朱紅英

(廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣西 南寧 530003)

100多年來(lái),Liapunov直接法一直是處理常微分方程和泛函微分方程穩(wěn)定性和有界性最常用的方法。但是, 當(dāng)方程有無(wú)界的項(xiàng)或者時(shí)滯是無(wú)界的[1-3],或者時(shí)滯的導(dǎo)數(shù)不小[4],這時(shí)利用Liapunov直接法證明微分-積分方程的穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí)就會(huì)嚴(yán)重困難。近年來(lái), 多位專家如Becker、Burton等[1-3,5-21]利用不動(dòng)點(diǎn)定理克服這個(gè)困難。而且運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)理論解決穩(wěn)定性等問(wèn)題還有其他優(yōu)勢(shì)[2]。

最近, Burton[6]討論了下列方程零解的穩(wěn)定性：

其中L是一個(gè)正常數(shù),利用不動(dòng)點(diǎn)定理得到了每個(gè)解x(t)滿足(x(t),x(t))→0的充分條件。

Pi[7]研究了帶有一個(gè)變時(shí)滯的方程

得到了在t-τ(t)嚴(yán)格遞增前提下方程零解的漸近穩(wěn)定性。而且要求g(x)滿足:存在l>0使得g(x)滿足在[-l,l]上的Lipschitz條件;g(x)在[-l,l]上是奇函數(shù)和嚴(yán)格單調(diào)遞增的;x-g(x)在[0,l]上不遞減。

2015年, Pi[8]討論了方程

得到了在t-τ(t)嚴(yán)格遞增前提下方程零解的漸近穩(wěn)定性，并且要求g(x)滿足:g(0)=0,g(x)和g(x)-x滿足在局部Lipschitz條件, 存在一個(gè)正常數(shù)L使得

|g(x)-g(y)|≤L|x-y|;?x,y∈[-l,l]。

討論一類二階微分-積分方程

d(t)g′(x(t-τ(t)))x′(t-τ(t))=0

(1)

的漸近穩(wěn)定性。

方程(1)可寫成

(2)

1 定義和引理

定義1若對(duì)任意給定的ε>0, 存在δ=δ(ε,t0)，使得當(dāng)任一φ滿足φ(t)∈C(t0)和‖φ‖<δ時(shí), 方程(1)由初始條件φ確定的解(x(t,t0,φ)對(duì)一切t>t0均有(x(t,t0,φ)<ε，則稱方程(1)的零解是穩(wěn)定的。

定義2若方程(1)的零解是穩(wěn)定的, 且存在δ1=δ1(t0)使得φ(t)∈C(t0)和‖φ‖<δ1成立, 則當(dāng)t→ +∞時(shí), 滿足初始條件的解(x(t,t0,φ)均有(x(t,t0,φ)→0。稱方程(1)的零解是漸近穩(wěn)定的。

定理1假設(shè)下列條件成立,

成立。

H2:g(0)=0,g(×)滿足Lipschitz條件: 對(duì)于任意的u、v∈R, 存在一個(gè)Lipschitz常數(shù)L>0，使得|g(u)-g(v)|≤L|u-v|成立。

H3:當(dāng)Γ是一個(gè)正常數(shù)時(shí), 核函數(shù)

H4:對(duì)于t0≥0連續(xù)函數(shù)h(s):[t0,+∞)→R有

存在一個(gè)常數(shù)α∈(0,1)和一個(gè)連續(xù)函數(shù)a(t):R+→R+使得當(dāng)t≥0,x∈R,y∈R時(shí)f(t,x,y)≥a(t),

2 定理1的證明

利用不動(dòng)點(diǎn)理論證明定理1。首先列出解的表達(dá)式。

引理1方程(1)等價(jià)于

d(t)g′(x(t-τ(t)))x′(t-τ(t))。

(3)

證明計(jì)算方程(2)的第二項(xiàng)得

(4)

(5)

其中

D(s)=

(6)

(7)

注意到

(8)

和

(9)

分步積分得

(10)

并且

(11)

把方程(8)～(11)代入到方程(7), 得到方程(5)。引理2得證。

對(duì)于給定的連續(xù)初始函數(shù)φ, 定義集Cφ?C為

Cφ={φ:[t0,∞)→R|φ∈C,φ(t)=φ(t),

t∈(-∞,t0]}

和它的子集

定理1的證明：

(12)

根據(jù)A(t)=g(t,x(t),y(t))≥a(t)≥0得

對(duì)于給定的ε>0, 存在T1>Q+t0，使得ea0t0- a0T1T1和t0

當(dāng)t>T1時(shí)，得

那么當(dāng)t→ +∞時(shí)，第二項(xiàng)(Pφ)(t)→0。同理, 當(dāng)t→ +∞時(shí)，有I4,I5,I6→0成立。那么

當(dāng)t→ +∞時(shí),φ(t-τ(t))→0。對(duì)于t>T2, 存在一個(gè)T2>t0使得φ(t-τ(t))<ε,所以 對(duì)于t≥T2有

τ(u))|du+αε。

因此,當(dāng)t→ +∞時(shí)，I15→0。

可以用同樣的方法證明當(dāng)t→ +∞時(shí),方程(12)中其余的項(xiàng)都趨向于零。

如果(x(t),x′(t))是方程(2)的一個(gè)解, 其中‖φ‖+x′(t0)|<δ, 那么對(duì)任意的t≥t0，有x(t)<ε。注意到當(dāng)t∈(-∞,t0]時(shí)，有x(t)<ε。如果存在t*>t0，使得x(t*)=ε以及當(dāng)-∞≤s≤t*時(shí),x(s)<ε, 那么根據(jù)方程(5)得

容易計(jì)算得到

所以x(t*)<ε, 這與|x(t*)|的定義矛盾。因此,

x(t)<ε,?t≥t0。

(13)

由方程(2)的第二項(xiàng)得

(14)

那么

根據(jù)(H1)得

所以

因此, 方程的零解是穩(wěn)定的,而且證明了當(dāng)t→ +∞時(shí)，有x(t)→0。所以方程的零解是漸近穩(wěn)定的，完成了充分性的證明。

成立。選擇一個(gè)正常數(shù)ξ, 使得

簡(jiǎn)記

由條件H4得

于是有

這里β∈R+, 選擇一個(gè)正整數(shù)m足夠大，使得

其中δ0>0滿足

(1-α)。

當(dāng)tn≥tm時(shí), 根據(jù)方程(5)和|x(t)|≤1，有

(15)

另外,若方程(2)的零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的,則當(dāng)t→0時(shí)，有x(t)→0。假如當(dāng)n→∞時(shí),tn-τ(tn)→∞,由中值定理得

顯然當(dāng)tn→∞時(shí),|x(θ)|→0。所以

因此，這與方程(15)矛盾,所以條件H4是方程(2)零解漸近穩(wěn)定的必要條件。

3 結(jié)束語(yǔ)

方程(1)是帶有無(wú)窮時(shí)滯的二階微分方程，如果使用李亞普諾夫直接法來(lái)研究方程(1)的零解的漸近穩(wěn)定性，那么無(wú)窮時(shí)滯項(xiàng)只能限定為有界，所以實(shí)際上不能使用最常用的李亞普諾夫直接法來(lái)證明這類方程零解的穩(wěn)定性。而本文利用不動(dòng)點(diǎn)定理,得到了方程(1)零解漸近穩(wěn)定的充分必要條件。總之，不動(dòng)點(diǎn)定理不僅解決了方程的零解的漸近穩(wěn)定性問(wèn)題,其結(jié)果解除了以往對(duì)無(wú)窮時(shí)滯的嚴(yán)格限制,而且也明顯減少對(duì)函數(shù)g的限制。不動(dòng)點(diǎn)定理可用來(lái)研究帶有無(wú)界的項(xiàng)或者無(wú)窮時(shí)滯的微分方程零解的漸近穩(wěn)定性問(wèn)題，當(dāng)然這里的不動(dòng)點(diǎn)不局限于Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，還可以是Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理、Shauder不動(dòng)點(diǎn)定理等等。