.

        變式推理:

        如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn),將正方形沿著BE折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)F處,連接BE,CF,延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G.

        (1)求證:GD=EC.

        運(yùn)用:

        拓展:

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