鄧 巧，丘東元，顧文超，陳艷峰，張 波

（華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣東 廣州 510000）

超級(jí)電容器是一種新型的儲(chǔ)能元件，其電解電極由高表面多孔材料組成，通過(guò)極化電解液在電極表面形成雙電層來(lái)實(shí)現(xiàn)儲(chǔ)能[1-2]。由于使用多孔電極材料實(shí)現(xiàn)較大的表面積與較小的電荷分離距離，故超級(jí)電容器能夠以較小的體積儲(chǔ)存更多電荷[3]，具有功率密度大、充放電時(shí)間短、循環(huán)壽命長(zhǎng)、工作溫度范圍寬等優(yōu)點(diǎn)[4]，被廣泛用于平抑功率波動(dòng)[5]、制動(dòng)能量回收[6]、混合儲(chǔ)能[7-8]等場(chǎng)合。

由于超級(jí)電容器的儲(chǔ)能原理有別于常規(guī)介質(zhì)電容器，其電阻與電容參數(shù)不是常數(shù)，阻抗特性會(huì)隨頻率發(fā)生改變[9-10]。當(dāng)頻率增加時(shí)，超級(jí)電容器的容抗和電阻減小，且容抗占比減小，電阻占比增大。為了準(zhǔn)確表征超級(jí)電容器的阻抗特性，研究人員先后建立了多種等效電路模型。其中整數(shù)階模型由若干個(gè)固定大小的電阻、電容串并聯(lián)組合而成[11-13]，元件數(shù)量越多，模型越精確，但增大了模型的復(fù)雜度[14-15]。研究發(fā)現(xiàn)，超級(jí)電容器的電流和電壓呈分?jǐn)?shù)階微積分關(guān)系[16-17]，故采用分?jǐn)?shù)階元件的超級(jí)電容器等效電路模型[18]被提出。相較于整數(shù)階模型，分?jǐn)?shù)階模型利用更少的模型參數(shù)獲得更高的模型精度，且在不同溫度和電壓下都具有較強(qiáng)的適應(yīng)性。

為了獲取超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)，最直接的方法是測(cè)量其阻抗頻譜[19]。在目標(biāo)頻率范圍內(nèi)，對(duì)超級(jí)電容器加載不同頻率的正弦電壓(電流)激勵(lì)，得到相應(yīng)的電流(電壓)響應(yīng)信號(hào)，并計(jì)算出阻抗大小，繪制完整的阻抗頻譜。但以上阻抗頻譜的測(cè)試及獲取需要使用專業(yè)昂貴的電化學(xué)儀器，普通阻抗測(cè)量?jī)x的量程無(wú)法達(dá)到超級(jí)電容器的低頻范圍和容值范圍。然而，由于激勵(lì)信號(hào)幅值較小，其參數(shù)辨識(shí)結(jié)果不能準(zhǔn)確反映超級(jí)電容器在大電流下的實(shí)際工作特性[20]。此外，該方法只能在離線條件下進(jìn)行，隨著超級(jí)電容器的老化，電容器的內(nèi)阻增加、容量降低[21]，模型參數(shù)也會(huì)隨之發(fā)生改變，利用阻抗譜獲得的模型參數(shù)將不再適用。

另一種參數(shù)辨識(shí)方法是對(duì)超級(jí)電容器進(jìn)行動(dòng)態(tài)電流(電壓)測(cè)試[22]，包括混合脈沖功率(hybrid pulse power characterization，HPPC)測(cè)試、動(dòng)態(tài)應(yīng)力測(cè)試(dynamic stress test，DST)和行駛工況(federal urban driving schedule，F(xiàn)UDS)測(cè)試等。通過(guò)采集超級(jí)電容器的電壓電流數(shù)據(jù)，在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行波形辨識(shí)。由于超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型對(duì)應(yīng)的電壓電流時(shí)域表達(dá)式涉及大量的分?jǐn)?shù)階微積分推導(dǎo)，增加了辨識(shí)的難度和復(fù)雜度。

為此，本文提出了一種超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型的分頻段參數(shù)辨識(shí)方法，根據(jù)超級(jí)電容器在不同頻段的阻抗特性，推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階模型在不同頻段的等效阻抗表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)的全頻段辨識(shí)。具體安排如下：第一部分介紹了超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型的定義；第二部分分析了超級(jí)電容器在不同頻段下的阻抗特性，提出了分?jǐn)?shù)階模型的分頻段等效阻抗表達(dá)式，并提供了辨識(shí)超級(jí)電容分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)的流程圖；第三部分搭建了超級(jí)電容器的實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)，通過(guò)對(duì)超級(jí)電容器進(jìn)行幾組典型頻率的恒流充放電實(shí)驗(yàn)，得到對(duì)應(yīng)頻率的阻抗參數(shù)；第四部分求解超級(jí)電容器的分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)，然后對(duì)超級(jí)電容器進(jìn)行DST 測(cè)試和恒流充放電實(shí)驗(yàn)，將分頻段辨識(shí)法得到的分?jǐn)?shù)階模型的仿真輸出電壓與實(shí)測(cè)電壓進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了分頻段辨識(shí)法的有效性和準(zhǔn)確性，最后將分頻段辨識(shí)法與分?jǐn)?shù)階模型的其他辨識(shí)方法進(jìn)行了分析對(duì)比；第五部分對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié)。

1 超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型

超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型采用分?jǐn)?shù)階元件描述了超級(jí)電容器的動(dòng)態(tài)行為，與整數(shù)階模型相比，分?jǐn)?shù)階元件能夠在階數(shù)上給模型帶來(lái)額外的自由度，不僅可以提高模型的準(zhǔn)確度，而且還能降低模型的復(fù)雜度[23-24]。

超級(jí)電容器的分?jǐn)?shù)階模型[18]如圖1 所示，由常相位CPE 元件、類Warburg 元件、并聯(lián)電阻Rp和串聯(lián)電阻Rs組成。其中，串聯(lián)電阻Rs用于等效超級(jí)電容器電解液和集流體的電阻，常相位CPE 元件的阻抗ZCPE的表達(dá)式為[25]：

圖1 超級(jí)電容器的分?jǐn)?shù)階模型Fig.1 FOM of supercapacitor

式(1)中，C表示常相位CPE元件的電容系數(shù)，ω表示角頻率，α表示分?jǐn)?shù)階階數(shù)。當(dāng)α=1 時(shí)，式(1)表示一個(gè)理想的電容器。常相位CPE 元件與表示電荷擴(kuò)散的傳遞電阻Rp并聯(lián)，用于描述電荷的擴(kuò)散效應(yīng)，可以代替整數(shù)階等效電路模型中的多級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)。

類Warburg元件的阻抗表達(dá)式為[26]：

式(2)中，W表示超級(jí)電容器的主電容系數(shù)，β表示電容量分布階數(shù)。當(dāng)β=0時(shí)，類Warburg元件為電阻；當(dāng)β=1 時(shí)，類Warburg 元件為電容。類Warburg元件用于描述超級(jí)電容器的主電容特性。

根據(jù)上述定義，分?jǐn)?shù)階模型的阻抗表達(dá)式為：

式中包含未知參數(shù)α、β、Rp、Rs、C、W。根據(jù)歐拉公式，虛數(shù)的分?jǐn)?shù)階次表達(dá)式為：

將式(4)代入式(3)中，可以得到分?jǐn)?shù)階模型阻抗實(shí)部和虛部的表達(dá)式分別為：

式中，Re1表示CPE 元件和Rp并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)部，Re2表示類Warburg元件的實(shí)部，Im1表示CPE元件和Rp并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的虛部，Im2表示類Warburg 元件的虛部，A=CRpωαcos(απ/2)，B=CRpωαsin(απ/2)。

2 分頻段辨識(shí)法

2.1 不同頻段下的阻抗特性

超級(jí)電容器的動(dòng)態(tài)行為主要取決于其阻抗特性，典型的超級(jí)電容器頻率阻抗譜如圖2所示。從圖中可以看出，超級(jí)電容器的阻抗特性在不同頻率下呈現(xiàn)不同特性。因此，本文根據(jù)超級(jí)電容器阻抗特性和分?jǐn)?shù)階元件特性，按照頻段進(jìn)行劃分，提出了不同頻段的分?jǐn)?shù)階模型等效阻抗表達(dá)式。

圖2 超級(jí)電容器的典型阻抗頻譜Fig.2 Typical impedance spectroscopies of supercapacitor

（1） 主電容特性頻段

由圖2(a)可知，在較低頻率時(shí)，超級(jí)電容器特性類似于常規(guī)電容器，Nyquist 曲線斜率約為89°[27]。阻抗虛部隨頻率減小而快速增大，超級(jí)電容器的主電容特性完全體現(xiàn)。在圖2(b)中，該頻段的幅值和相角隨頻率變化明顯，故將該頻段稱為主電容特性頻段，對(duì)應(yīng)的頻率約為10 mHz～150 mHz。

在該頻段內(nèi)，主電容特性由分?jǐn)?shù)階模型的類Warburg元件表示，超級(jí)電容器的阻抗虛部可以等效為類Warburg元件的虛部，故阻抗虛部表達(dá)式(6)可等效為：

式7 中，ωL為主電容特性頻段的角頻率，且2π×10 mHz≤ωL≤2π×100 mHz。

當(dāng)頻率接近10 mHz 時(shí)，由于頻率很小，A、B＜＜1，故阻抗實(shí)部表達(dá)式(5)可等效為：

式中，ωmin為最小角頻率，且ωmin≈2π×10 mHz。

該情況相當(dāng)于頻率極小的輸入信號(hào)通過(guò)由CPE元件和電阻Rp構(gòu)成的并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，輸入信號(hào)被CPE元件阻隔，僅從Rp支路通過(guò)。

（2） 電荷擴(kuò)散頻段

由圖2(a)可知，隨著頻率的增大，在某一頻段上，阻抗曲線的負(fù)虛部和實(shí)部隨頻率變化的大小相等，Nyquist曲線斜率約為45°。阻抗虛部和實(shí)部都隨頻率增大而減小，主要表現(xiàn)了超級(jí)電容器的電荷擴(kuò)散效應(yīng)[28]。在圖2(b)中，該頻段的幅值和相角隨頻率變化較小，故將該頻段稱為電荷擴(kuò)散頻段，對(duì)應(yīng)的頻率范圍約為300 mHz～100 Hz。在該頻段內(nèi)，超級(jí)電容器等效為完整的分?jǐn)?shù)階模型。

（3） 電阻特性頻段

由圖2(a)可知，在較高頻率時(shí)，超級(jí)電容器特性類似于純電阻。由圖2(b)可見(jiàn)，該頻段的幅值和相角隨頻率變化幾乎為0，故將該頻段稱為電阻特性頻段，對(duì)應(yīng)的頻率約≥100 Hz。

在該頻段內(nèi)，電阻特性由分?jǐn)?shù)階模型的串聯(lián)電阻Rs元件表示，超級(jí)電容器的阻抗實(shí)部可以等效為電阻Rs的大小[13]，故阻抗實(shí)部表達(dá)式(5)可等效為：

式中，ωH為電阻特性頻段的角頻率，且ωH≥2π×100 Hz。

值得注意的是，本文定義主電容特性頻段和電荷擴(kuò)散頻段的過(guò)渡頻率范圍為150 mHz～300 mHz，不同超級(jí)電容器的過(guò)渡頻率范圍略有差異，但其阻抗譜仍呈現(xiàn)出主電容特性頻段和電荷擴(kuò)散頻段的阻抗特性，在各頻段內(nèi)的相角斜率保持不變[27]。

2.2 參數(shù)辨識(shí)步驟

恒流充放電是超級(jí)電容器常用的儲(chǔ)釋能方式之一，電流選擇范圍大，易于實(shí)現(xiàn)，在超級(jí)電容器的應(yīng)用場(chǎng)合具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，所以直接使用超級(jí)電容器恒流充放電過(guò)程的實(shí)際時(shí)域數(shù)據(jù)建模具有重要的實(shí)際意義[29]。恒流充放電的波形為方波電流信號(hào)，將一個(gè)充放電周期的方波電流信號(hào)加到超級(jí)電容器上，超級(jí)電容器端電壓的變化等于電流基波及各次諧波引起電壓變化的疊加。隨著次數(shù)的增加，諧波對(duì)超級(jí)電容器的充放電周期和電流幅值都成倍減少，且超級(jí)電容器容值很大，短周期內(nèi)小幅值的電流充放電引起的超級(jí)電容器電壓變化很小，因此，三次及以上諧波引起的超級(jí)電容器電壓變化可以忽略不計(jì)，即方波電流信號(hào)中引起超級(jí)電容器電壓變化的主要成分為等頻率的交流正弦基波。

通過(guò)改變對(duì)超級(jí)電容器充放電的方波電流頻率，在前1/2周期恒流充電，后1/2周期恒流放電，根據(jù)式(10)的方程組，經(jīng)電壓電流數(shù)據(jù)可以計(jì)算出各交流角頻率ω下對(duì)應(yīng)的超級(jí)電容器阻抗參數(shù)Re(ω)、Im(ω)，代入分?jǐn)?shù)階模型的等效阻抗表達(dá)式，即可求出分?jǐn)?shù)階模型的未知參數(shù)。

式(10)中，Re(ω)為阻抗實(shí)部，Im(ω)為阻抗虛部，T為恒流充放電周期，ω為恒流充放電角頻率，u0為充放電初始時(shí)的超級(jí)電容器端電壓，uT/2為充電結(jié)束時(shí)的超級(jí)電容器端電壓，uT為放電結(jié)束時(shí)的超級(jí)電容器端電壓，i為恒流充放電電流。

首先，在主電容特性頻段選擇幾組頻率，通過(guò)選定頻率的恒流充放電測(cè)試，計(jì)算出相應(yīng)角頻率ωL(2π×10 mHz≤ωL≤2π×100 mHz)下的阻抗虛部Im(ωL)，代入阻抗虛部等效表達(dá)式(7)，可以得到以下關(guān)系：

式中，分?jǐn)?shù)階階數(shù)β和主電容系數(shù)W是未知參數(shù)。通過(guò)計(jì)算出的幾組Im(ωL)，近似求解得到分?jǐn)?shù)階階數(shù)β和主電容系數(shù)W。

其次，在電阻特性頻段選擇一組頻率，通過(guò)選定頻率的恒流充放電測(cè)試，計(jì)算出相應(yīng)角頻率ωH(ωH≥2π×100 Hz)的阻抗實(shí)部Re(ωH)，代入阻抗實(shí)部等效表達(dá)式(9)，可以得到以下關(guān)系：

式中，電阻Rs是未知參數(shù)。通過(guò)計(jì)算Re(ωH)，得到電阻Rs。

再選取主電容特性頻段的最小頻率點(diǎn)，通過(guò)選定頻率的恒流充放電測(cè)試，計(jì)算出相應(yīng)角頻率ωmin(ωmin≈2π×10 mHz)的阻抗實(shí)部Re(ωmin)，代入阻抗實(shí)部等效表達(dá)式(8)，可以得到以下關(guān)系：

式中，電阻Rp是未知參數(shù)，分?jǐn)?shù)階階數(shù)β、主電容系數(shù)W和電阻Rs已由式(11)和式(12)解得。通過(guò)計(jì)算Re(ωmin)，得到電阻Rp。

最后，在電荷擴(kuò)散頻段選擇幾組頻率，通過(guò)選定頻率的恒流充放電測(cè)試，計(jì)算出相應(yīng)角頻率ωM(2π×200 mHz≤ωM≤2π×100 Hz)下的阻抗虛部Im(ωM)，代入阻抗虛部表達(dá)式(6)。可以得到以下關(guān)系：

式中，包含在表達(dá)式A和B中分?jǐn)?shù)階階數(shù)α和CPE 元件電容系數(shù)C是未知參數(shù)，分?jǐn)?shù)階階數(shù)β、主電容系數(shù)W、電阻Rs和電阻Rp已由式(11)～(13)解得。通過(guò)計(jì)算出的多組Im(ωM)，近似求解得到分?jǐn)?shù)階階數(shù)α和CPE元件電容系數(shù)C。

上述步驟對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)辨識(shí)流程圖如圖3所示。由圖可知，各頻段的等效阻抗表達(dá)式包含了分?jǐn)?shù)階模型中不同的未知參數(shù)，在分步求解過(guò)程中，減少了未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，從而大大降低了分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)辨識(shí)的難度。

圖3 超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)辨識(shí)流程圖Fig.3 Parameters identification flow chart of FOM of supercapacitor

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

本文設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖4(a)所示，具體包括用于實(shí)現(xiàn)充放電功能的可編程電源(Chroma 62150H-1000S ver007)和電子負(fù)載(Chroma 63204 V006)，用于采樣數(shù)據(jù)的示波器，用于控制可編程電源啟動(dòng)和處理數(shù)據(jù)的上位機(jī)，用于控制電子負(fù)載啟動(dòng)的同步開(kāi)關(guān)等。實(shí)驗(yàn)架構(gòu)如圖4(b)所示，可編程電源在上位機(jī)命令下啟動(dòng)，通過(guò)同步開(kāi)關(guān)同步啟動(dòng)電子負(fù)載。電源和電子負(fù)載的工作時(shí)序互補(bǔ)，前半周期，電源對(duì)超級(jí)電容器進(jìn)行恒流充電，電子負(fù)載保持零輸入狀態(tài)；后半周期，超級(jí)電容器對(duì)電子負(fù)載進(jìn)行恒流放電，電源保持零輸出狀態(tài)。對(duì)超級(jí)電容進(jìn)行若干個(gè)周期的循環(huán)充放電，示波器采集超級(jí)電容器的端電壓和充放電電流數(shù)據(jù)，送至上位機(jī)進(jìn)行處理。

圖4 辨識(shí)超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.4 Experimental platform for identifying parameters of FOM of supercapacitor

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文選取型號(hào)為CHV-2R7307R-TWX-S1 的超級(jí)電容器作為研究對(duì)象，其額定電壓為2.7 V，標(biāo)稱容值為300 F。

根據(jù)上一節(jié)內(nèi)容的分析，在各頻段內(nèi)任意選取幾組測(cè)試頻率，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階模型的全頻段辨識(shí)。本文選擇測(cè)試的充放電頻率為10.0 mHz、11.1 mHz、16.7 mHz、25.0 mHz、33.3 mHz、50.0 mHz、50.0 Hz、100.0 Hz。若充放電電流較大，當(dāng)電容電壓接近超級(jí)電容器額定電壓時(shí)，難以繼續(xù)維持恒流充電；若充放電電流較小，在固定的充放電周期內(nèi)，超級(jí)電容器端電壓變化太小。經(jīng)測(cè)試，選取2 A 大小的電流對(duì)超級(jí)電容器進(jìn)行多頻率恒流充放電實(shí)驗(yàn)最佳。不同頻率恒流充放電實(shí)驗(yàn)部分波形如圖6所示，每個(gè)頻率下進(jìn)行6次循環(huán)測(cè)試。

圖6 不同頻率的恒流(2 A)充放電波形Fig.6 Constant current charge-discharge waveforms of 2 A at different frequencies

通過(guò)示波器采樣各頻率恒流充放電實(shí)驗(yàn)的電壓電流數(shù)據(jù)，根據(jù)式(10)所示的方程組，計(jì)算出不同角頻率ω下對(duì)應(yīng)的阻抗參數(shù)Re(Z)、Im(Z)。得到的結(jié)果如表1所示。

表1 不同充放電頻率下的超級(jí)電容器阻抗參數(shù)Table 1 lmpedance parameters of supercapacitor at different charge-discharge frequencies

4 參數(shù)辨識(shí)及驗(yàn)證

4.1 分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)辨識(shí)

根據(jù)圖3所示的參數(shù)辨識(shí)流程，首先將主電容特性頻段的6 組阻抗參數(shù)Im(ωL)代入式(11)，通過(guò)First Optimization軟件進(jìn)行曲線擬合，近似求解分?jǐn)?shù)階階數(shù)β和主電容系數(shù)W，擬合曲線如圖5所示，分?jǐn)?shù)階階數(shù)β和主電容系數(shù)W的擬合結(jié)果如表2所示；接著，選取電阻特性頻段的1 組阻抗參數(shù)Re(ωH)代入式(12)，求解串聯(lián)電阻Rs；然后，選取主電容特性頻段的最小頻率ωmin的阻抗參數(shù)Re(ωmin)代入式(13)，求解并聯(lián)電阻Rp；最后，選取電荷擴(kuò)散頻段的兩個(gè)阻抗參數(shù)Im(ωM)代入式(14)，求解分?jǐn)?shù)階階數(shù)α和CPE元件電容系數(shù)C。最終得到的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表3所示。

圖5 超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型部分參數(shù)擬合曲線Fig.5 Fitting curves of partial parameters of FOM of supercapacitor

表2 超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型的部分參數(shù)擬合結(jié)果Table 2 Fitting results of partial parameters of FOM of supercapacitor

表3 超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Table 3 Parameters identification results of FOM of supercapacitor

4.2 驗(yàn)證分析

（1） DST動(dòng)態(tài)測(cè)試

為驗(yàn)證分頻段辨識(shí)法求取參數(shù)的有效性，利用動(dòng)態(tài)工況DST 測(cè)試對(duì)超級(jí)電容器進(jìn)行實(shí)體測(cè)試。DST測(cè)試是美國(guó)電池測(cè)試手冊(cè)提供的變功率充放電測(cè)試序列[22]，如圖7 所示。該測(cè)試根據(jù)車用超級(jí)電容在標(biāo)準(zhǔn)循環(huán)工況下行駛時(shí)的加載情況，模擬了不同功率等級(jí)的方波電流序列，可以有效地激勵(lì)超級(jí)電容，獲取豐富的測(cè)試數(shù)據(jù)，常用作超級(jí)電容器模型參數(shù)辨識(shí)的測(cè)試序列。

圖7 DST測(cè)試序列圖Fig.7 Sequences of DST

將分頻段辨識(shí)法得到的參數(shù)代入到超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型中，仿真得到超級(jí)電容器在DST 測(cè)試下的輸出電壓，并通過(guò)示波器采集超級(jí)電容器在DST 測(cè)試下的實(shí)測(cè)電壓，仿真結(jié)果和實(shí)測(cè)電壓如圖8所示。由圖可知，在DST測(cè)試電流功率等級(jí)變化較大時(shí)，超級(jí)電容器電壓誤差波動(dòng)變大。經(jīng)計(jì)算分析，分頻段辨識(shí)法的輸出電壓與實(shí)測(cè)電壓平均誤差為23.73 mV，最大誤差限制在80.30 mV 以內(nèi)；平均相對(duì)誤差為1.52%，最大相對(duì)誤差限制在4%以內(nèi)。從而，驗(yàn)證了超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型的分頻段參數(shù)辨識(shí)方法的有效性。

圖8 分頻段辨識(shí)法輸出電壓與DST實(shí)測(cè)電壓Fig.8 Output voltage of proposed method and measured voltage under DST

（2） 恒流充放電測(cè)試

為進(jìn)一步測(cè)試辨識(shí)出分?jǐn)?shù)階模型的準(zhǔn)確性和適應(yīng)性，仿真計(jì)算出分?jǐn)?shù)階模型在不同頻率恒流充放電實(shí)驗(yàn)下的輸出電壓，并對(duì)超級(jí)電容器實(shí)物進(jìn)行固定頻率的恒流充放電驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，仿真電壓、實(shí)測(cè)電壓及兩者之間的誤差電壓如圖9所示?？梢?jiàn)最大誤差限制在100 mV 以內(nèi)，最大相對(duì)誤差都限制在6%以內(nèi)，結(jié)果表明分頻段辨識(shí)法求解出的分?jǐn)?shù)階模型具有較高的準(zhǔn)確度和適應(yīng)性。

圖9 分頻段辨識(shí)法輸出電壓與恒流充放電實(shí)測(cè)電壓Fig.9 Output voltage of proposed method and measured voltage under constant current charge-discharge

4.3 辨識(shí)方法對(duì)比分析

最后，將分頻段辨識(shí)法與其他分?jǐn)?shù)階模型的辨識(shí)方法進(jìn)行了分析對(duì)比，如表4 所示，可以看出，分頻段辨識(shí)法在保證超級(jí)電容器建模精度的基礎(chǔ)上，減小了辨識(shí)難度，在一般的實(shí)驗(yàn)環(huán)境下即可實(shí)現(xiàn)。

表4 超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型辨識(shí)方法對(duì)比Table 4 ldentification methods comparison for FOM of supercapacitor

5 結(jié) 論

本文提出一種超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型的分頻段參數(shù)辨識(shí)方法，通過(guò)簡(jiǎn)單的恒流充放電實(shí)驗(yàn)即可求解超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)。該方法的優(yōu)勢(shì)在于

（1）根據(jù)不同頻段，提出了超級(jí)電容器分?jǐn)?shù)階模型的等效阻抗表達(dá)式，減少了各阻抗表達(dá)式中的未知參數(shù)個(gè)數(shù)，降低了分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)的求解難度。

（2）測(cè)試方法簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)，無(wú)需專業(yè)昂貴的電化學(xué)阻抗譜測(cè)量?jī)x或復(fù)雜的動(dòng)態(tài)電流/電壓測(cè)試，僅需要對(duì)超級(jí)電容器進(jìn)行幾組典型頻率的恒流充放電測(cè)試。

（3）相較于整數(shù)階模型，該方法求解出的分?jǐn)?shù)階模型能夠準(zhǔn)確地反映超級(jí)電容器的特性，保證了模型精度，為開(kāi)發(fā)應(yīng)用超級(jí)電容器提供有效支撐。