馬 彥， 唐志國， 胡云峰， 李佳怡，2

（1.吉林大學(xué)a.通信工程學(xué)院；b.汽車仿真與控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長春 130022；2.吉林化工學(xué)院信息與控制工程學(xué)院，吉林 吉林 132022）

0 引言

自動(dòng)控制原理是自動(dòng)控制技術(shù)的理論基礎(chǔ)，內(nèi)容豐富、涉及知識面廣，在整個(gè)專業(yè)課程體系中占據(jù)著非常重要的地位［1-5］。在控制工程中，不僅二階系統(tǒng)的典型應(yīng)用極為普遍，而且很多高階系統(tǒng)的特性在一定的約束條件下可以用二階系統(tǒng)的特性來表征并分析［6-10］。因此，研究二階系統(tǒng)的建模和分析方法具有較大的實(shí)際意義。

1 系統(tǒng)建模思想分析

控制系統(tǒng)按照其內(nèi)部規(guī)律及其結(jié)構(gòu)參數(shù)是否完全已知，可以分成白箱、灰箱與黑箱系統(tǒng)。在建模方法中，分析計(jì)算法（又稱機(jī)理法）和實(shí)驗(yàn)法（又稱系統(tǒng)辨識）可以都可以很好地處理白箱與黑箱的問題。而現(xiàn)實(shí)工程中經(jīng)常遇到灰箱問題，即：只知道系統(tǒng)部分變化規(guī)律，另一部分規(guī)律則需要實(shí)驗(yàn)測得，所以常常是兩種方法綜合使用。

控制系統(tǒng)的建模只是一種手段，目的是為了分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的性能，在建模過程中想要獲得更為簡化的數(shù)學(xué)模型，采用抓住主要矛盾，忽略次要因素的方法，如有些情況下摩擦力可忽略不計(jì)、直流電機(jī)電樞電路中電阻較小亦可忽略等，其控制系統(tǒng)分析過程如圖1所示。但是，這些忽略的物理量通常會(huì)對系統(tǒng)造成一定的影響，甚至?xí)绊憯?shù)學(xué)模型的精準(zhǔn)度，因而，在具體工程系統(tǒng)中需要具體問題具體分析，綜合考量。

圖1 控制系統(tǒng)分析過程

2 工程案例建模與分析

二階系統(tǒng)在自然界和工程領(lǐng)域廣泛存在，其時(shí)域分析是自動(dòng)控制原理課程的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)［11-13］，在本專業(yè)實(shí)踐中占有重要地位，控制類課程群實(shí)驗(yàn)設(shè)置如表1所示，并且其分析方法又對計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)、電力拖動(dòng)及過程控制等課程有借鑒意義［14-15］。

表1 控制類課程群實(shí)驗(yàn)設(shè)置

2.1 車輛減震器

車輛減震器系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)振動(dòng)阻尼器，可以抽象成質(zhì)量-彈簧-阻尼器物理模型，如圖2所示。

圖2 車輛減震器實(shí)例分析

圖2（b）中，以外力F（t）作為系統(tǒng)輸入，滑塊m的位移x（t）作為系統(tǒng)輸出，根據(jù)力學(xué)中的牛頓第二定律，以及彈簧的虎克定律、阻尼器的粘性摩擦定律，整理得：

2.2 振蕩器

振蕩器是一種能量轉(zhuǎn)換裝置——將直流電能轉(zhuǎn)換為具有一定頻率的交流電能，其構(gòu)成的電路叫振蕩電路。振蕩器可抽象為RLC無源網(wǎng)絡(luò)，如圖3所示。

圖3 RLC無源網(wǎng)絡(luò)

以輸入電壓ur（t）作為系統(tǒng)輸入，電容上分得的電壓uC（t）作為系統(tǒng)輸出，利用電學(xué)中的基爾霍夫電壓定律以及RLC的伏安特性關(guān)系，有：

消去中間變量并整理，RLC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程模型為：

2.3 直流電動(dòng)機(jī)

在直流電動(dòng)機(jī)中，以電樞電壓ua（t）作為系統(tǒng)輸入，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速ωm（t）作為系統(tǒng)輸出，因此，電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程模型為：

式中：La和Ra分別為電樞電路的電感值與電阻值；Jm和fm分別為電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和黏性摩擦因數(shù)；Cm為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；Mc（t）為折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

2.4 雙容系統(tǒng)

雙容水槽是工業(yè)生產(chǎn)過程中的常見控制對象，它是由兩個(gè)具有自平衡能力的單容水槽上下串聯(lián)而成。液位的高低在生產(chǎn)中是一個(gè)重要的參數(shù)，生產(chǎn)中常需測量容器內(nèi)的液面高度以計(jì)算產(chǎn)品產(chǎn)量和原料消耗，作為經(jīng)濟(jì)核算的依據(jù)。化工生產(chǎn)等過程控制中的雙容水箱系統(tǒng)如圖4所示。以流入第1個(gè)水箱的流量為系統(tǒng)輸入，第2個(gè)水箱的液位高度為系統(tǒng)輸出。因此，雙容水槽一般表現(xiàn)出二階特性，利用動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系，有：

圖4 雙容水箱系統(tǒng)

式中，C1和C2分別為第1、第2個(gè)單容水箱的過程容量系數(shù)。

2.5 雙連桿剛性機(jī)械臂

針對工業(yè)過程中應(yīng)用廣泛的雙連桿剛性機(jī)械臂，以關(guān)節(jié)電動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩為系統(tǒng)輸入，機(jī)械臂第2根連桿的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)角為系統(tǒng)輸出，利用機(jī)械臂系統(tǒng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)特性，有：

綜上分析，車輛減震器、振蕩器及直流電動(dòng)機(jī)3個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)皆可統(tǒng)一寫成欠阻尼的二階形式：

此外，雙容系統(tǒng)和雙連桿剛性機(jī)械臂均可視為雙慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，亦可被統(tǒng)一寫成過阻尼的二階形式：

3 高階系統(tǒng)模型簡化方法

在控制領(lǐng)域存在大量的高階系統(tǒng)，有時(shí)也會(huì)因系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間過長而出現(xiàn)純滯后特性，這些都無形中增加了系統(tǒng)分析的難度，因此，需要對模型進(jìn)行簡化處理。

3.1 尋求主導(dǎo)極點(diǎn)

在工程實(shí)踐中，通常希望被控系統(tǒng)不僅具有較快的響應(yīng)速度及有一定的阻尼程度，還要求減少死區(qū)、間隙和庫倫摩擦等非線性因素對系統(tǒng)性能的影響。因此，在分析高階系統(tǒng)性能時(shí)，選取在系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過程中起主導(dǎo)作用且隨時(shí)間衰減緩慢，距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)作為主導(dǎo)極點(diǎn)，忽略對響應(yīng)過程影響甚微的非主導(dǎo)極點(diǎn)進(jìn)行近似分析。

當(dāng)慣性時(shí)間常數(shù)T3與T4接近，且T2＜5T1時(shí)，高階系統(tǒng)

可以近似為一階系統(tǒng)，即

3.2 泰勒級數(shù)展開近似

當(dāng)滯后時(shí)間常數(shù)τ較小時(shí)，若系統(tǒng)中含有慣性環(huán)節(jié)，一般認(rèn)為τ小于慣性時(shí)間常數(shù)的0.3倍時(shí)，有

式（12）可以近似為：

3.3 多個(gè)小慣性時(shí)間常數(shù)合并

當(dāng)慣性時(shí)間常數(shù)滿足T1，T2?T3，令TΣ=T1+T2，高階系統(tǒng)

可以近似為二階系統(tǒng)

3.4 多階小慣性環(huán)節(jié)中高階項(xiàng)忽略

當(dāng)a，b?c，且bc＞a時(shí)，高階系統(tǒng)

可以近似為二階系統(tǒng)

3.5 模型結(jié)果驗(yàn)證

工程中高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

該4階系統(tǒng)具有一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)z1=-2.1，一堆共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)s1，2=-0.5±j0.866，非主導(dǎo)極點(diǎn)s3=-2，s4=-8實(shí)部的模比主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部模大3倍以上，零極點(diǎn)分布圖如圖5（a）所示，故該4階系統(tǒng)可近似成：

運(yùn)行Matlab得到原四階系統(tǒng)及近似二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線分別用實(shí)線和虛線表示［見圖5（b）］，得到的仿真結(jié)果見表2。通過主導(dǎo)極點(diǎn)求取的響應(yīng)曲線與近似欠阻尼二階系統(tǒng)的響應(yīng)不完全一致，但結(jié)果基本正確，可用作高階系統(tǒng)的近似分析。

表2 高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能比較

圖5 高階系統(tǒng)的模型驗(yàn)證結(jié)果

4 工程思想分析與課程思政

從欠阻尼二階系統(tǒng)和雙慣性環(huán)節(jié)的過阻尼二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可見，不同類型、不同元件組成、不同功能的物理對象可以具有完全相同形式的數(shù)學(xué)模型，這類物理系統(tǒng)被稱為相似系統(tǒng)。相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間相同的數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于工程技術(shù)人員使用簡單系統(tǒng)去研究與之相似的復(fù)雜系統(tǒng)，也為控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)數(shù)字仿真提供了基礎(chǔ)。

無論是控制系統(tǒng)建模的思想，還是系統(tǒng)模型簡化的方法，甚至是相似系統(tǒng)概念的提出，都一直在強(qiáng)調(diào)抓住系統(tǒng)的主要矛盾，忽略次要因素，這也反映出哲學(xué)中的解決矛盾問題的思想。有了相似系統(tǒng)這一概念，當(dāng)工程技術(shù)人員已經(jīng)熟悉某一工程系統(tǒng)的模型、特性及控制方法后，若在其他工程領(lǐng)域遇到與之?dāng)?shù)學(xué)規(guī)律相似的系統(tǒng)，可以將之前的知識與經(jīng)驗(yàn)再一次應(yīng)用到新系統(tǒng)中，但不可忘記矛盾還具有特殊性，在普適控制方案的基礎(chǔ)上理論聯(lián)系實(shí)際，具體問題具體分析，仔細(xì)論證，認(rèn)真調(diào)試，做到真正意義上的舉一反三。

此外，針對白箱、灰箱及黑箱3類系統(tǒng)進(jìn)行建模時(shí)，還涉及建模方法選取、忽略哪些因素的問題，需要從兩方面剖析。①不同的建模方法既有其有效性，也有其局限性，不是固定不變的。②系統(tǒng)的建模只能幫助工程設(shè)計(jì)人員理解系統(tǒng)的整體運(yùn)行機(jī)制，但不能確保工程設(shè)計(jì)人員對系統(tǒng)認(rèn)識的精準(zhǔn)性和全面性，因此，不可一葉蔽目，需要統(tǒng)觀全局，綜合評定。

5 結(jié)語

將工程實(shí)踐中的關(guān)聯(lián)實(shí)例引入自動(dòng)控制原理課程教學(xué)中，針對二階系統(tǒng)的若干典型案例進(jìn)行展開，將理論知識和實(shí)際系統(tǒng)結(jié)合起來，在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用關(guān)聯(lián)教學(xué)方法，不但能充分發(fā)揮教學(xué)的有效作用，而且也能使學(xué)生達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效率，加深對控制理論的理解和認(rèn)識，同時(shí)有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的工程綜合能力，拓寬學(xué)生的專業(yè)面和知識面，為以后的深入學(xué)習(xí)與工作打下良好、扎實(shí)的基礎(chǔ)。