胥紅斌

(甘肅省天水市秦安縣第一中學)

轉(zhuǎn)盤背景下的運動模型一般有三種.不同模型的質(zhì)點運動存在臨界問題和最值問題,本文就此類問題進行剖析與拓展,探究解決此類問題的通性通法.

1 轉(zhuǎn)盤類圓周運動及其分類

轉(zhuǎn)盤之上放置一個物體、兩個物體或多個物體圍繞轉(zhuǎn)盤中心轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動,物體之間或利用繩子牽連,或疊加放置,要求考生分析物塊的受力與運動狀態(tài)的問題統(tǒng)稱為轉(zhuǎn)盤類圓周運動問題.根據(jù)轉(zhuǎn)盤上物塊個數(shù)多少可以將它們分成三類:單質(zhì)點轉(zhuǎn)動模型、雙質(zhì)點轉(zhuǎn)動模型和多質(zhì)點轉(zhuǎn)動模型,也可根據(jù)轉(zhuǎn)盤上物體的空間連接方式分為獨立轉(zhuǎn)動模型、疊加體轉(zhuǎn)動模型、繩牽連轉(zhuǎn)動模型.

2 轉(zhuǎn)盤類圓周運動的呈現(xiàn)方式

2.1 單質(zhì)點轉(zhuǎn)動模型

當一個物體放在轉(zhuǎn)動的圓盤上轉(zhuǎn)動時,圓盤對物體的摩擦力將提供物塊運動所需要的向心力,當轉(zhuǎn)盤的角速度緩慢增加時物塊受到的摩擦力將逐漸增加.

例1如圖1所示,一可視為質(zhì)點的物體隨轉(zhuǎn)盤一起圍繞轉(zhuǎn)盤中心轉(zhuǎn)軸勻速率轉(zhuǎn)動,當轉(zhuǎn)速緩慢增加時,關(guān)于物塊的運動和受力說法正確的是().

圖1

A.物塊所需的向心力大小保持不變

B.摩擦力的方向與線速度的方向相反

C.物塊受到重力、支持力、摩擦力和向心力

D.摩擦力是物塊運動向心力的來源

解析物體在轉(zhuǎn)盤上受到重力、支持力和摩擦力,其中重力和支持力保持平衡,在物塊未和轉(zhuǎn)盤發(fā)生相對滑動之前摩擦力提供圓周運動所需向心力,方向始終指向運動中心并且隨著轉(zhuǎn)速增大而增加.故選 項D 正確.

點評上述案例是單質(zhì)點轉(zhuǎn)動模型中較為簡單又典型的試題,分析向心力的來源是處理這類問題的關(guān)鍵,而受力分析則是解題關(guān)鍵.分析本題需要關(guān)注兩點:其一,需要緊扣“轉(zhuǎn)速緩慢增加”這一題眼,“緩慢”二字的潛在意義就是只要物體沒有發(fā)生相對滑動,物體在任何狀態(tài)下的運動都可以看作勻速圓周運動;其二,重力和支持力是一對平衡力,靜摩擦力是向心力的效果來源,因而其方向指向運動中心,且它隨著角速度的增加而逐漸變大,直至物體與轉(zhuǎn)盤發(fā)生相對滑動.

2.2 雙質(zhì)點轉(zhuǎn)動模型

我們把兩個可以看成質(zhì)點的物體隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的模型稱之為雙質(zhì)點轉(zhuǎn)動模型.這兩個物體的組合形式可以是單獨存在于轉(zhuǎn)盤之上,也可相互疊加形成疊加體,也可以通過繩子相連接形成牽連體等.分析這類問題的主要方法是整體法和隔離法.

例2如圖2所示,質(zhì)量不等的甲、乙兩個物塊放在水平轉(zhuǎn)盤上,兩物塊與轉(zhuǎn)盤之間的動摩擦因數(shù)相同,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,讓轉(zhuǎn)盤繞過圓心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動,并逐漸增大轉(zhuǎn)動角速度,發(fā)現(xiàn)甲物塊先滑動,其原因是().

圖2

A.甲的質(zhì)量比乙小

B.甲的質(zhì)量比乙大

C.甲離轉(zhuǎn)軸的距離比乙小

D.甲離轉(zhuǎn)軸的距離比乙大

解析甲物塊先滑動說明甲先于乙達到最大靜摩擦或者臨界加速度,即μmg＝mrω2＝mr·4π2n2或μg＝rω2＝r·4π2n2,在甲相對轉(zhuǎn)盤滑動之前甲、乙轉(zhuǎn)速一樣,哪個物塊先滑動與物塊的質(zhì)量無關(guān),只與它們距離中心轉(zhuǎn)軸的距離有關(guān),距離遠的最先滑動,距離近的稍后滑動.故選項D 正確.

點評假設甲、乙到中心轉(zhuǎn)軸的距離分別是r1、r2,滑動摩擦因數(shù)為μ.對甲而言μm甲g＝,甲開始滑動時轉(zhuǎn)盤的角速度ω1＝,此時乙所受到的摩擦力,還未達到最大靜摩擦力,因此它相對轉(zhuǎn)盤保持靜止.當時,乙才與轉(zhuǎn)盤開始發(fā)生相對滑動.本題的易錯點在于,考生容易認為質(zhì)量小的物塊最先滑動,質(zhì)量大的物塊最后滑動,把物塊質(zhì)量與滑動本質(zhì)對應.對于這樣的問題,教師需要引導學生一步一步挖掘題中的隱含條件進行臨界分析,幫助考生厘清問題解決的方向,從本質(zhì)上來講,此題與例1差別并不大,分析思路大同小異.

2.3 三質(zhì)點轉(zhuǎn)動模型

我們把轉(zhuǎn)盤上有三個隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動的物塊的情形稱之為三質(zhì)點轉(zhuǎn)動模型.在習題教學中最常見的是繩牽連與疊加的情形,這類問題都可以通過一些物理處理變?yōu)殡p質(zhì)點轉(zhuǎn)動模型,這類題型雖情境單一,分析過程卻較為復雜.

例3如圖3 所示,在水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量分別為m、m、2m的可視為質(zhì)點的三個物體A、B、C.圓盤可繞垂直圓盤的中心轉(zhuǎn)軸O1O2轉(zhuǎn)動,三個物體與轉(zhuǎn)盤之間的動摩擦因數(shù)均為μ,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,三個物體與軸心O共線且OB＝OA＝BC＝r.現(xiàn)將三個物體用輕質(zhì)細繩相連接,保持細線伸直且恰好無張力,重力加速度為g,圓盤從靜止開始轉(zhuǎn)動,角速度ω極其緩慢地增大,對于這個過程,下列說法正確的是().

圖3

A.A、B兩個物體所受的摩擦力同時達到最大靜摩擦力

B.B、C兩個物體所受的靜摩擦力先增大后不變,A物體所受的靜摩擦力先增大后減小再增大

C.當ω＝時,三個物體整體發(fā)生滑動

解析轉(zhuǎn)動伊始,摩擦力提供運動所需向心力,FfA＝FfB＝mrω2,FfC＝2m·2rω2＝4mrω2,隨著角速度的增加,物塊所需向心力大小也將增加,當FfC＝μ·2mg時,B、C之間的繩子即將產(chǎn)生張力,對C根據(jù)μ·2mg＝,得ω1＝,此時A、B還未達到最大靜摩擦力,A、B之間的繩子還未產(chǎn)生張力.

轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速進一步增大,B、C之間的繩子產(chǎn)生張力.對C有FTBC＋μ·2mg＝4mrω2,對B有FfBFTCB＝mrω2,對A,FfA＝mrω2,可知B先于A達到最大靜摩擦力,當FfB＝μmg時,A、B之間的繩子即將產(chǎn)生張力,此時對B、C分別有μmg－FTCB＝,FTBC＋μ·2mg＝,解得ω2＝,此刻以后隨著轉(zhuǎn)速的增加,A、B之間的繩子產(chǎn)生張力,對B有FTAB＋μmg－FTCB＝mrω2,再利用假設法對A有FTBA＋FfA＝mrω2,根據(jù)C的方程解出B、C繩上的張力FTBC＝4mrω2－2μmg,代入前兩式得到FfA＝3μmg－4mrω2,那么我們便得到當ω＞ω2之后FfA隨著角速度的增加先減小為零,再反向增加到μmg,此時對A有FTBA－μmg＝,解得ω3＝.故選項B、C、D 正確.

點評在本題求解的過程中,我們需要認真考慮物體的臨界狀態(tài),分階段列出牛頓第二定律,整個過程始終要關(guān)注物體是否達到了最大靜摩擦力以及繩子究竟處于哪種狀態(tài).

3 方法總結(jié)與整理感悟

1)尋找向心力來源和對物塊進行狀態(tài)分析是解決這類問題的方向.不管轉(zhuǎn)盤上的物塊及其組成結(jié)構(gòu)多么復雜,只要它們所做的運動可以看成勻速圓周運動,那么解題方向就是通過受力分析準確找到向心力來源,然后再根據(jù)物塊的運動驗證受力分析的正確性.

2)恰當?shù)臍w類和變式可以提升復習的整體效能.試題歸類拓展可以讓知識“結(jié)網(wǎng)”,讓零散的知識形成“知識塊”.變式分析則增強了思維的靈活性,通過變式應用,學生對解題技巧的掌握會更加牢固.

總之,深度研究轉(zhuǎn)盤類問題不僅能夠促成知識學習向深度理解的轉(zhuǎn)換,還能夠增強學生知識結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡化程度,當學生能夠按照知識分類的角度思考問題時,學生的學習能力也就逐步得到加強.

(完)