路 杰，楊志宇

（邢臺市逸夫小學，河北 邢臺 054000）

數(shù)學拓展課是基于教材編排的數(shù)學內容且符合學生認知規(guī)律的拓展延伸課。數(shù)學拓展課以培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)為目的，在恰當?shù)臄?shù)學活動中引導學生探索數(shù)學本質，積累數(shù)學經(jīng)驗，發(fā)展學生數(shù)學思維。

一、研讀數(shù)學教材，找準知識生長點

六年級第8 單元“數(shù)學廣角”的例1，通過正方形圖研究“從1 開始連續(xù)奇數(shù)之和等于這些數(shù)的個數(shù)的平方”，即1+3+…+（2n-1）=n2。通過正方形圖來研究這一規(guī)律，凸顯借助圖形研究數(shù)的直觀性，培養(yǎng)學生的幾何直觀。從1 開始連續(xù)奇數(shù)之和與這些數(shù)個數(shù)的平方相等，那么從1 開始連續(xù)自然數(shù)的平方之和又等于什么呢？還能借助圖形研究嗎？筆者深入研讀教材，找準知識生長點，設計了如下教學。

師：這個數(shù)你會讀嗎（右圖）？

師：請你用手中的小正方形擺一擺，并讓同學們一眼就能看出這個圖形中小正方形的個數(shù)是32個。

學生操作后，展示學生作品，并組織學生說一說這樣擺的優(yōu)點。（一行3 個，共3 行，一共有32=9 個）

師：我們已經(jīng)學過1+3+5=32。請用不同顏色的小正方形擺一擺，不僅讓大家看到32，還可以清楚地看出1+3+5。

學生操作后，展示學生作品，并組織學生說一說。（算式左邊的加數(shù)是正方形圖中左下角的小正方形和其他“┐”形圖中所包含的小正方形個數(shù)之和，正好等于每個正方形圖中每列小正方形個數(shù)的平方。）

師：圖中的小正方形還可以擺成這樣的三層（如下圖），也能夠更清楚地看出1+3+5。

師：22和42可以怎樣擺呢？

22：

42：

師：我們借助圖形研究了從1 開始連續(xù)奇數(shù)的和等于這些奇數(shù)個數(shù)的平方。今天，我們繼續(xù)研究像12+22+…+992+1002，從1 開始連續(xù)自然數(shù)的平方和。

學生獨立嘗試后，發(fā)現(xiàn)困難。

師：老子在《道德經(jīng)》中說“天下難事，必作于易?！本褪歉嬖V我們，天下的難事，一定從簡易的地方做起。我們研究12+22+…+992+1002遇到了困難，可以先研究比較簡單的算式，比如先研究12+22+32+42的和，再研究12+22+…+992+1002的和。

二、探索數(shù)學本質，發(fā)展學生思維

數(shù)學是思維的體操。我們要在解決數(shù)學問題的過程中探究數(shù)學知識的本質，發(fā)展學生的數(shù)學思維。教材第1 課時是借助正方形圖研究數(shù)的規(guī)律，在解決問題的過程中培養(yǎng)了學生的幾何直觀。數(shù)與形的拓展課在分析教材的基礎上，對相似數(shù)學知識進行拓展延伸，在教學時要合理設計探索數(shù)學本質的學生活動，在解決數(shù)學問題的過程中發(fā)展學生的數(shù)學思維。

活動一：借助數(shù)與形，初探平方和

師：12可以用一個小正方形表示。

師：22、32、42可以有下面兩種不同擺放，其中一種方法易看出一個數(shù)的平方，另一種方法易看出從1 開始連續(xù)奇數(shù)的和。

師邊敘述邊板書：12+22+32+42=1+（1+3）+（1+3+5）+（1+3+5+7）

師：我們利用加法交換律和結合律可以把算式整理如下：

12+22+32+42=1+（1+3）+（1+3+5）+（1+3+5+7）=（1+1+1+1）+（3+3+3）+（5+5）+7

師：小正方形怎么整理一下，就能夠清晰地看出（1+1+1+1）+（3+3+3）+（5+5）+7 呢？（學生操作后，展示如右圖）

師：這個圖形中小正方形的個數(shù)等于12+22+32+42的和。

師：上圖中左邊是對齊的，我們把表示12、22、32、42的正方形補在上圖的右側。

師：邊長是4 的正方形補在哪里？（和最上面的正方形對齊）

師：為什么要這樣補呢？（因為這一列正方形有四個，正好可以補齊）

師：邊長是3 的正方形補在哪里呢？（和下面三行三列正方形補齊）

師：邊長是2的正方形呢（和兩行的正方形補齊）？還剩一個小正方形呢？（和最下面的一行正方形補齊）

師：現(xiàn)在小正方形的個數(shù)等于12+22+32+42之和的2 倍，再這樣操作一次就變成了12+22+32+42之和的3 倍了。動手拼一拼、試一試吧。

師：這樣拼完后，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：拼成一個長方形了。

師：這個長方形中小正方形的個數(shù)是12+22+32+42之和的3 倍。

師：看似求12+22+32+42的3 倍比求12+22+32+42復雜了，但通過轉化，我們把不規(guī)則圖形轉化成長方形，更容易得到小正方形的個數(shù)了。

師：這個長方形中小正方形的個數(shù)是多少呢？

生：（1+2+3+4）×（4×2+1）。

師：也就是12+22+32+42之和的3 倍。

師：那么12+22+32+42=（1+2+3+4）×（4×2+1）÷3=30。

師：12+22+32+42+52等于什么呢？

生：（1+2+3+4+5）×（5×2+1）÷3=55。

教師組織學生驗證12+22+32+42+52的和正好是55。

師：12+22+32+42+52+62等于多少呢？

生：（1+2+3+4+5+6）×（6×2+1）÷3=91。

教師組織學生驗證12+22+32+42+52+62的和正好是91。

師：看起來12+22+…+（n-1）2+n2=（1+2+…+n）×（2n+1）÷3。

師：請你用這種方法計算12+22+…+992+1002的和。

生：（1+2+…+99+100）×（100×2+1）÷3

活動二：借助數(shù)與形、再探平方和

學生計算12+22+…+992+1002時，遇見新問題——1+2+…+99+100 的和怎么快速計算呢？

師：計算12+22+…+992+1002，要先計算1+2+…+99+100 的和。為了更深入研究平方和，我們要知道1+2+…+99+100 的和怎么計算。這個新問題又應該怎么研究呢？

生：可以像剛才一樣，借助圖形先研究1+2+3+4 的和，再思考1+2+…+99+100 的和。

師：請用小正方形表示1+2+3+4，并讓其他同學清楚地看出你擺的就是這道算式。

學生操作后展示。

師：這是一個不規(guī)則圖形，接下來怎么辦呢？（展示學生擺的圖形）

師：你能給大家解釋一下為什么要這樣擺嗎？

生：倒著擺放一個這樣的圖形，拼起來正好是一個長方形，其中小正方形的個數(shù)是1+2+3+4 之和的2 倍。

師：你能用剛才研究的方法思考新問題，很了不起。

師：這個長方形中小正方形的個數(shù)是多少呢？

生：（4+1）×4。

師：也就是1+2+3+4 之和的2 倍。

師：那么1+2+3+4=（4+1）×4÷2=10。

師：1+2+3+4+5 等于多少呢？

生：（5+1）×5÷2=15。

教師組織學生驗證1+2+3+4+5 之和正好是15。

師：1+2+3+4+5+6 等于多少呢？

生：（6+1）×6÷2=21。

教師組織學生驗證1+2+3+4+5+6 之和正好是21。

師：看起來1+2+…+n=（n+1）×n÷2。

師：請你用這種方法計算1+2+…+99+100的和。

生：（100+1）×100÷2=5050。

師：數(shù)越多越發(fā)現(xiàn)用這一規(guī)律計算的簡便。現(xiàn)在快去算一算12+22+…+992+1002的和是多少吧。

板書：12+22+…+992+1002=（1+2+…+99+100）×（100×2+1）÷3=5050×201÷3=338350。

師：12+22+…+9992+10002等于多少呢？下課后，大家可以繼續(xù)研究。我們利用數(shù)與形的關系找到了計算規(guī)律，運用這個規(guī)律我們可以更加簡便地解決這一類問題。華羅庚先生曾說過：數(shù)與形本相依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形少直覺，形少數(shù)難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。我們只觀察12+22+32+42，不如用圖形表示直觀。但一直用圖形表示下去，研究12+22+…+992+1002就顯得復雜了。借助圖形研究數(shù)的規(guī)律，最后還需要運用規(guī)律回到算式中去研究，尋找解決問題的辦法。

三、總結

像這樣的數(shù)學拓展課，教學內容與教材中的數(shù)學知識是緊密相連的，是對教材中數(shù)學知識的拓展，是對學生數(shù)學能力的提升。數(shù)學拓展課的開發(fā)是在研讀教材、遵循學生認知規(guī)律的基礎上，設計有效的數(shù)學教學活動，在解決問題的過程中引導學生探索數(shù)學本質，感悟數(shù)學推理的魅力，發(fā)展學生的數(shù)學思維，促進學生核心素養(yǎng)的形成。