劉 倩, 謝鳳艷

(安陽(yáng)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)院, 河南 安陽(yáng) 455000)

模糊微分方程是近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新的研究領(lǐng)域．研究模糊微分方程的基本方法通常采用H-導(dǎo)數(shù), 但Hüllermeier[1]和Diamond[2]等發(fā)現(xiàn)在H-導(dǎo)數(shù)意義下模糊微分方程初值問(wèn)題(fuzzy initial value problem, FIVP)解的支撐集較大, 難以反映常微分方程初值問(wèn)題解的豐富性質(zhì),為了克服這一缺陷,他們首先研究了在微分包含意義下模糊微分方程的初值問(wèn)題; 薛小平等[3]吸收了其思想方法,并在微分包含意義下給出了FIVP大解與解的包含關(guān)系; 陳明浩等[4-5]在微分包含意義下考慮模糊微分方程的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題和周期問(wèn)題,得到了二階不確定動(dòng)力系統(tǒng)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題、半線性不確定動(dòng)力系統(tǒng)周期問(wèn)題解的存在性; 戴睿等[6-7]運(yùn)用Green函數(shù)給出了不確定動(dòng)力系統(tǒng)周期問(wèn)題解的存在性和穩(wěn)定性; Khastan等[8]研究了廣義導(dǎo)數(shù)意義下模糊微分方程問(wèn)題; 席艷麗[9]和劉錫平[10]等研究了分?jǐn)?shù)階模糊微分方程解的存在性．這些研究極大地豐富了模糊微分方程問(wèn)題的成果,然而作為微分方程的另一個(gè)重要分支,時(shí)滯微分方程能準(zhǔn)確、合理地描述現(xiàn)實(shí)世界中的時(shí)滯運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象．張孟孟[11]利用壓縮映像原理得到一類時(shí)滯模糊微分方程初值問(wèn)題解存在的一個(gè)充分條件; 劉娟等[12]在廣義導(dǎo)數(shù)意義下運(yùn)用弱壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理將半線性時(shí)滯模糊微分方程解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為算子的不動(dòng)點(diǎn)存在性問(wèn)題, 給出了該方程上下解的存在性定理．時(shí)滯模糊微分方程具有廣泛的應(yīng)用背景和深刻的理論意義,本文擬在微分包含意義下將時(shí)滯模糊微分方程轉(zhuǎn)化為微分包含族,在滿足Lipschitz連續(xù)條件下利用不動(dòng)點(diǎn)定理,并結(jié)合集值分析和泛函分析理論,給出半線性時(shí)滯不確定動(dòng)力系統(tǒng)解的存在性定理,豐富時(shí)滯微分方程的成果,為其在工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域內(nèi)的廣泛應(yīng)用提供理論支持．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[3]記D1={u|u:R→[0,1]}滿足: i)u是正規(guī)的模糊集, 即存在ξ∈R, 使u(ξ)=1; ii)u是上半連續(xù)函數(shù); iii) 支撐集[u]0=cl{ξ∈R|u(ξ)>0}在R中有界．

定義2[3]記E1={u|u:R→[0,1]}滿足: i)u∈D1; ii)u是凸模糊集, 即u(λξ1+(1-λ)ξ2)≥min{u(ξ1),u(ξ2)}(?ξ1,ξ2∈R,?λ∈[0,1])．?u∈E1稱為一維模糊數(shù)(簡(jiǎn)稱模糊數(shù)),E1稱為模糊數(shù)空間．

注1顯然, 由定義知?u∈E1,[u]α={x∈R|u(x)≥α}(?α∈[0,1])為非空有界閉集．

定義3[2]Ec={u∈E1|u1(α)=min[u]α和u2(α)=max[u]α在I=[0,1]上連續(xù), 0≤α≤1},稱u∈Ec為連續(xù)的模糊數(shù)．顯然,Ec?E1．

定義4[13]設(shè)Y,Z是Hausdorff拓?fù)淇臻g, 稱集值映射G:Y→2z?是上半連續(xù)的, 若對(duì)于Z的任何非空閉子集C, 集合G-(C)={y∈Y|G(y)∩C≠?}是Y的閉子集．

定理1(Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理)[14]設(shè)K是X的非空緊凸子集, 若F:K→Pkc(K)是上半連續(xù)的, 則F有不動(dòng)點(diǎn), 即存在x*∈K使x*∈F(x*)．

定理2[5]設(shè)X是可分的B*空間, 那么X*上的任意有界列{fn}必有*弱收斂子列．

定理3(Arzela-Ascoli定理)[5]設(shè)M是一個(gè)緊的距離空間,C(M)表示M→R的一切連續(xù)映射全體, 為了F?C(M)是列緊集, 必須且僅須F是一致有界且等度連續(xù)的函數(shù)族．

定理4[4]令CA([a,b],R)表示[a,b]上絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的集合, 那么x∈CA([a,b],R)?x∈W1,1([a,b],R)．

2 主要結(jié)論

半線性時(shí)滯模糊微分方程

(1)

將其考慮為一族微分包含

(2)

其中f:J×R→Ec,J=[t0-τ,t0+a],t0-τ≥0,λ,a>0．

定義5若u(t)是絕對(duì)連續(xù)的, 且滿足系統(tǒng)(2), 則稱u(t)為系統(tǒng)(2)的解．令Sα(J;t)={u(t)|u(t)是系統(tǒng)(2)的解}(α∈[0,1])是系統(tǒng)(2)的解集, 若存在v(t):J→D1使[v(t)]α=Sα(J;t)(t∈J,α∈[0,1]), 則稱v(t)(t∈J)為系統(tǒng)(1)的解．

定理6假設(shè)f:J×R→Ec滿足:

i)f在J×R上連續(xù);

ii) 存在M>0, 對(duì)任意的(t,ξ)∈J×R,‖f(t,ξ)‖≤M成立;

iii) 對(duì)任意的(t,ξ),(t,η)∈J×R, ‖f(t,ξ)-f(t,η)‖≤L‖ξ-η‖成立, 其中Lipschitz常數(shù)L> 0, 則系統(tǒng)(2)的解集Sα(J,t)非空且一致有界．

證明 1) 令系統(tǒng)(2)為

?φ1(t),φ2(t)∈U(u(t)), 即φ1(t),φ2(t)∈Fα(t,u(t-τ)), ?λ∈[0,1], 有λφ1(t)+(1-λ)φ2(t)∈Fα(t,u(t-τ))成立, 即U(u(t))為凸集．

?φ(t)∈U(u(t)), 故φ(t)∈Fα(t,u(t-τ)), 則‖φ(t)‖≤dH(Fα(t,u(t-τ)),0)=‖f(t,u(t-τ))‖≤M, 即U(u(t))一致有界．

2) 定義算子L:W1,1(I,R)→L1,1(I,R), 且L(u)=u′+λu．易得L為可逆線性算子且L-1:L1(I,R)→L1(I,R)是緊算子, 則L-1U是上半連續(xù)且將任何有界集映射成列緊集．由定理3知,L-1U:W1,1(I,R)→Pkc(W1,1(I,R))上半連續(xù)的, 且U(u(t))為W1,1(I,R)非空緊凸閉子集．由定理1知,L-1U存在不動(dòng)點(diǎn)u(t)∈L-1U(u(t)), 則L(u)=u′+λu∈U(u(t)), 有u′(t)+λu(t)∈Fα(t,u(t-τ)),t∈I．又u(t)=u0,t∈[t0-τ,t0], 故u(t)為系統(tǒng)(1)的解, 即Sα(J,t)非空．

定理7假設(shè)f:J×R→Ec滿足:

i)f在J×R上連續(xù);

ii) 存在M>0, 對(duì)任意的(t,ξ)∈J×R,‖f(t,ξ)‖≤M成立;

iii) 對(duì)任意的(t,ξ),(t,η)∈J×R,‖f(t,ξ)-f(t,η)‖≤L‖ξ-η‖成立, 其中Lipschitz常數(shù)L> 0, 則存在系統(tǒng)(1)的解v:J→D1,使[v(t)]α=Sα(J;t),α∈[0,1]．

3 例證

設(shè)J=[0,2],f(t)=et+1w(t∈[1,2]),u(t)=w(t∈[0,1]), 其中w∈Ec,α∈[0,1],[w]α=[α,2-α]．顯然,f(t)滿足定理6的3個(gè)條件且t0=1．此時(shí), 半線性時(shí)滯不確定動(dòng)力系統(tǒng)為

可變?yōu)?/p>

4 結(jié)論

本文在微分包含意義下討論半線性時(shí)滯模糊微分方程的初值問(wèn)題, 彌補(bǔ)了在H-導(dǎo)數(shù)意義下半線性時(shí)滯模糊微分方程解存在的苛刻性, 也擴(kuò)寬了在廣義導(dǎo)數(shù)意義下時(shí)滯模糊微分方程解存在的局限性,為模糊微分方程解的存在提供了更為簡(jiǎn)單直接的方法和更為廣泛的空間, 而且這種方法在模糊微分方程的邊值問(wèn)題和周期問(wèn)題都有很大的應(yīng)用價(jià)值．下一步的研究主要集中在半線性時(shí)滯不確定動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性等方面．