陳佳彬，徐 強，王 巍，鐘 鳴，陸建隆

(1.南京師范大學 教師教育學院，江蘇 南京 210023；2.南京師范大學 物理科學與技術(shù)學院，江蘇 南京 210023)

“飛翔的荷蘭人”是一則流傳于歐洲民間的傳說.據(jù)傳一艘荷蘭軍艦在好望角外遭遇風暴失事，同行的船經(jīng)受住了風暴，隨后到達好望角.但是在這些船只整修好返回歐洲的途中，在同一地點再次遭受到猛烈的暴風雨的襲擊.值夜的水手看到，有一艘倒立的船若隱若現(xiàn)地朝著他們撞過來，一名水手確定這艘船正是在前一場風暴中失事的荷蘭軍艦.但是在風暴停止后，黑云似的軍艦幻影就消失了.這個幻影從此就被人們稱作“飛翔的荷蘭人”.

對于這個傳說的記載與解釋有很多.根據(jù)“飛翔的荷蘭人”虛幻、倒置、幻象重疊等特點，給出的最有可能的解釋就是法塔莫干納現(xiàn)象.這個幻影實際上是一艘因距離遙遠而看不見的船在特定的大氣條件下由于光的折射和全發(fā)射而形成的倒立多重虛像.據(jù)說不久之后，船長和水手們也確實看見了這艘船.

1 法塔莫干納現(xiàn)象理論分析

1.1 法塔莫干納現(xiàn)象形成的物理機理

通常一般形式的海市蜃樓是遠處物體經(jīng)過海面作用后形成的單個幻象，這個幻象稱為蜃景.出現(xiàn)蜃景的原因是在太陽光照射等外界因素的影響下，空氣的溫度在不同高度的空氣層中呈梯度分布，稱為逆溫層，由于冷空氣密度大，折射率大；熱空氣密度小，折射率小，逆溫層中氣溫遞增或遞減的梯度分布會導致空氣密度和折射率的梯度分布，即不同高度的空氣溫度不同，密度不同，折射率不同[1].當物體發(fā)出的光線穿過不同高度的空氣層時，由于光的折射發(fā)生彎折，最后進入人眼.我們的大腦認為光線總是沿直線傳播，看到的物體就會偏離原位置.根據(jù)蜃景位置的不同可以分為上現(xiàn)蜃景和下現(xiàn)蜃景，幻象出現(xiàn)在原物上方就稱為上現(xiàn)蜃景，出現(xiàn)在物體下方即為下現(xiàn)蜃景.圖1為上現(xiàn)蜃景示意圖，橫線代表空氣中的逆溫層，帶有箭頭的線段為光線的軌跡.

圖1 普通海市蜃樓光路圖(上現(xiàn)蜃景)

法塔莫干納現(xiàn)象實際上就是一種形態(tài)復雜的海市蜃樓，在海面、陸地、極區(qū)都可以形成.圖2是法塔莫干納現(xiàn)象形成的示意圖，可以把它歸為一種復雜形式的上現(xiàn)蜃景.法塔莫干納現(xiàn)象和一般形式的上現(xiàn)蜃景相比，除了需要具有溫度梯度的逆溫層存在(即存在折射率梯度)外，還需要在逆溫層內(nèi)存在折射率的跳躍變化[1].當逆溫層內(nèi)存在一層相較于下方(較冷而密度較大的空氣)明顯溫暖的空氣時，逆溫層就會被分為兩個小層，小層之間出現(xiàn)分界面.當存在多層這樣的暖空氣時，原來的逆溫層就會演化為“逆溫層——分界面——逆溫層——分界面”這種逆溫層與分界面交替出現(xiàn)的分布.

圖2 法塔莫干納現(xiàn)象光路圖

如圖3所示，橫坐標為空氣折射率，縱坐標為逆溫層的高度，由圖可見形成法塔莫干納現(xiàn)象時逆溫層中空氣折射率隨高度變化的特點，即在分界面處折射率出現(xiàn)跳躍遞減.原本逆溫層內(nèi)折射率自下而上遞減，但是由于分界面的存在，空氣折射率在小層分界面處折射率跳躍式減小，在各小層內(nèi)部梯度遞減，小層與小層之間的折射率存在明顯差異.

圖3 法塔莫干納現(xiàn)象形成時空氣折射率隨高度變化示意圖

折射率的躍變是形成法塔莫干納現(xiàn)象的必要條件，它依賴于逆溫層的形成.常見的情況是空氣容易形成逆溫層，而在逆溫層內(nèi)形成折射率躍變的分界面并不容易，這也是法塔莫干納現(xiàn)象不常見的主要原因.法塔莫干納現(xiàn)象中像的形態(tài)是很復雜的，例如可以在同一位置觀測到多個像；可觀測到單個像的伸展、收縮與倒立；觀察到多像重疊；有時像是瞬息萬變的.

1.2 法塔莫干納現(xiàn)象成像的定性分析1.2.1 觀測到多個像

如圖1所示，對于一般的上現(xiàn)蜃景，實物發(fā)出的光線在逆溫層中發(fā)生折射和全反射，人眼能觀測到在實物上方形成的虛像.

當有分界面存在時，逆溫層被分為一個個內(nèi)部具有連續(xù)折射率梯度的小層，小層與小層之間的折射率存在明顯差異，如圖2所示.實物成像時，向各個方向發(fā)出光線，在每小層內(nèi)部均會發(fā)生偏折，發(fā)生全反射，同一觀測位置，人眼能接收到經(jīng)由不同小層偏折的光線，即能看到多個像.

1.2.2 單層介質(zhì)內(nèi)單個像的伸展、收縮與倒立

當逆溫層內(nèi)部折射率隨高度逐漸減小，且高度差越大時，折射率相差就越大，光線在其中的偏折角度越大.對于實物(如圖4中實心黑色箭頭)來說，由于其存在一定的高度，實物頂部發(fā)出的光線和實物底部發(fā)出的光線在同一小層中彎折程度不同且各個方向均存在，即會出現(xiàn)以下三種情況：第一種情況是形成壓縮正立虛像，如圖4箭頭1；第二種情況是形成伸展的正立虛像，如圖4箭頭2，第三種情況是形成倒立虛像，如圖4箭頭3，其形成原因是光線在進入人眼之前已經(jīng)發(fā)生交叉[2].

圖4 出現(xiàn)3種不同形態(tài)像時的光線軌跡示意圖

1.3 單層介質(zhì)內(nèi)的光線軌跡方程的理論推導

上述所有對成像的定性分析，均建立在光線傳播路徑為一條向上凸的曲線之上，為證明在折射率梯度遞減介質(zhì)中該軌跡的正確性，下面對光路軌跡方程進行推導.

圖5為具有梯度折射率逆溫層中光線軌跡示意圖，橫坐標為水平距離，縱坐標為豎直高度，n表示折射率.

圖5 具有梯度折射率的逆溫層中光線軌跡示意圖

在自由擴散溶液中，折射率梯度有[3]

n(y)=n0e-λy

(1)

其中y為高度，n0為y=0處的折射率，n(y)為高度y處介質(zhì)的折射率，在恒溫條件下λ為常數(shù).

由拉格朗日關(guān)系推得三維空間內(nèi)光線的近軸方程[4]為

(2)

考慮二維平面內(nèi)，由于折射率僅相對于高度y變化，上式進行化簡為

(3)

(4)

(5)

其中θ為光線與豎直方向夾角.

(6)

解此微分方程，得

(7)

其中C1、C2由入射高度和入射角度初始值確定，恒溫條件下λ為常數(shù).在后續(xù)實驗探究中，會對該方程進行驗證.

2 法塔莫干納現(xiàn)象的實驗探究

2.1 液體中的法塔莫干納現(xiàn)象及理論分析

由法塔莫干納現(xiàn)象成像的定性分析可知，折射率的躍變是形成法塔莫干納現(xiàn)象的必要條件，通常在空氣中容易形成逆溫層，但是在逆溫層內(nèi)折射率躍變并不容易，因此空氣中的法塔莫干納現(xiàn)象并不常見.本文利用液體替代空氣，通過制備梯度折射率液體的方法，對空氣中的法塔莫干納現(xiàn)象進行了模擬再現(xiàn)，從而開展實驗探究.為模擬實際的逆溫層，選用白砂糖溶液替代空氣并通過控制溶液濃度(濃度越大，折射率越大)達到形成梯度折射率及折射率躍變目的[5]；為模擬逆溫層中的分界面，采用保鮮膜法，配置每小層均具有折射率梯度的分層溶液.對于法塔莫干納現(xiàn)象的瞬息萬變性，主要是由于實際環(huán)境中，各類外界因素使得逆溫層內(nèi)空氣折射率每時每刻都在發(fā)生變化，實驗中不予以考慮.

具體的配置方法如下：首先準備一個方形玻璃缸(30×17×20 cm3)；若干保鮮膜、燒杯、白砂糖.在4個燒杯中分別配置0.636 g/mL、0.477 g/mL、0.318 g/mL、0.159 g/mL 4種白砂糖溶液各1.5 L冷卻到室溫，4種溶液折射率分別為1.445、1.420、1.396、1.373.將0.636 g/mL白砂糖溶液倒入玻璃缸中，在溶液表面覆蓋一層保鮮膜(玻璃缸壁上也要有一定高度的保鮮膜)，向玻璃缸中加入0.477 g/mL白砂糖溶液，溶液高度不得超過缸壁保鮮膜的高度，待兩層溶液穩(wěn)定后將保鮮膜緩慢抽出，抽出時盡量避免兩層分界面處的晃動，再將0.318 g/mL、0.159 g/mL溶液按順序以同樣的方法加入玻璃缸中，最終形成四層明顯的分層溶液，每層溶液高度均為3 cm.控制室溫不變，將配好的溶液靜置12 h，使溶質(zhì)分子自由擴散，這樣就形成了每層都具有折射率梯度、各層之間具有折射率躍變的溶液.

溶液配置完成后，在玻璃缸后8 cm處的桌面上用手機顯示某一圖像，相機置于玻璃缸后5 cm處拍攝蜃景，相機高度可調(diào)節(jié).如圖6所示，手機中顯示的圖像為adiads及圖標.不斷調(diào)整觀測位置，可以觀測到不同數(shù)量和不同形態(tài)的像.圖7為利用相機拍攝的一張蜃景圖，蜃景即adiads及圖標.在該觀測位置下，可以同時觀測到5個像，蜃景中存在多像及多像重疊.例如圖7中，2、3、4是單個壓縮像形態(tài)，1、2、4是倒立像形態(tài)，5是正立像，這種多形態(tài)像出現(xiàn)即為法塔莫干納現(xiàn)象.

圖6 觀測蜃景時各物體擺放位置示意圖

圖7 拍攝的蜃景(共存在5個像)

而對于圖7中單個像存在壓縮(像2、3、4)、倒立(像1、2、4)形態(tài)，原因在于手機存在一定的高度，從該頂部發(fā)出的光線和從底部發(fā)出的光線在通過配置的多層溶液的單個小層時將發(fā)生不同程度的偏折，故而能夠形成圖7所示的壓縮(像2、3、4)、倒立(像1、2、4)形態(tài)的像.下面通過光軌跡驗證多形態(tài)像出現(xiàn)即法塔莫干納現(xiàn)象.

圖8 手機光線射入分層溶液簡化模型

2.2 法塔莫干納現(xiàn)象成像的實驗探究

自然界中，物體向各個方向反射太陽光，肉眼無法直接看到光線軌跡，為了顯示光路，方便觀測，采用波長為532 nm的綠色激光代替實物發(fā)出的光線進行探究.

2.2.1 光線軌跡方程的驗證

為驗證光線軌跡方程的正確性，將激光(波長532 nm，綠色)照射入配置好的溶液最底層，使其在最底層發(fā)生折射和全反射.

圖9為實驗中拍攝的圖像，對圖中激光路徑打點，并用1.3中式(7)函數(shù)進行擬合，如圖10所示.擬合效果較好，即證明了軌跡方程的正確性.這就證實了光線在這類流體中的傳播路徑是一條向上凸的曲線，當物體反射的太陽光沿這種軌跡入射到人眼中時，觀測者才能看到在物體上方形成的虛像.

圖9 在最底層發(fā)生全反射時光線軌跡

圖10 函數(shù)擬合圖像

2.2.2 光線彎折程度與高度的關(guān)系

利用激光筆產(chǎn)生綠色激光(波長532 nm)水平入射至配置好的具有折射率梯度及梯度躍變的溶液(自下而上折射率逐漸減小)中,如圖11所示，圖中h為激光入射點距桌面的高度，α為光線軌跡在激光出射點的切線與水平方向的夾角，即激光偏轉(zhuǎn)角度.

圖11 激光水平入射至溶液發(fā)生偏轉(zhuǎn)

改變激光入射高度h,以模擬實物在成像時具有一定的高度，記錄激光偏轉(zhuǎn)角度α.以激光入射高度h為橫坐標，激光偏轉(zhuǎn)角度α為縱坐標作出函數(shù)圖(圖12).可以發(fā)現(xiàn)高度越高,激光偏轉(zhuǎn)角度越大，這與1.2.2中提出的理論相符.

圖12 激光筆入射高度與激光偏轉(zhuǎn)角度的關(guān)系

結(jié)合上述對光線軌跡方程的推導驗證，即可說明實物成像時，由于自身所具有的高度，頂端和底端發(fā)出的光線發(fā)生不同程度的偏折，頂端光線偏折程度較大，底部光線偏折程度較小，單個像呈現(xiàn)出伸展、壓縮、倒立三種形態(tài).

2.2.3 多像及多像重疊——激光入射角度對成像的影響

將激光(波長532 nm，綠色)照射入溶液中，控制激光始終從溶液最底部入射，改變激光的入射角度,以模擬實物在同一位置向各個方向發(fā)出光線(圖13).記錄激光入射角度θ、發(fā)生全反射的層數(shù)n、入射點到發(fā)生全反射點的水平距離L，分別以入射角度θ為橫坐標，層數(shù)n及水平距離L為縱坐標作函數(shù)圖(圖14和圖15).

圖13 改變?nèi)肷浣嵌裙饩€在不同層發(fā)生全發(fā)射

圖14 入射角度與發(fā)生全反射層數(shù)的關(guān)系

由圖14可以看出，激光入射角度的大小影響發(fā)生全反射的層數(shù)，入射角度越小，發(fā)生全反射的層數(shù)越大.全反射現(xiàn)象存在臨界角，只有當入射角超過臨界角時，才會發(fā)生全反射現(xiàn)象，入射角度越小，越容易在小層分界面處發(fā)生折射進入更高層，在更高層溶液中發(fā)生全發(fā)射.

由圖15可以看出，同一距離L對應(yīng)多個入射角度.也就是物體在同一位置向不同角度發(fā)出的光線可以經(jīng)由不同的小層發(fā)生全發(fā)射后進入人眼，各小層均能成像，人眼就能觀測到實物形成的多個像.以L=35 cm為例，其對應(yīng)圖像上3個點，分別為(76.5,35)、(80.5,35)、(88.2,35)，這說明在這個觀測位置能觀測到3個像，其中一個像源于以76.5°角入射的光線在第二層發(fā)生全反射，另外兩個像源于以80.5°和88.2°角入射的光線在第一層發(fā)生全反射.在這種情況下，人眼接收到來自第一小層和第二小層發(fā)生全反射的光線，第一小層成兩個像，第二小層成一個像，三、四小層不成像.

該實驗說明，實物成像時，其在同一位置發(fā)出的不同入射角度的光線在不同小層中均會發(fā)生偏折，同一觀測位置能接收到來自不同小層偏折的光線，即看到多個像.這與1.2.1中給出的理論解釋相符.由于物體存在一定的高度，各像之間會發(fā)生部分重疊.

圖15 入射角度與水平距離的關(guān)系

3 結(jié)論

本文從理論上分析了法塔莫干納現(xiàn)象出現(xiàn)的條件，即它需要多層內(nèi)部具有折射率梯度且層與層之間折射率存在顯著差異的流體作為光線的傳播介質(zhì).研究結(jié)果表明，單個像的3種形態(tài)(倒立、放大、縮小)主要是由于實物自身所具有的高度使得頂端與底端發(fā)出的光線偏折程度不同而形成的；復雜性中的多像主要是由于實物發(fā)出的光線在不同層發(fā)生了偏折；多像重疊是由于實物存在一定的高度，像與像之間會部分重疊；像的瞬息萬變則主要是由于實際環(huán)境中，各類外界因素使得逆溫層內(nèi)空氣折射率每時每刻都在發(fā)生變化.