◎易 斌 郝 圓

(桂林市第十八中學(xué)，廣西 桂林 541004)

智慧教育就是把學(xué)科教學(xué)與信息技術(shù)深度融合，展現(xiàn)教育智慧的教育，本文按《導(dǎo)、學(xué)、議、評(píng)、練、悟——學(xué)案導(dǎo)學(xué)“六步”教學(xué)模式芻議》提出的“導(dǎo)、學(xué)、議、評(píng)、練、悟”六步導(dǎo)學(xué)模式，與同人探討智慧教育云平臺(tái)下學(xué)科教學(xué)與信息技術(shù)融合的“幾何概型”的導(dǎo)學(xué)案教學(xué)設(shè)計(jì)

一、導(dǎo)

(一)目標(biāo)定向

1知識(shí)目標(biāo)：

(1)歸納概括幾何概型的基本特征

(2)通過特例，由特殊到一般得出幾何概型計(jì)算公式

(3)會(huì)解決簡(jiǎn)單的幾何概型問題

2方法目標(biāo)：

(1)經(jīng)歷探究幾何概型的過程，體驗(yàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法

(2)通過解決幾何概型問題，領(lǐng)悟合理選擇測(cè)度計(jì)算幾何概型的數(shù)學(xué)方法

3素養(yǎng)目標(biāo)：

通過類比古典概型特征歸納出幾何概型特征，領(lǐng)悟幾何概型概率計(jì)算公式及解決幾何概型問題等體驗(yàn)過程，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、抽象概括、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

(二)重難定位

1重點(diǎn)：理解幾何概型概念，靈活運(yùn)用幾何概型公式計(jì)算概率

2難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)“等可能”變化的量，并用其作為測(cè)度計(jì)算幾何概型

【設(shè)計(jì)說明】(1)投影：用幻燈片逐條投影目標(biāo)和重難點(diǎn)，學(xué)生集體朗誦，印象深刻

(2)明確：讓學(xué)生明確本節(jié)課在知識(shí)、方法、素養(yǎng)各維度要達(dá)成的學(xué)習(xí)目標(biāo)以及學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，做到有的放矢，抓住核心內(nèi)容學(xué)習(xí)，突破難度

(三)新課導(dǎo)入

【情境導(dǎo)入】思考1：一根長(zhǎng)為3的繩子，

①被其上、、、、五個(gè)點(diǎn)均分成六段，如圖1，從、、、、中任選一點(diǎn)將繩子剪斷，那么剪得的兩段均大于1的概率是多少？

圖1

②拉直繩子后剪成兩段，求這兩段的長(zhǎng)度都大于1的概率

【設(shè)計(jì)說明】(1)觀察思考：利用Flash動(dòng)畫演示繩子剪斷的過程，讓學(xué)生觀察剪法的區(qū)別，利于學(xué)生在直觀感受中思考、發(fā)現(xiàn)解決問題的方法

(2)溫故知新：①是古典概型，用來溫故，②不是古典概型，激發(fā)認(rèn)知沖突，用來知新

(3)探究算法：用以下問題鏈導(dǎo)學(xué)，分析②的特征，引導(dǎo)學(xué)生探尋合理計(jì)算概率的新方法

【問1】試驗(yàn)中的基本事件是什么？

【問2】每個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？

【問3】是古典概型嗎？

【問4】如何計(jì)算其概率？

因繩子在任意位置剪斷是等可能的，記事件A為：剪出兩段繩長(zhǎng)都大于1.繩子分成相等的三段，當(dāng)剪斷位置在中間段上時(shí)，事件A發(fā)生.

(4)感悟：在等可能前提下，

思考2：甲、乙兩人玩如圖乙所示兩個(gè)轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向N區(qū)域時(shí)，乙獲勝，其余情況甲獲勝，求兩種情況下甲獲勝的概率

圖2

【設(shè)計(jì)說明】(1)演示：動(dòng)畫演示轉(zhuǎn)盤游戲,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

(2)類比：類比思考1，選擇用面積算概率，發(fā)展邏輯推理的素養(yǎng)

(4)感悟：在等可能前提下，

變式1：如圖3，指針落在B區(qū)域的概率(B)可以用哪種量來算？

圖3

【設(shè)計(jì)說明】(1)演示：動(dòng)畫演示指針轉(zhuǎn)動(dòng)過程，讓學(xué)生在觀察中體會(huì)哪些量在等可能變化

(3)感悟：在等可能前提下，

變式2：如圖4，指針落在B區(qū)域的概率(B)可以用哪種量來算？

圖4

【設(shè)計(jì)說明】(1)演示：動(dòng)畫演示指針轉(zhuǎn)動(dòng)過程，讓學(xué)生在觀察中體會(huì)哪些量在等可能變化

(2)理解“等可能”：深刻理解等可能性，體會(huì)并發(fā)現(xiàn)均勻變化的量，為突破教學(xué)難點(diǎn)埋設(shè)伏筆

(4)感悟：恰當(dāng)選擇一種等可能變化的量(測(cè)度)，是準(zhǔn)確計(jì)算概率的關(guān)鍵

思考3：在體積為1的正方體內(nèi)含有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，正方體內(nèi)有一體積為02的小球，求質(zhì)點(diǎn)在小球內(nèi)的概率

【設(shè)計(jì)說明】(1)演示：用動(dòng)畫演示質(zhì)點(diǎn)在正方體中隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生在觀察中體會(huì)哪個(gè)量在等可能變化

(2)探究算法：觀察質(zhì)點(diǎn)在正方體中的活動(dòng)空間，發(fā)現(xiàn)體積在等可能變化，類比得:

(3)感悟：在等可能前提下，

二、學(xué)

【導(dǎo)學(xué)內(nèi)容】任務(wù)1：構(gòu)建幾何概型概念

【問5】上述試驗(yàn)有什么共同特點(diǎn)？

【設(shè)計(jì)說明】(1)歸納共同特點(diǎn)：

①________________性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有________；

②________________性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的________________相等

(2)抽象幾何概型:________________________________________

(3)發(fā)展素養(yǎng)：學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中歸納共性，抽象概念，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)

【導(dǎo)學(xué)內(nèi)容】任務(wù)2：探究幾何概型概率計(jì)算公式

【問6】如何求幾何概型的概率？

【設(shè)計(jì)說明】(1)分析：由上述思考題知，在等可能前提下，可以借助長(zhǎng)度、面積、體積、角度等的比值求概率

(2)概括公式:

(3)發(fā)展素養(yǎng)：學(xué)生在合作討論中概括公式，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)

【導(dǎo)學(xué)內(nèi)容】任務(wù)3：幾何概型概率計(jì)算公式的應(yīng)用

【例2】小明在公交站臺(tái)等一輛公交車，發(fā)現(xiàn)表停了，他記得每20分鐘會(huì)有一輛公交車到達(dá)，那么他等車時(shí)間不超過8分鐘的概率是多少？

【例3】在等腰直角三角形中的斜邊上任取一點(diǎn),求<的概率

【設(shè)計(jì)說明】(1)分析：學(xué)生獨(dú)立思考或合作討論，分析實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域是什么，要計(jì)算的事件構(gòu)成的區(qū)域是什么，試驗(yàn)中哪些量在等可能或均勻變化，選擇哪個(gè)量作為測(cè)度來計(jì)算概率

(2)求解：學(xué)生獨(dú)立解答或合作探究解答，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)

三、議

1小組交流：

各小組交流導(dǎo)學(xué)內(nèi)容的自學(xué)成果，以“兵教兵”方式解決疑惑

2代表展示：

由各小組代表匯報(bào)本組自學(xué)成果及未解決的問題

3深化討論：

(1)學(xué)案中各小組學(xué)習(xí)的共同困惑與尚未解決的重點(diǎn)問題

(2)討論【例3】的變式：過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在∠內(nèi)部作射線，與線段交于點(diǎn)求>的概率

圖5

設(shè)A={在∠內(nèi)部作射線與線段交于點(diǎn)，<}，則角度在等可能變化，選“角度”為測(cè)度

議一議：哪個(gè)解法正確？

四、評(píng)

1啟發(fā)點(diǎn)撥：點(diǎn)評(píng)學(xué)生自學(xué)中普遍存在的疑難與典型問題

如【例2】學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域是什么及要計(jì)算的事件構(gòu)成的區(qū)域是什么存在疑惑，教師可做如下點(diǎn)評(píng)：

再如對(duì)【例3】的變式，學(xué)生議論后仍無法辨別哪種解法是正確的教師可做如下點(diǎn)評(píng)：

【例3】變式的解法1與【例3】的解法一樣，都把長(zhǎng)度作為測(cè)度，也就是試驗(yàn)時(shí)，“長(zhǎng)度”是等可能或均勻變化的，不妨用Flash動(dòng)畫與幾何畫板對(duì)【例3】及其變式進(jìn)行動(dòng)畫實(shí)驗(yàn)演示，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)【例3】中等可能變化的量是“長(zhǎng)度”，【例3】的變式中均勻變化的量是“角度”，而不是“長(zhǎng)度”，故解法2是正確的，另外，仔細(xì)讀題，也不難得到與動(dòng)畫演示相同的結(jié)論教師由此引導(dǎo)學(xué)生，在計(jì)算幾何概型時(shí)，一定要選“等可能或均勻”變化的量作為測(cè)度，要根據(jù)題意分析出哪個(gè)量是等可能變化的，課堂教學(xué)難點(diǎn)在此突破

2精講精評(píng):點(diǎn)透方法規(guī)律，舉一反三

解決幾何概型問題的基本步驟：

(1)用幾何概型定義判定是不是幾何概型

(2)選擇等可能或均勻變化的量作為計(jì)算概率的測(cè)度

(3)用幾何概型概率計(jì)算公式求解概率

五、練

1達(dá)標(biāo)測(cè)試：

【效果檢測(cè)】(1)一個(gè)鐵軌交叉口的指示燈，停止燈亮的時(shí)間為40 s，危險(xiǎn)燈亮的時(shí)間為15 s，通行燈亮的時(shí)間為50 s，當(dāng)火車到路口時(shí)看到通行燈亮的概率是________

(2)一個(gè)小球在一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體形狀的玻璃缸內(nèi)任意運(yùn)動(dòng)，如果小球在運(yùn)動(dòng)過程中一直保持與玻璃缸6個(gè)面的距離均大于1，則稱其為“安全運(yùn)動(dòng)”，求小球“安全運(yùn)動(dòng)”的概率

(3)直角三角形,其中∠=60°在斜邊上任取一點(diǎn),那么小于的概率有多大？

【設(shè)計(jì)說明】(1)反饋：學(xué)生獨(dú)立完成后展示，反饋對(duì)三個(gè)例子的掌握情況，檢測(cè)學(xué)習(xí)效果

(2)糾錯(cuò)：利用云平臺(tái)技術(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)生每題的答題正確率，及時(shí)進(jìn)行糾錯(cuò)

2拓展提升：

【例4】已知等腰Rt△中，∠=90°

①在線段上任取一點(diǎn)，求使∠<30°的概率；

②在∠內(nèi)任作射線，求使∠<30°的概率

圖6

【設(shè)計(jì)說明】(1)反饋：學(xué)生合作完成后展示，反饋對(duì)【例3】及其變式的掌握情況，檢測(cè)學(xué)習(xí)效果

(2)提升：學(xué)生能根據(jù)問題情境，分析并發(fā)現(xiàn)“等可能”變化的量，合理選擇測(cè)度求解概率

六、悟

師生共同進(jìn)行課堂小結(jié)，梳理核心知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)方法，形成能力

1幾何概型特征：①_____________________________

；

②___________________________

2幾何概型的概率公式:(A)=____________________________