徐佳琪，邵 云

(南京曉莊學(xué)院 電子工程學(xué)院，江蘇 南京 211171)

惠斯通電橋是一種常用的測(cè)量普通中值電阻的儀器與方法，其主要思想是補(bǔ)償?shù)乃枷?，有效地避免了中學(xué)物理中伏安法測(cè)電阻的安培表內(nèi)接與外接的引入誤差，因此具有較高的精確度。但是惠斯通電橋依然存在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上的系統(tǒng)誤差，主要體現(xiàn)在橋臂阻值的選擇所導(dǎo)致的靈敏度誤差和電阻阻值本身的誤差。

盡管此前已有多名學(xué)者在研究電橋的精確度時(shí)，針對(duì)電橋的靈敏度進(jìn)行了詳細(xì)的探討并得出了定性甚至定量的研究結(jié)果，但是他們大多沒(méi)有考慮到電阻箱阻值的準(zhǔn)確度對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響[1-4]。本文將同時(shí)考慮靈敏度與電阻箱阻值的準(zhǔn)確度這兩個(gè)方面對(duì)于惠斯通電橋測(cè)量精度的影響，計(jì)算出測(cè)量最為精確即系統(tǒng)誤差最小時(shí)橋臂的阻值狀況。

1 惠斯通電橋的實(shí)驗(yàn)原理及其靈敏度

惠斯通電橋測(cè)電阻的原理如圖1所示，其中Rx為待測(cè)電阻，Rs為比較臂，R1、R2為比例臂，電源(設(shè)無(wú)內(nèi)阻)電壓設(shè)為E，G為檢流計(jì)。

圖1 惠斯通電橋的原理示意圖

如圖1，當(dāng)電橋平衡(B、D兩點(diǎn)等電位，即UBD=0)時(shí)，可推導(dǎo)出待測(cè)電阻Rx為

(1)

此時(shí)電橋的靈敏度必然會(huì)影響到測(cè)量結(jié)果的精確度。根據(jù)文獻(xiàn)[5,6]，當(dāng)使用檢流計(jì)檢測(cè)電橋平衡時(shí)，惠斯通電橋的靈敏度可以表達(dá)為

(2)

其中Si為檢流計(jì)的靈敏度，Rg為其內(nèi)阻。

(3)

(4)

2 電阻箱帶來(lái)的誤差

實(shí)驗(yàn)室常用的直流多值電阻箱誤差的主要來(lái)源是示值誤差ΔR，而ΔR的大小則由電阻箱的準(zhǔn)確度f(wàn)所決定。對(duì)于大多數(shù)電阻箱來(lái)說(shuō)，由于各檔準(zhǔn)確度f(wàn)j的不同，ΔR的大小表示為[7]

(5)

其中Rj為電阻箱各檔所顯示的電阻值?，F(xiàn)以實(shí)驗(yàn)室常用的可調(diào)范圍0～99 999.9 Ω的6檔ZX21型電阻箱為例，其各檔準(zhǔn)確度f(wàn)j值見(jiàn)表1(注：不同廠家數(shù)值略有不同)。100.0 Ω電阻的相對(duì)誤差顯然為0.1%，而99.9 Ω電阻的相對(duì)誤差

則為

可見(jiàn)電阻箱所示電阻的相對(duì)誤差并不隨阻值連續(xù)變化。

表1 ZX21型電阻箱各檔阻值的準(zhǔn)確度 fj

利用Excel軟件，將100～1 000Ω步進(jìn)5Ω的電阻值及表1中數(shù)據(jù)代入式(5)，即可計(jì)算出其間諸電阻的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差，進(jìn)而作出相對(duì)誤差隨電阻變化的大致曲線如圖2所示。鑒于曲線呈不連續(xù)的鋸齒狀，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題從而獲得定性或者半定量的有價(jià)值的結(jié)果，我們采用了指數(shù)函數(shù)對(duì)該誤差曲線進(jìn)行了擬合，得到如下近似的相對(duì)誤差函數(shù)(同樣適用于1 000～10 000Ω)：

(6)

圖2 電阻箱阻值的相對(duì)誤差隨阻值的變化曲線及其擬合曲線

因此，由各電阻箱的阻值誤差所帶來(lái)的待測(cè)電阻Rx的測(cè)量相對(duì)誤差為

(7)

3 惠斯通電橋的測(cè)量誤差

電阻Rx的測(cè)量誤差是由電阻箱所產(chǎn)生的誤差和電橋的靈敏度所產(chǎn)生的誤差兩者疊加而成。一般電橋的靈敏度被定義為：檢流計(jì)指針偏轉(zhuǎn)的格數(shù)與對(duì)應(yīng)的比較臂電阻的相對(duì)變化之比[8]，即

(8)

從式(1)可得，當(dāng)電橋平衡時(shí)有

成立，也即比較臂電阻的相對(duì)變化即為待測(cè)電阻的相對(duì)變化[9]，因此式(8)可以改寫為

(9)

將一般肉眼在明視距離的分辨率Δn=0.2格代入式(9)，即得電橋的靈敏度所帶來(lái)的相對(duì)誤差：

(10)

于是，根據(jù)誤差的疊加法則，惠斯通電橋的總測(cè)量相對(duì)誤差可以表示為

(11)

將式(4)、(7)代入式(11)，則得以α、β為兩變量的相對(duì)誤差表達(dá)式：

(12)

(13)

接下來(lái)，本文將分別以常見(jiàn)的待測(cè)電阻Rx=100Ω,1 000Ω,5 000Ω,10 000Ω為例，通過(guò)對(duì)式(13)求極(小)值，從而獲得最佳的橋臂電阻比例關(guān)系α和β，以及相應(yīng)的橋臂阻值。

1)當(dāng)Rx=100Ω時(shí)

將Rx=100Ω代入式(13)得

(14)

將式(14)分別對(duì)α和β求偏導(dǎo)，并令其結(jié)果皆為零，則得

(15)

(16)

(17)

(18)

從理論上講(見(jiàn)式(14))，此時(shí)Rx的測(cè)量相對(duì)誤差最小，值為1.831×10-3。

數(shù)據(jù)表明，在上述理想的比例臂阻值附近，Rx的相對(duì)誤差隨各電阻值的變化是十分緩慢的。因此，在實(shí)際的操作中，R1和R2的取值可以分別在765Ω和6 251Ω左右浮動(dòng)?？紤]到實(shí)際電阻的臺(tái)階狀誤差(非擬合函數(shù)式(6)，見(jiàn)圖2)，R1和R2應(yīng)盡可能取鄰近的整值電阻(百歐姆的整數(shù)倍，下同)，比如分別取800Ω和6 300Ω，這樣處理，最終的實(shí)際相對(duì)誤差，有可能會(huì)比取765Ω和6 251Ω時(shí)的理論相對(duì)誤差極小值1.831×10-3還要小或者大致相當(dāng)。本文求極值所得理論結(jié)果式(17)、(18)的價(jià)值，在于從總體趨勢(shì)上確定大致最佳的橋臂比例或阻值，為實(shí)驗(yàn)操作提供理論上的指導(dǎo)，但是式(17)、(18)本身并不具備嚴(yán)格而絕對(duì)的意義。事實(shí)上，當(dāng)R1、R2分別取800Ω、6 300Ω時(shí)，可算得Rs=787.5Ω,α=8,β≈0.127 0；再根據(jù)表1、式(11)中的電阻誤差表達(dá)式、式(14)中的靈敏度誤差表達(dá)式，即可算得此時(shí)電橋嚴(yán)格的相對(duì)誤差值為1.848×10-3，它與上文理論上的最小值1.831×10-3大致相當(dāng)，僅相差1.7×10-5的相對(duì)誤差。

2)當(dāng)Rx=1 000Ω時(shí)

將Rx=1 000Ω代入式(13)得

(19)

將式(19)分別對(duì)α和β求偏導(dǎo)，并令其結(jié)果皆為零，則得

(20)

(21)

(22)

(23)

在本文的理論上(見(jiàn)式(19))，此時(shí)Rx的測(cè)量相對(duì)誤差最小，值為1.768×10-3。

與上例同理，在實(shí)際的操作中，R1和R2可以分別取附近的1 600Ω和2 500Ω。經(jīng)計(jì)算，此時(shí)電橋的實(shí)際相對(duì)誤差為1.780×10-3，與理論上的極小值大致相當(dāng)。

3)當(dāng)Rx=5 000Ω時(shí)

將Rx=5 000Ω代入式(13)得

(24)

將式(24)分別對(duì)α和β求偏導(dǎo)，并令其結(jié)果皆為零，則得

(25)

(26)

(27)

(28)

從理論上講(見(jiàn)式(24))，此時(shí)Rx的測(cè)量相對(duì)誤差最小，值為1.807×10-3。

與上文同理，在實(shí)際的操作中，R1和R2可以分別取附近的2 500Ω和1 300Ω。經(jīng)計(jì)算，此時(shí)電橋的實(shí)際相對(duì)誤差為1.793×10-3，比理論上的極小值還要小一點(diǎn)。

4)當(dāng)Rx=10 000Ω時(shí)

將Rx=10 000Ω代入式(13)得

(29)

將式(29)分別對(duì)α和β求偏導(dǎo)，并令其結(jié)果皆為零得

(30)

(31)

(32)

(33)

從理論上講(見(jiàn)式(29))，此時(shí)Rx的測(cè)量相對(duì)誤差最小，值為1.889×10-3。

與上文同理，在實(shí)際的操作中，R1和R2可以分別取附近的3 000Ω和800Ω。經(jīng)計(jì)算，此時(shí)電橋的實(shí)際相對(duì)誤差為1.875×10-3，同樣也比理論上的極小值小一點(diǎn)。

4 補(bǔ)充說(shuō)明

如果檢流計(jì)的指針很細(xì)且測(cè)量觀察十分小心，則檢流計(jì)的人眼分辨率可以達(dá)到Δn=0.1格，那么上文第3節(jié)中由靈敏度所帶來(lái)的測(cè)量誤差將減小一半。在對(duì)相應(yīng)的公式作出微調(diào)后，按照同樣的方法，可以數(shù)值求得R1、R2在理論上的最佳電阻值，如表2所示。由于此時(shí)電橋的靈敏度誤差權(quán)重減小了許多，因此電阻箱的誤差權(quán)重勢(shì)必增大不少。按照上文的理論分析，包括電阻箱的誤差總體隨阻值的增大而減小的結(jié)論可知，此時(shí)R1、R2的理論最佳阻值，相較第3節(jié)中的結(jié)果，理應(yīng)增大不少，并且相應(yīng)的總誤差勢(shì)必減小(靈敏度誤差減小了)。當(dāng)然，在實(shí)際操作時(shí)，R1、R2同樣可以取最佳值附近的整值電阻。這里有一點(diǎn)需要說(shuō)明一下：盡管數(shù)據(jù)表明最終的總誤差一般主要來(lái)自電阻箱的阻值誤差，但是這兩種誤差隨R1、R2阻值變化的幅度卻彼此不逞多讓！因此，在通過(guò)求總誤差的極小值求R1、R2的最佳阻值時(shí)，這兩種誤差的貢獻(xiàn)均必須考慮。

表2 檢流計(jì)指針的分辨率為0.1格時(shí)R1、R2的理論最佳阻值及相應(yīng)的測(cè)量誤差

需要說(shuō)明的是，目前市場(chǎng)上大多數(shù)ZX21型電阻箱的多檔阻值的準(zhǔn)確度相較于本文中的早期產(chǎn)品均有所下降，詳見(jiàn)表3及表1，其阻值的相對(duì)誤差隨阻值的變化曲線經(jīng)計(jì)算如圖3所示，易見(jiàn)該變化曲線在1 000Ω位置有一個(gè)驟然的下降，這些與圖2中早期產(chǎn)品的變化曲線有著較明顯的區(qū)別，主要表現(xiàn)在1 000Ω以下阻值的相對(duì)誤差明顯偏大，達(dá)到了0.5%～0.8%。因此，在使用這種電阻箱搭建的惠斯通電橋測(cè)量電阻時(shí)，R1、R2均應(yīng)選擇在1 000Ω以上，同時(shí)設(shè)法使Rs也處在1 000Ω以上，這樣才能有效地回避該電阻箱的小值電阻誤差。然而，從嚴(yán)格測(cè)量的角度講，還是應(yīng)當(dāng)首選誤差較小的電阻箱來(lái)搭建惠斯通電橋測(cè)量未知電阻，因此本文仍然選擇了早期精度較高的電阻箱來(lái)計(jì)算電橋的理論誤差，進(jìn)而計(jì)算出誤差最(極)小時(shí)R1、R2理論上的最佳阻值。

表3 市面上多數(shù)ZX21型電阻箱各檔阻值的實(shí)際準(zhǔn)確度f(wàn)j

圖3 市面上多數(shù)ZX21型電阻箱阻值的相對(duì)誤差隨阻值的變化曲線

5 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)對(duì)惠斯通電橋靈敏度的理論研究，發(fā)現(xiàn)惠斯通電橋的靈敏度并無(wú)極大值或者最大值之說(shuō)。影響惠斯通電橋的精確度的主要因素有電橋的靈敏度和電阻箱自身的誤差，通常(正常理性地測(cè)量)后者最終的影響會(huì)更大一些。鑒于電阻箱的誤差曲線呈現(xiàn)不連續(xù)的鋸齒狀，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題從而獲得定性或者半定量的有價(jià)值的結(jié)論，本文采用了指數(shù)函數(shù)對(duì)該誤差曲線進(jìn)行了擬合，從而獲得電阻箱阻值近似的相對(duì)誤差函數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用對(duì)系統(tǒng)的總誤差求極小值的方法從理論上計(jì)算出大致最佳的橋臂比例和阻值。

數(shù)據(jù)表明，在理想的比例臂阻值附近，Rx的相對(duì)誤差隨各電阻值的變化十分緩慢，因此在實(shí)際的操作中，R1和R2可以分別取各自理想值附近的整值電阻，如此實(shí)驗(yàn)誤差可能會(huì)更小一些或者大致相當(dāng)。另外，由于我們?cè)谧鰧?shí)驗(yàn)時(shí)，一般是將R1、R2固定，通過(guò)改變Rs來(lái)測(cè)Rx的值，因此Rs的最終數(shù)值是不確定的，在實(shí)際操作時(shí)，只需要考慮R1、R2取整值電阻即可，Rs是否取整則無(wú)需考慮。

雖然本文的理論結(jié)果不盡嚴(yán)格，但是本文的研究思路、方法和結(jié)論，或可為惠斯通電橋?qū)嶒?yàn)提供一些理論上的指導(dǎo)，亦可為其他相關(guān)的理論性研究提供一些線索及參考。本文的思路與方法同樣可以用來(lái)計(jì)算由市面上的多數(shù)ZX21型電阻箱所組建的惠斯通電橋的最佳橋臂阻值R1和R2，本文在此從略。最后，需要特別說(shuō)明的一點(diǎn)是，本文所計(jì)算的總系統(tǒng)誤差或者說(shuō)總系統(tǒng)不確定度式(11)，屬于合成后的理論統(tǒng)計(jì)誤差，經(jīng)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，它存在著明顯的高估成分，實(shí)際的測(cè)量誤差往往顯著地小于該理論誤差值，但是這并不妨礙本文的理論意義和價(jià)值。