單 墫

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,210023)

香港小學(xué)高年級(jí)袋鼠競(jìng)賽第24題(倒數(shù)第二題，俗稱(chēng)壓軸題)頗為有趣.原題如下：

在袋鼠小學(xué)，每位學(xué)生或者加入藝術(shù)俱樂(lè)部，或者加入體育俱樂(lè)部，或者兩個(gè)俱樂(lè)部都參加.藝術(shù)俱樂(lè)部的學(xué)生中60%是男生，而體育俱樂(lè)部的學(xué)生中75%是男生.問(wèn)袋鼠小學(xué)的全體學(xué)生中男生所占的百分比最小是多少？

(A)50% (B)57.5% (C)60%

筆者再增加一問(wèn)：條件同上，男生所占的百分比最大是多少？

雖是小學(xué)生的賽題，大學(xué)師生未必能做?。〔恍?，你試試！

感覺(jué)男生人數(shù)應(yīng)多于女生，至少不少于女生，即在全體學(xué)生中，男生所占百分比p≥50%.

不過(guò)這只是一個(gè)猜想，需要證明.選擇支(A)——(E)以50%為最小，其實(shí)改其中之一為小于50%的數(shù)更好.

現(xiàn)在要做兩件事：

(1)證明p≥50%;

(2)舉例說(shuō)明(1)中等號(hào)能夠成立.如果舉不出等號(hào)成立的實(shí)例，那么(1)或許要改為p≥57.5%或其他更大的值.

或許先做(2)更好.

設(shè)僅參加藝術(shù)俱樂(lè)部的男生為x人，僅參加體育俱樂(lè)部的男生為z人，同時(shí)參加兩個(gè)俱樂(lè)部的男生為y人.相應(yīng)地，女生人數(shù)為u,w,v,則有

①

②

顯然將v中的1人去掉，而u，w各增加1人，則上述兩個(gè)比值不變.因此，可設(shè)v=0.

同樣，將x中1人，z中1人去掉，而y增加1人，上述比值也不變.因此，可設(shè)x或z為0.

為舉例簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨設(shè)x=z=0.

這時(shí)①、②即

③

y=3w.

④

而x+y+z=u+v+w,

即男生人數(shù)為總?cè)藬?shù)的50%.

現(xiàn)在證明(1)：

x,y,z,u,v,w意義同前，仍有

①′

y+z=3(v+w).

②′

若u≤2(v+w),則

y+z≥v+w+u.

⑤

若u>2(v+w),則

⑥

總之，x+y+z≥u+v+w,

所以x+y+z至少為總?cè)藬?shù)的50%.

以下再考慮男生所占百分比最大為多少？

與上面類(lèi)似，舉例可舉y=0,u=w=0,則

z=3v.

取v=50,則x=75,z=150.

事實(shí)上，由①′,②′,得

2x+2y+2z≤2x+4y+2z

=3(u+v)+6(v+w)

=3u+9v+6w≤9(u+v+w).

上面的證法亦即

最小同樣可求.