何學敏，任銀娟，毛巍威，李三龍

(南京郵電大學 理學院，江蘇 南京 210023)

1 受迫振動實驗的基本現(xiàn)象和問題描述

實驗室中通常用波爾共振儀來研究受迫振動，由轉(zhuǎn)動定律可寫出擺輪作受迫振動的方程[1]：

(1)

上式中左邊項為擺輪的轉(zhuǎn)動力矩，右邊三項依次為彈簧回復(fù)力矩、電磁阻尼力矩和強迫外力矩。J為擺輪轉(zhuǎn)動慣量，θ為擺輪振幅，k為彈簧彈性系數(shù)。

(2)

上式中左邊第二項為阻尼項，右邊項為受迫項。由《數(shù)學物理方法》的知識可得方程(2)的通解為：

θ=θ1e-βtcos(ωft+α)+θ2cos(ωt+φ0)

(3)

上式中右邊第一項表示阻尼振動經(jīng)一段時間衰減消失；第二項表示強迫外力對擺輪做功，傳遞能量，使其達到穩(wěn)定的振動狀態(tài)。

對(3)式而言，需重點關(guān)注其穩(wěn)態(tài)解，即受迫振動在穩(wěn)態(tài)時的特征---幅頻特性和相頻特性。在解析這兩大特性時，振幅θ2和相位差φ可表示為：

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(5)

以上即為受迫振動物理模型和數(shù)理方程方面的基本描述。

看似復(fù)雜的方程和公式，完全可以簡化處理。整個實驗研究的物理量不出θ、ω0(T0)、β、ω(T)、φ等五個，只需系統(tǒng)測出實驗數(shù)據(jù)，厘清它們與周期(或頻率)間的關(guān)系，找出特征參數(shù)隱含的物理信息，即可對受迫振動實驗有較好的理解與掌握。而在此研究過程中，數(shù)據(jù)處理至關(guān)重要。圖解法對于大量實驗數(shù)據(jù)的分析非常實用，科學嚴謹?shù)膱D像能真實反映和推測出物理量之間的數(shù)學關(guān)系和變化規(guī)律[2]，能擬合得到一些關(guān)鍵物理參數(shù)的精確解[3]，能驗證和推理出定理、定律背后的物理內(nèi)涵[4]。

1、家庭方面。在小學生的成長過程中，家長占據(jù)著非常重要的地位，需要他們發(fā)揮良好模范作用，才能更好的引導(dǎo)小學生養(yǎng)成良好行為習慣。但是，部分家長的教育觀念還保持以前傳統(tǒng)的方式，經(jīng)常對著孩子大吼、嚴厲批評，甚至打罵小學生，致使小學生出現(xiàn)反叛心理。與此同時，部分家長非常寵溺自己的孩子，不讓小學生接觸各種新鮮的事物，也不讓他們自己解決任何問題，從而降低小學生的心理承受能力，甚至影響小學生各方面能力提升。

基于此，本文對自由振動、阻尼振動和受迫振動進行系統(tǒng)研究，利用科研軟件規(guī)范作圖，充分挖掘數(shù)據(jù)圖像的物理意義，得到共振狀態(tài)下的關(guān)鍵信息，以期對教研人員定性、半定量地研究受迫振動實驗起到一定的借鑒作用。

2 自由振動時振幅與周期的關(guān)系

理想情況下的自由振動指的是振幅不變且無阻尼(β=0)。但實驗上并非如此，用波爾共振儀研究自由振動時，振幅隨著時間發(fā)生了改變。在自由振動實驗中，擺輪是在轉(zhuǎn)動力矩及蝸卷彈簧所產(chǎn)生的回復(fù)力矩共同作用下進行的振動。其中，回復(fù)力矩用-kθ表示，k是蝸卷彈簧的彈性系數(shù)，理論上是一個常數(shù)，與扭轉(zhuǎn)的角度無關(guān)。但實際上，由于制造工藝及材料性能的影響，彈簧k值會隨著角度的改變而發(fā)生微小的變化，從而造成在不同振幅時擺輪固有頻率ω0(或固有周期T0)也有變化。這種變化不能忽略，如果簡單地取所有ω0的平均值來進行計算，將會造成后續(xù)受迫振動實驗中在共振點附近相位差的理論值與實驗值偏差巨大。

顯然，在研究阻尼振動和受迫振動的運動特征之前，非常有必要對自由振動下擺輪振幅θ與固有周期T0的關(guān)系作清晰的描述?；诖耍瑢嶒炛邢到y(tǒng)測量了自由振動下的這兩組數(shù)據(jù)，如表1中所示。

表1 自由振動時擺輪振幅θ與振動周期T0的實驗數(shù)據(jù)

由表1可見，自由振動下的擺輪振幅θ從一開始的156°逐漸衰減到結(jié)束時的52°，而對應(yīng)的振動周期T0從1.574s遞增到1.590s。在后文研究受迫振動的幅頻特性時，將會發(fā)現(xiàn)共振處的擺輪振幅為144°，查表1中與此振幅對應(yīng)的自由振動周期是1.576s?？珊唵斡嬎愠鲎杂烧駝訒r固有振動周期T0的最大誤差為

(6)

可見，盡管自由振動的固有周期在理論上不變，但實驗上卻發(fā)生了最大0.9%的波動。為了后續(xù)研究受迫振動更加嚴謹，也考慮到同一臺實驗儀器所測數(shù)據(jù)的可比性，再將表1數(shù)據(jù)畫成直觀的圖像形式，如圖1所示。

圖1 自由振動擺輪振幅θ與振動周期T0之間的關(guān)系

圖1中的黑色實心方塊(■)表示實驗測量的數(shù)據(jù)，而紅色實線(-)是基于實驗數(shù)據(jù)線性擬合出的結(jié)果。顯然，理論擬合的結(jié)果較好地契合了實驗變化規(guī)律，可得自由振動下擺輪振幅與周期的關(guān)系式：

θ=10429-6525T0

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有了θ與T0的關(guān)系式，在用同一臺波爾共振儀研究阻尼振動、受迫振動的運動特征時，凡是要求提供T0值的，均可通過(7)式精確計算出來。這種處理方法將在后文分析受迫振動的幅頻特性時得到很好的體現(xiàn)，將有助于共振特征參數(shù)的精確求解。

3 阻尼振動中阻尼系數(shù)β的確定

阻尼振動是振幅隨時間減小的振動，它不受強迫外力矩作用，即mcosωt=0。研究阻尼振動最主要的是得到阻尼系數(shù)，并知道怎樣選擇合適的阻尼檔位，以利于后面的共振參數(shù)分析。

在阻尼振動中，電磁阻尼力矩包含一個重要的因子，即阻尼系數(shù)β，它是通過調(diào)節(jié)阻尼線圈內(nèi)直流電流的大小來改變β值。為了后續(xù)實驗在共振時的振幅大些，便于幅頻特性的研究，本實驗選用最小的阻尼1檔來進行數(shù)據(jù)測量，得到擺輪作阻尼振動時的振幅數(shù)值θ1、θ2、……、θ10，如表2所列。

表2 阻尼振動時擺輪振幅θ的測量數(shù)據(jù)(10T=15.849 s)

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對于0.059 4s-1這樣一個阻尼系數(shù)，該值是否理想呢？在后續(xù)研究中會發(fā)現(xiàn)，該阻尼能使受迫振動的振幅在共振區(qū)附近顯著下降，在遠離共振區(qū)阻尼對振幅則影響不大；幅頻特性的研究將證明阻尼1檔的選擇非常合適。

4 受迫振動幅頻特性和相頻特性的研究

在受迫振動實驗中，系統(tǒng)所受的力矩有轉(zhuǎn)動力矩、回復(fù)力矩、電磁阻尼力矩和強迫外力矩。其中，強迫外力矩對應(yīng)于儀器上的“強迫力周期”旋鈕，它是通過調(diào)節(jié)強迫力矩周期電位器來改變電機的轉(zhuǎn)速，即改變強迫外力矩的頻率ω，從而改變電機轉(zhuǎn)動周期T。受迫振動實驗需待振幅穩(wěn)定后記錄強迫力(即電機)的周期T和擺輪振幅θ，同時用頻閃現(xiàn)象測量擺輪與強迫力的相位差φ。在該實驗中依次改變強迫力周期，即不斷調(diào)節(jié)電機轉(zhuǎn)速(對應(yīng)于旋鈕刻度值，單位記為a.u.)，測出十幾個點，所得數(shù)據(jù)如表3所示。

研究受迫振動，最重要的就是澄清θ、φ與ω/ω0之間的關(guān)系，即幅頻、相頻特性?；陉P(guān)系式(4)和(5)，以表3中ω/ω0的數(shù)據(jù)為橫坐標，分別以θ和φ的數(shù)據(jù)為縱坐標，利用Origin科學作圖，可得受迫振動的幅頻特性和相頻特性曲線。

表3 受迫振動幅頻和相頻特性的實驗數(shù)據(jù)

在圖2所示的幅頻特性曲線中，擺輪振幅θ是隨著頻率比值ω/ω0先增后減，且在ω/ω0=1.00處達到最大值。由紅色實線擬合出的結(jié)果可以看出，當電機頻率ω與系統(tǒng)固有頻率ω0一致時，擺輪發(fā)生共振，共振振幅θr=144°.由表1可以查出，與擺輪振幅144°對應(yīng)的固有振動周期T0是1.576s，則可得系統(tǒng)固有頻率ω0(=2π/T0)為3.986 8s-1.

圖2 受迫振動時的幅頻特性(θ～ω/ω0)曲線.

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上述兩式說明，β趨近于0時，ωr接近于ω0，θr可達無窮大。當然這只是理想上的結(jié)果，實際情況就是，阻尼系數(shù)β越小，共振時強迫力的圓頻率越接近系統(tǒng)固有頻率，振幅θr也越大。由前文算得的β=0.059 4s-1和ω0=3.986 8s-1可計算出共振圓頻率ωr=3.985 9s-1.可見，此處的ωr和ω0已經(jīng)非常接近，相對誤差只有0.023%，說明前文用阻尼1檔來進行阻尼振動的研究使得后面受迫振動時的共振特性達到了最理想的效果。

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圖3 受迫振動時的相頻特性(φ～ω/ω0)曲線

5 結(jié) 語

基于波爾共振儀所測的自由振動實驗數(shù)據(jù)，擬合出擺輪振幅與系統(tǒng)固有周期的關(guān)系θ=10429-6525T0；結(jié)合共振特征參數(shù)，發(fā)現(xiàn)固有振動周期T0的最大誤差為0.9%。基于阻尼振動和幅頻特性的實驗數(shù)據(jù)，分別利用逐差法和圖解法求出阻尼系數(shù)β為0.059 4s-1和0.061 0s-1，二者相對誤差只有2.7%。通過Origin軟件科學作圖得到受迫振動的幅頻特性和相頻特性曲線；圖解法算出的共振圓頻率ωr=3.985 9s-1與系統(tǒng)固有頻率ω0=3.986 8s-1非常接近，相對誤差只有0.023%，說明選用最小的阻尼1檔來進行實驗是理想的；解析發(fā)現(xiàn)，當電機頻率與系統(tǒng)固有頻率一致時，擺輪發(fā)生共振，振幅θr達144°，擺輪與強迫力的相位差φr為π/2，印證了受迫振動時運動方程的穩(wěn)態(tài)解。因此，用圖解法對《受迫振動》實驗進行定量分析與計算是可行的、成功的，有助于深層次理解數(shù)據(jù)背后的物理內(nèi)涵。