張智豪, 樓旭陽

(江南大學物聯(lián)網(wǎng)工程學院, 江蘇 無錫 214122)

近年來, 線性系統(tǒng)的控制問題受到專家學者們的廣泛關注. 當系統(tǒng)被控對象無法準確建模時, 基于模型的控制方法面臨極大挑戰(zhàn), 甚至無法設計出有效的基于模型的控制器. 數(shù)據(jù)驅動理論可以利用被控系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)進行重構系統(tǒng), 由此擺脫對被控對象模型的依賴, 提高了控制系統(tǒng)的魯棒性, 并能夠有效處理被控對象難以建模的控制問題[1]. 然而, 目前基于離線數(shù)據(jù)驅動的學習算法,如最大似然法[2]、預測誤差法[3]以及子空間法[4]等, 要求輸入輸出數(shù)據(jù)量較為龐大致使其應用范圍受限, 或須對觀測數(shù)據(jù)進行分組而導致重構精度下降[5-6]. 基于有限數(shù)據(jù)的系統(tǒng)重構方法[7]具有較大潛力, 相較于最大似然法和預測誤差法, 其操作簡單且在輸入充分激勵的條件下能較好地實現(xiàn)系統(tǒng)重構.

由于連續(xù)狀態(tài)反饋控制對系統(tǒng)的實時性要求較高, 故離散時間的反饋控制備受關注. 作為一種離散時間的反饋控制策略, 采樣控制不僅能提高系統(tǒng)的控制精度和抗干擾能力, 而且可提升控制器的利用率和通用性. 由于采樣控制只在數(shù)據(jù)采樣時更新控制信號,故與傳統(tǒng)的連續(xù)控制相比, 其信息傳輸量低且控制效率高[8]. 輸入時滯方法[9]是一種處理采樣控制的有效方法, 其核心思想是通過帶有時滯的控制輸入來建立采樣系統(tǒng)模型,并建立具有線性矩陣不等式(linear matrix inequality, LMI)形式的穩(wěn)定性準則[10]. 與現(xiàn)有其他方法相比,輸入時滯法簡單方便且應用范圍更廣泛. 任濤等[11]利用輸入時滯法將含有采樣同步控制器的混雜系統(tǒng)轉換為具有輸入時滯的連續(xù)系統(tǒng),并給出了使誤差系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件,確保混沌系統(tǒng)在所容許的擾動下實現(xiàn)完全同步; Zeng等[12]在研究混沌Lur’e系統(tǒng)的采樣數(shù)據(jù)同步問題時改進了現(xiàn)有的輸入時滯法, 首次提出輸入時滯相關自由矩陣零等式方法, 并通過構造全新的Lyapunov泛函得到LMI形式的同步準則, 降低了現(xiàn)有結論的保守性. 本文擬基于有限數(shù)據(jù)策略對一類系統(tǒng)矩陣未知的線性系統(tǒng)進行重構,并采用輸入時滯法對重構后的系統(tǒng)進行閉環(huán)采樣控制,以期實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性.

本文中,Rn為n維歐幾里得空間,Rn×m為n×m維實矩陣空間,In為n維單位矩陣, diag{…}表示對角矩陣, *表示對稱矩陣塊中相應位置的轉置, ?表示矩陣的右逆,X≥Y表示X-Y是半正定的, 其中X和Y是同維矩陣.

1 系統(tǒng)重構

考慮如下連續(xù)線性系統(tǒng):

(1)

其中系統(tǒng)狀態(tài)z∈Rn, 參數(shù)A∈Rn×n,B∈Rn×m未知, 控制輸入u∈Rm.

采用歐拉離散化方法對連續(xù)系統(tǒng)(1)進行離散化處理,即

(2)

其中k為正整數(shù),α為步長.

將連續(xù)系統(tǒng)方程(1)代入式(2), 得

(3)

當步長α充分小時, 有

(4)

此時, 系統(tǒng)(1)的離散化形式為

(5)

引理1[7]若系統(tǒng)(5)滿足秩條件

(6)

則系統(tǒng)(5)等價于

(7)

注1為了滿足輸入充分激勵的條件, 對輸入序列長度θ的唯一要求是θ≥(m+1)n+m.若滿足該條件, 引理1中條件(6)即成立.這是由于條件(6)與輸入充分激勵的條件等價.在滿足條件(6)的前提下, 輸入序列θ越長, 獲得原系統(tǒng)的信息會越多, 從而系統(tǒng)重構的精度越高.

注2注意到

(8)

由此可得

(9)

(10)

2 采樣控制

利用輸入時滯方式對重構后的線性連續(xù)系統(tǒng)(10)進行采樣控制．采樣控制器中反饋數(shù)據(jù)來自重構后的系統(tǒng)(10).當離散化步長α充分小時, 即重構精度足夠小,反饋數(shù)據(jù)將充分接近原系統(tǒng)數(shù)據(jù).

由于重構后的系統(tǒng)是開環(huán)的, 故須通過設計采樣控制器構成閉環(huán)系統(tǒng).設計采樣控制器

u(t)=Kx(tk),tk≤t

(11)

其中K∈Rm×n為待設計的控制器增益,x(tk)為采樣數(shù)據(jù), 采樣時刻tk滿足如下條件:

0=t0

Δk=tk+1-tk≤h, ?k≥0,

其中Δk為采樣時刻tk和tk+1間的時間間隔,h為最大采樣周期.

u(t)=Kx(t-τ(t)),?t≥0.

(12)

進而得到系統(tǒng)(10)的閉環(huán)連續(xù)系統(tǒng)

(13)

引理2[13](Jensen不等式) 對于任意的對稱正定實矩陣M∈Rm×m, 常數(shù)δ>0以及向量值函數(shù)ω:[0,γ]→Rm, 有

(14)

(15)

定理1對于時滯系統(tǒng)(13), 給定增益矩陣K和最大采樣周期h>0.如果存在對稱矩陣P>0,Q>0,R>0以及矩陣X11,X12,X22,Y,U,滿足下列不等式:

(16)

(17)

證明 考慮Lyapunov泛函

(18)

沿閉環(huán)系統(tǒng)(13)的狀態(tài)軌跡對時間t求導, 可得

(19)

(20)

將式(20)代入式(19), 得

(21)

(22)

將式(22)代入式(21),可得

(23)

(24)

若令Lyapunov泛函(18)中的R=0, 則易得到下面的推論.

推論1對于時滯系統(tǒng)(13), 給定增益矩陣K和最大采樣周期h>0.如果存在對稱矩陣P>0,Q>0以及矩陣X11,X12,X22,Y,U,滿足下列不等式:

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

注4事實上, 定理2是在定理1的基礎上發(fā)展而來的,同時定理2給出了采樣控制器參數(shù)的設計方法.因而, 由定理2中線性矩陣不等式求解得到的控制器可以使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,即定理2是定理1的充分條件.

3 仿真實例

考慮質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)

圖1 無控制輸入時系統(tǒng)狀態(tài)x1和x2 的時間響應曲線Fig.1 Time responses of states x1 and x2 without control input

對系統(tǒng)采用采樣反饋控制律(12), 采樣周期為0.15 s時系統(tǒng)狀態(tài)x1和x2及控制器u的時間響應曲線如圖2所示.由圖2可見: 在基于有限數(shù)據(jù)重構系統(tǒng)矩陣設計的采樣控制作用下, 系統(tǒng)狀態(tài)漸近穩(wěn)定; 控制器u每過一個采樣周期才更新一次控制信號.

圖2 采樣周期為0.15 s時系統(tǒng)狀態(tài)x1,x2(a)及控制器u (b)的時間響應曲線Fig.2 Time response of states x1 and x2 (a), and control input u (b) when the sampling period is 0.15 s

為了體現(xiàn)采樣控制器的優(yōu)越性, 采用相同的狀態(tài)反饋控制形式對系統(tǒng)進行連續(xù)控制,得到系統(tǒng)狀態(tài)x1和x2及控制器u的時間響應曲線如圖3所示.

圖3 連續(xù)控制時系統(tǒng)狀態(tài)x1,x2(a)及控制器u (b)的時間響應曲線Fig.3 Time response of states x1 and x2 (a), and control input u (b) in continuous control

對比圖2和圖3可知: 采樣控制與連續(xù)控制下的系統(tǒng)狀態(tài)差異較小; 采樣控制只在數(shù)據(jù)采樣時刻更新控制信號的特點使得信息的傳輸量大幅減少, 控制效率得到很大提升.

4 結語

本文考慮一類參數(shù)矩陣未知的連續(xù)線性系統(tǒng),通過有限數(shù)據(jù)策略對系統(tǒng)矩陣進行重構并實現(xiàn)了對重構系統(tǒng)的采樣控制. 該重構方法操作簡單易行,重構精度高,通過有限的輸入輸出數(shù)據(jù)即可計算得到系統(tǒng)矩陣. 通過輸入時滯法實現(xiàn)的采樣控制方案可以建立線性矩陣不等式形式的穩(wěn)定性準則,繼而根據(jù)Lyapunov理論進行驗證分析. 相較于連續(xù)控制,采樣控制方法減少了信息的傳輸量,提高了閉環(huán)系統(tǒng)的控制效率. 今后將進一步推廣基于數(shù)據(jù)驅動方法處理雙線性系統(tǒng)或Lipschitz非線性系統(tǒng)的重構和控制問題.