張晴晴， 劉永宏

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

布朗運動也可稱為維納過程，作為具有連續(xù)時間參數(shù)和連續(xù)狀態(tài)空間的一個隨機過程，是隨機過程學(xué)科中最簡單、最基本、最常見的隨機過程之一[1]。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，人們越來越意識到現(xiàn)實生活中影響某種隨機現(xiàn)象的因素不是單一的，如天氣變化，除了緯度位置，還與大氣環(huán)流、海陸分布等因素相關(guān)。這促使學(xué)者尋找某種途徑，把單參數(shù)情形所得到的結(jié)論推廣到更為復(fù)雜的多參數(shù)情形。在多參數(shù)布朗運動中，兩參數(shù)布朗運動最具代表性[2]。

布朗運動與兩參數(shù)布朗運動的重對數(shù)律[3]問題研究最為廣泛。畢秋香等[4]證明了在一定的假設(shè)條件下，廣義布朗運動服從重對數(shù)律，得到并證明了相應(yīng)的結(jié)果；文獻(xiàn)[5-8]利用布朗運動在H?lder范數(shù)下的大偏差，得到了布朗運動增量在H?lder范數(shù)下的局部Strassen重對數(shù)律。文獻(xiàn)[9-10]通過建立兩參數(shù)布朗運動增量的大偏差結(jié)果，得到了在矩形集上兩參數(shù)布朗運動大增量和小增量的Cs?rg?-Révész型增量Strassen重對數(shù)律；許杰等[11]利用兩參數(shù)布朗運動增量的大偏差，得到了一類兩參數(shù)布朗運動過程的連續(xù)模的情形。

鑒于此，針對兩參數(shù)布朗運動對數(shù)律問題，給出了兩參數(shù)布朗運動增量的大偏差，得到了兩參數(shù)布朗運動的泛函對數(shù)律，并進(jìn)行了證明。

1 預(yù)備知識

C0={f∈C;f(0,t)=f(s,0)=0}，

設(shè)函數(shù)I:C0→[0,∞]，定義如下：

設(shè)au:(0,∞)→(0,∞)為非減連續(xù)函數(shù)，滿足：

1)au≤u，對任何u∈(0,∞)；

2)u/au非減；

定義

Δ(s,t,aux,auy)=w(s+aux,t+auy)-

w(s+aux,t)-w(s,t+auy)+w(s,t)，

0≤s≤u-au,0≤t≤u-au,(x,y)∈[0,1]2。

設(shè)

K={f∈H;2I(f)≤1}。

定義

Zs,t,u(x,y)=γuΔ(s,t,aux,auy)。

2 主要結(jié)果

定理1若1)～3)成立，則有

(1)

且對任意的f∈K，

(2)

3 若干引理

引理1[10]對任何閉集F?C0，

對任何開集G?C0，

引理2[10]對任何0

引理3設(shè)f∈H，定義

f*(·,·)=f(λ·,λ′·)，

其中λ,λ′<1，則

‖f-f*‖≤{((1-λ)(1-λ′))1/2+(1-λ)1/2+

(1-λ′)1/2}‖f‖H。

‖f(·,·)-f*(·,·)‖=

{((1-λ)(1-λ′))1/2+

(1-λ)1/2+(1-λ′)1/2}‖f‖H。

引理4[12](博雷爾-坎特利引理) 若

則

證明

引理5[13]設(shè){ξn}n≥1為隨機變量序列，若

則存在子列{ξnk}，使得

因此

4 定理1的證明

4.1 式(1)的證明

引理6若1) ～3)條件成立，則存在un→∞，使得

(3)

證明設(shè)A={g:‖g-K‖≥ε}，則A為閉集，存在任意小的δ>0，使得

由引理2，有

故有

由引理5，可得

故引理6得證，從而式(1)得證。

4.2 式(2)的證明

引理7若1) ～3)條件成立，則對任意f∈K，存在子列{un=θn,θ>1,n≥1}，使得

(5)

證明設(shè)si=iaun,tj=jaun,i,j=0,1,…,

若n足夠大，則有

(6)

若n足夠大，則由大偏差可得

因此，

(7)

若n足夠大，則由式3)有

故有

exp(-4log logun),

(8)

由Borel-Cantelli引理可得：

引理8若1) ～3)條件成立，則對任何f∈K，有

(9)

證明設(shè)un如引理7中定義，對u∈(un-1,un]，

有

(10)

則有

可得

(11)

(12)

令θ→1，由式(10)～(12)和引理7，可得式(9)，從而式(2)得證。

5 結(jié)束語

對布朗運動增量的重對數(shù)律有關(guān)問題進(jìn)行了研究，將兩參數(shù)布朗運動問題和單參數(shù)布朗運動問題進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)可以將單參數(shù)布朗運動增量的對律推廣到兩參數(shù)布朗運動增量的情形。通過對兩參數(shù)布朗運動增量在一致范數(shù)下的對數(shù)律的探討，今后還可以進(jìn)一步探究兩參數(shù)布朗運動增量在H?lder范數(shù)下的對數(shù)律以及兩參數(shù)布朗運動增量的鐘型重對數(shù)律。