張 莉，榮振宇，王晗語(yǔ)，姜恒鈞，韓玉晶，陳小藝

(濟(jì)南大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250022)

楊氏模量是反映固體材料抵抗彈性形變能力的物理量，它的測(cè)定在科學(xué)研究和技術(shù)應(yīng)用中都具有重要意義.在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，楊氏模量的測(cè)量方法大致分為靜態(tài)拉伸法和動(dòng)態(tài)法兩類.靜態(tài)拉伸法是將被測(cè)金屬絲拉伸后，通過(guò)對(duì)金屬絲微小伸長(zhǎng)量的測(cè)量實(shí)現(xiàn)楊氏模量的測(cè)量.實(shí)驗(yàn)中，金屬絲的微小伸長(zhǎng)量可以借助光杠桿[1]或激光杠桿[2,3]進(jìn)行放大測(cè)量，也可以借助箔式應(yīng)變片[4]、霍爾位置傳感器[5]、位移光柵尺[6]等傳感器進(jìn)行測(cè)量，還可以利用莫爾條紋[7]、劈尖干涉[8]、數(shù)字激光散斑照相術(shù)[9]等光學(xué)手段實(shí)現(xiàn)測(cè)量.動(dòng)態(tài)法則是通過(guò)對(duì)做受迫振動(dòng)或自由阻尼振動(dòng)[10]的被測(cè)材料的頻率等參數(shù)進(jìn)行測(cè)量，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)其楊氏模量的測(cè)量.靜態(tài)拉伸法中的光杠桿法原理直觀、簡(jiǎn)單，因此在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中應(yīng)用較多.

傳統(tǒng)的光杠桿法測(cè)楊氏模量的實(shí)驗(yàn)中需要測(cè)量光杠桿平面鏡到標(biāo)尺的距離，且該距離一般要求一米以上，因此會(huì)導(dǎo)致測(cè)量的不便.本論文通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)的光杠桿法測(cè)楊氏模量的實(shí)驗(yàn)裝置的改進(jìn)，將原本光杠桿平面鏡到標(biāo)尺距離的測(cè)量，改為測(cè)量該距離的改變量，由此實(shí)現(xiàn)楊氏模量的測(cè)量.

1 光杠桿法測(cè)楊氏模量的改進(jìn)

在彈性形變范圍內(nèi)，固體材料應(yīng)力與應(yīng)變的比值定義為楊氏模量.對(duì)于一條原長(zhǎng)度為L(zhǎng)0、橫截面面積為S(直徑為d)的金屬絲，在拉力F的作用下發(fā)生了ΔL的微小伸長(zhǎng)量，則其楊氏模量可以表示為

(1)

金屬絲的微小伸長(zhǎng)量ΔL采用光杠桿進(jìn)行測(cè)量.如圖1所示，設(shè)光杠桿兩前足連線與后足的距離為b，光杠桿平面鏡到標(biāo)尺的距離為D0，則待測(cè)金屬絲的微小伸長(zhǎng)量ΔL可以近似表示為

(2)

其中，Δx為未施加拉力時(shí)與施加拉力F后標(biāo)尺刻度的變化量.將式(2)代入式(1)，可得

(3)

式(3)即傳統(tǒng)光杠桿法測(cè)楊氏模量的計(jì)算公式.

圖1 改進(jìn)后的光杠桿法測(cè)楊氏模量實(shí)驗(yàn)裝置圖

在傳統(tǒng)的光杠桿法測(cè)楊氏模量實(shí)驗(yàn)中，往往取L0、d、b以及D04個(gè)物理量為恒定值，然后在增加或減小拉力F前后測(cè)量標(biāo)尺刻度的變化量Δx.為了降低測(cè)量結(jié)果的相對(duì)不確定度，實(shí)驗(yàn)一般要求光杠桿平面鏡到標(biāo)尺的距離較大，但這樣會(huì)導(dǎo)致D0值測(cè)量的不便.為了解決這一問(wèn)題，本論文將傳統(tǒng)楊氏模量實(shí)驗(yàn)儀的望遠(yuǎn)鏡與標(biāo)尺組合安裝在一個(gè)帶有讀數(shù)裝置的一維平移臺(tái)上(如圖1所示)，平移臺(tái)可以帶動(dòng)望遠(yuǎn)鏡與標(biāo)尺同步移動(dòng).實(shí)驗(yàn)中在金屬絲所受拉力為某一定值且保持不變時(shí)，調(diào)節(jié)平移臺(tái)移動(dòng)望遠(yuǎn)鏡和標(biāo)尺組合，利用平移臺(tái)的讀數(shù)裝置測(cè)量光杠桿平面鏡到標(biāo)尺距離的改變量ΔD，并通過(guò)望遠(yuǎn)鏡測(cè)量平移臺(tái)移動(dòng)前后標(biāo)尺刻度的改變量ΔX，以此替代傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)方法中D0值和Δx值的測(cè)量.

2 改進(jìn)后的光杠桿法測(cè)楊氏模量原理

改進(jìn)后的光杠桿法測(cè)楊氏模量的原理圖如圖2所示.實(shí)驗(yàn)前先將一維平移臺(tái)放在距離光杠桿大約1～2 m處，并按傳統(tǒng)方法調(diào)節(jié)好光杠桿和望遠(yuǎn)鏡，使得光杠桿平面鏡為豎直狀態(tài)；再調(diào)節(jié)平移臺(tái)的移動(dòng)方向，使之與此時(shí)光杠桿平面鏡的法線方向保持一致；最后調(diào)節(jié)平移臺(tái)，將望遠(yuǎn)鏡與標(biāo)尺組合移動(dòng)到其可調(diào)范圍內(nèi)最接近光杠桿的位置附近.

圖2 改進(jìn)后的光杠桿法測(cè)楊氏模量的原理圖

當(dāng)實(shí)驗(yàn)中施加給金屬絲的拉力為F時(shí)，由于光杠桿平面鏡的轉(zhuǎn)動(dòng)，鏡面法線偏轉(zhuǎn)到與水平方向夾角為α.首先，調(diào)節(jié)平移臺(tái)將標(biāo)尺向遠(yuǎn)離光杠桿的方向移動(dòng)到標(biāo)尺的某一刻度線與望遠(yuǎn)鏡十字叉絲重合的位置，此時(shí)標(biāo)尺的刻度值與平移臺(tái)讀數(shù)裝置的示數(shù)分別作為標(biāo)尺刻度的改變量ΔX與光杠桿平面鏡到標(biāo)尺距離的改變量ΔD的測(cè)量“零點(diǎn)”；再次調(diào)節(jié)平移臺(tái)將標(biāo)尺向遠(yuǎn)離光杠桿的方向移動(dòng)，當(dāng)標(biāo)尺刻度的改變量ΔX1=1 mm時(shí)，記錄光杠桿平面鏡到標(biāo)尺距離的改變量ΔD1；然后繼續(xù)移動(dòng)標(biāo)尺，依次記錄標(biāo)尺刻度的改變量分別為ΔX2=2 mm，ΔX3=3 mm，…時(shí)光杠桿平面鏡到標(biāo)尺距離的改變量ΔD2、ΔD3、…；當(dāng)平移臺(tái)在其可調(diào)范圍內(nèi)由接近光杠桿的近端移動(dòng)到其遠(yuǎn)端后，再反向移動(dòng)平移臺(tái)，在相同ΔX值的條件下再測(cè)量一組ΔD值；最后，將往返兩次測(cè)量的ΔD值對(duì)應(yīng)取平均值，再與相應(yīng)的ΔX值進(jìn)行線性擬合計(jì)算，即可計(jì)算出拉力為F的條件下光杠桿平面鏡的反射光線的斜率k，且根據(jù)圖2有

(4)

因此，由式(4)可以得出此時(shí)待測(cè)金屬絲的微小伸長(zhǎng)量ΔL可以近似表示為

(5)

再將式(5)代入式(1)，可得楊氏模量的計(jì)算公式為

(6)

3 測(cè)量結(jié)果

圖3是本論文改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖，該裝置是在杭州光學(xué)電子儀器有限公司生產(chǎn)的HG-YMC-IV型楊氏模量測(cè)定儀的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，其數(shù)字拉力計(jì)的施力范圍是0～20 kg，分辨率為0.01 kg，其標(biāo)尺的刻度范圍是-15～15 cm，最小刻度為1 mm；平移臺(tái)使用的是北京大恒光電生產(chǎn)的GCM-830303M型手動(dòng)數(shù)顯平移臺(tái)，其移動(dòng)行程為100 mm，分辨率為0.01 mm.實(shí)驗(yàn)中分別利用卷尺(極限誤差為0.5 mm)、螺旋測(cè)微器(極限誤差為0.004 mm)和游標(biāo)卡尺(極限誤差為0.02 mm)測(cè)量實(shí)驗(yàn)用鋼絲的長(zhǎng)度L0、直徑d以及光杠桿兩前足連線與后足的距離b，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及其處理結(jié)果如表1-3所示.

實(shí)驗(yàn)裝置整體圖

改進(jìn)后的望遠(yuǎn)鏡與標(biāo)尺組合實(shí)物圖圖3 改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

表1 鋼絲長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)處理

表2 鋼絲直徑的數(shù)據(jù)處理

表3 光杠桿兩前足連線與后足距離的數(shù)據(jù)處理

為了減小鋼絲彎曲、鋼絲夾具卡口摩擦力、彈性滯后等因素的影響，實(shí)驗(yàn)測(cè)量中一是需要在實(shí)驗(yàn)之初對(duì)鋼絲施加一定的初始拉力以預(yù)拉伸鋼絲，二是所施加的拉力采用先增加后減小的方式進(jìn)行兩組測(cè)量.此外，結(jié)合本論文所采用的測(cè)量原理，還需要在拉力為某一定值且保持不變的情況下，調(diào)節(jié)平移臺(tái)進(jìn)行往返兩組測(cè)量以降低測(cè)量的隨機(jī)誤差.

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，施力系統(tǒng)在施加3.00 kg砝碼相應(yīng)的預(yù)拉力的基礎(chǔ)上，每次增加1.00 kg砝碼相應(yīng)的拉力直至13.00 kg砝碼相應(yīng)的拉力，之后每次再減小1.00 kg砝碼相應(yīng)的拉力直至3.00 kg砝碼相應(yīng)的拉力；在拉力為某一定值且保持不變的情況下，調(diào)節(jié)平移臺(tái)往返兩次測(cè)量在標(biāo)尺刻度的改變量依次為1.0 mm、2.0 mm、3.0 mm、…時(shí)光杠桿平面鏡到標(biāo)尺距離的改變量，然后將標(biāo)尺刻度的改變量與兩次光杠桿平面鏡到標(biāo)尺距離改變量的平均值作線性擬合計(jì)算，得到增加拉力和減小拉力過(guò)程中各拉力值條件下反射光線的斜率如表4所示.

表4 砝碼質(zhì)量及其相應(yīng)反射光線的斜率

在傳統(tǒng)的光杠桿法測(cè)楊氏模量實(shí)驗(yàn)中，往往采用逐差法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理.因此，將利用逐差法得到的拉力變化量ΔF及與之相應(yīng)的反射光線斜率的變化量Δk代入式(6)，則楊氏模量的計(jì)算公式又可以

(7)

還可以將上述所測(cè)得的反射光線的斜率ki與相應(yīng)的拉力Fi再次進(jìn)行線性擬合計(jì)算，此時(shí)所得的斜率dk/dF即表示反射光線的斜率隨拉力改變時(shí)的變化率.因此，式(7)又可以進(jìn)一步寫為

(8)

式(8)即為利用本論文改進(jìn)后的光杠桿法測(cè)楊氏模量最終的計(jì)算公式.

利用表(4)所得數(shù)據(jù)，以拉力Fi為自變量，反射光線斜率的平均值ki為因變量進(jìn)行線性擬合計(jì)算，最終計(jì)算所得反射光線的斜率隨拉力的變化的斜率為dk/dF=(0.000 524 22±0.000 004 53) N-1.

將上述計(jì)算結(jié)果代入式(8)，計(jì)算所測(cè)鋼絲的楊氏模量的平均值為

其間接測(cè)量的相對(duì)不確定度為

則楊氏模量的總不確定度為

最終實(shí)驗(yàn)測(cè)得鋼絲的楊氏模量為

EY=1.4%

4 結(jié)論

本論文在現(xiàn)有光杠桿法楊氏模量測(cè)定儀的基礎(chǔ)上，在標(biāo)尺處安裝一個(gè)帶有讀數(shù)裝置的平移臺(tái)，一方面利用該裝置測(cè)量光杠桿平面鏡到標(biāo)尺距離的改變量ΔD，從而解決傳統(tǒng)方法中測(cè)量較大的距離D0所帶來(lái)的不便，可以提高單人完成實(shí)驗(yàn)的便捷性；另一方面當(dāng)金屬絲受到的拉力為某一定值且保持不變時(shí)，傳統(tǒng)的光杠桿法測(cè)楊氏模量實(shí)驗(yàn)僅對(duì)標(biāo)尺刻度進(jìn)行單次測(cè)量，而本論文通過(guò)調(diào)節(jié)平移臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)相同實(shí)驗(yàn)條件下的多次測(cè)量，從而可以降低測(cè)量中隨機(jī)誤差的影響.