鐘曉紅

(廣東省中山市永寧中學,528415)

教材是數(shù)學教學的依據(jù),因此教師如何合理、靈活地處理好教材,是當前深化課堂教學改革的重要環(huán)節(jié).本文以2021-2022學年廣東省中山市九年級(上)期末試卷第17題為例,通過解讀試題,引發(fā)對教材中“綜合與實踐”教學的思考,與同行交流.

一、試題呈現(xiàn)

如圖1,將半徑為1、圓心角為60°的扇形紙片AOB,在直線l上向右作無滑動的滾動至扇形A′O′B′處,則頂點O經(jīng)過的路線總長為______.

二、試題評價

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》指出:“綜合與實踐”是積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要載體.教學中注重結(jié)合具體的學習內(nèi)容,設(shè)計有效的數(shù)學探究活動,使學生經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)生發(fā)展過程,是學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要途徑[1].本題以圖形滾動為背景,以操作探究問題呈現(xiàn),凸顯對學生直觀想象、數(shù)學建模和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的考查.

1.源于教材

本題源于人教版教材九年級上冊第118頁數(shù)學活動1“車輪做成圓形的數(shù)學道理”,蘊含豐富的數(shù)學知識和極強的趣味性.題目涉及旋轉(zhuǎn)的定義與性質(zhì)、扇形的弧長公式、圓的概念與切線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查了學生操作、幾何直觀、推理計算、應(yīng)用意識等素養(yǎng).

2.活于教材

在圖形滾動的過程中,構(gòu)成圖形要素(點、線等)也隨之運動.通過探求特殊點的運動軌跡,從而得到某個點經(jīng)過的路線總長.解題時,把扇形的弧長計算與運動軌跡問題結(jié)合起來,把動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、模型、分類討論、運動與靜止等數(shù)學思想方法,從而獲得研究問題的活動經(jīng)驗,培養(yǎng)學生分析問題和空間想象的能力.

三、試題解析及難點分析

如圖2所示,頂點O經(jīng)過的路線可以分成三部分:

難點1結(jié)合“扇形AOB在直線l上向右作無滑動的滾動至扇形A′O′B′處”的文字和圖形語言,可以理解為“扇形AOB在直線l上向右作無滑動的滾動一周”;

難點2學生雖然能理解“無滑動的滾動一周”的含義,但缺乏“無滑動的滾動一周”的活動經(jīng)驗,對其操作含糊不清;

難點3大部分學生對求動點運動軌跡的基本方法摸不著頭腦,不知道如何尋找動點在運動過程中保持不變的性質(zhì).如圖3,可以看到扇形AOB在運動中有(1)～(4)的四個狀態(tài),點O有三個運動軌跡過程,為什么要討論(1)～(4)的四個狀態(tài),學生缺乏思考;

難點4出現(xiàn)知識盲區(qū),從狀態(tài)(2)到狀態(tài)(3),點O到直線l的距離始終保持不變,這個距離為扇形AOB(圓O)的半徑,為什么此時點O的運動軌跡為平行于直線l的線段?

四、教學實踐

1.探究活動,感受難點

活動用“半徑為1、圓心角為60°”的扇形紙片AOB,在直線l上向右作無滑動的滾動一周.

問題1用筆畫出點O的運動路線.

設(shè)計意圖讓學生通過動手操作的活動,猜測、觀察點O所形成的軌跡過程,領(lǐng)悟數(shù)學的基礎(chǔ)知識和基本技能,積累基本活動經(jīng)驗,從而發(fā)展學生的實踐能力,感受數(shù)學來源于生活,激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

2.從特殊到一般,化解難點

問題2如圖4,在直線l上線段BO繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度到線段BO′的位置,點O到點O′的軌跡是什么形狀?點O運動的路徑長是多少?

問題3如圖5,圓O在直線l上向右作無滑動的滾動一周到圓O′,點O到點O′的軌跡是什么形狀?圓心O運動的路徑長是多少?

設(shè)計意圖我們知道“圓上各點到圓心的距離都等于半徑”,那么圓O上的特殊點是圓心O與直線l相切的切點A,連結(jié)OA，有OA⊥l,從而把點O的運動軌跡轉(zhuǎn)化為點A的運動軌跡,由OO′∥AA′且OO′=AA′,推斷出點O的運動軌跡為平行于直線l的線段OO′,該線段長為AA′等于圓O的周長,進而發(fā)現(xiàn)圓心的運動路徑長與圖形的周長有關(guān).在這實驗操作中,學生對圓的滾動有了進一步認識,提出“車輪做成圓形的數(shù)學道理”,幫助學生建立數(shù)學與生活間的聯(lián)系,積累了生活經(jīng)驗,獲得了知識體驗.

問題4(2021-2022學年中山市九年級(上)期末試卷第17題)詳見文首,此處從略.

設(shè)計意圖通過問題1、2、3的鋪墊,問題4本質(zhì)是對問題2和3的綜合運用，學生對點O經(jīng)過的路線分成三部分有了更深刻的理解.在探求點O的運動軌跡過程中,學生了解到動點軌跡有圓弧型、直線型；解題過程中，學生體會了運動變化思想、特殊化思想、分類討論思想、化歸思想.這些都有助于學生將活動經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為思想方法,形成解題技巧,提高解題能力.

3.變式訓練,發(fā)散思維

變式1如圖6,將邊長為1的等邊?AOB,在直線l上向右作無滑動的滾動一周,則點O經(jīng)過的路線總長為______.

變式2如圖7,將邊長為1的正方形OABC,在直線l上向右作無滑動的滾動一周,則點O經(jīng)過的路線總長為______.

設(shè)計意圖如圖8、9所示,通過變式1和2,類比其他幾何圖形在直線上滾動的情況,了解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別,幫助學生積累解決這類問題的模型和方法,起到觸類旁通的作用.

四、教學啟示

1.立足教材,夯實基礎(chǔ)

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》強調(diào):教材是實施數(shù)學教學的重要資源[1].人教版初中數(shù)學教材在章引言、閱讀與思考、數(shù)學活動、信息技術(shù)應(yīng)用、實驗與探究等學習素材提供了豐富的與學生生活相聯(lián)系的“綜合與實踐”資源,學生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等,感悟知識的形成和應(yīng)用,促進學生創(chuàng)新意識和實踐能力的發(fā)展.因此,在平時教學中,教師不僅讓學生了解知識背景,還要理解知識形成過程,從而揭示知識間的聯(lián)系.

2.動手操作,積累經(jīng)驗

“紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行.”數(shù)學活動“車輪做成圓形的數(shù)學道理”屬于“綜合與實踐”的內(nèi)容,在教學中教師引導學生動手操作與實踐,最終達成學生從“學數(shù)學”到“做數(shù)學”的轉(zhuǎn)變,培養(yǎng)學生綜合運用所學知識(圓的概念與切線的性質(zhì))與方法解決實際問題；培養(yǎng)學生的問題意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識,積累活動經(jīng)驗,提高學生解決現(xiàn)實問題的能力.

3.注重思想,提升素養(yǎng)

數(shù)學思想方法的形成是一項長期的任務(wù),應(yīng)該落實在每一堂數(shù)學課上.如本文中的教學實踐利用數(shù)學知識形成過程,從線段、圓到扇形再到等邊三角形、正方形等規(guī)則圖形來發(fā)現(xiàn)幾何圖形滾動問題的規(guī)律,滲透運動變化和從特殊到一般的思想;扇形AOB的頂點O經(jīng)過的路線需要分成三部分來解釋,應(yīng)用了分類思想;通過動手操作畫出動點的運動路線求點的路徑長,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)學思想方法需要“悟”[2],因此教師通過創(chuàng)設(shè)恰當?shù)膯栴}情境,讓學生親身經(jīng)歷學習過程,從而真正地理解知識,提升學生解決問題的素養(yǎng).