李文韜,孫茜茜,余茗舟,陸辰凌,李永濤,王增旭，4*

(1.南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210003；2.南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210003；3.南京郵電大學(xué) 教務(wù)處，江蘇 南京 210003；4.南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225127 )

通過對弗蘭克赫茲管的理論分析與數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)與建立，基于LabVIEW語言[1-5]開發(fā)了弗蘭克赫茲虛擬實驗儀器。該儀器可模擬弗蘭克赫茲實驗的參數(shù)設(shè)置和數(shù)據(jù)測量[6-8]過程并模擬示波器顯示弗蘭克赫茲實驗的I-V特性曲線，有助于物理實驗的線上教學(xué)，并為在線虛擬操作進(jìn)行了有益的探索。

1 弗蘭克赫茲實驗原理

弗蘭克赫茲實驗直接證明了波爾提出的原子能級量子化理論模型，弗蘭克赫茲實驗的核心主要體現(xiàn)在弗蘭克赫茲管上，以充滿氬原子蒸汽的弗蘭克赫茲管為例做簡要介紹。弗蘭克赫茲管原理圖如圖1所示[9]。

通電的燈絲作為弗蘭克赫茲管的陰極，從燈絲出來的電子首先會經(jīng)過第一柵極加速電壓，電子在這個區(qū)域會獲得一個初始速度，進(jìn)入中間部分。中間部分這個區(qū)域充有氬氣，在陰極K和第二柵極G2之間加速電壓，電子會被進(jìn)一步加速，同時電子可能會與氬原子發(fā)生碰撞。當(dāng)電子能量小于氬原子最外層電子從基態(tài)躍遷到第一激發(fā)態(tài)所需能量時，電子和氬原子會發(fā)生彈性碰撞，兩者之間沒有能量交換；當(dāng)電子能量大于氬原子最外層電子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)能量時，電子和氬原子會發(fā)生非彈性碰撞，在這個過程中，氬原子吸收電子的部分能量，電子能量降低、速度減小。電子到達(dá)第二柵極G2后有一個反向拒斥電壓，電子克服反向拒斥電壓最后到達(dá)陽極，形成電流。

圖1 弗蘭克-赫茲實驗原理圖

實驗中，通過增加的電壓，測得陽極電流與加速電壓的關(guān)系如圖2所示的曲線。

這個實驗結(jié)果驗證了波爾提出的原子里面電子能級量子化的說法，曲線中峰值加速電壓的差值就是第一激發(fā)電位。

圖2 曲線

2 基于LabVIEW的弗蘭克赫茲實驗儀設(shè)計

系統(tǒng)仿真實際實驗儀器的功能與效果，前面板提供檢流計精度調(diào)節(jié)、輸入?yún)?shù)調(diào)節(jié)、工作方式選擇等，此外還拓展了數(shù)據(jù)記錄與圖形繪制功能，可在實驗完成后繪制曲線。

2.1 系統(tǒng)前面板設(shè)計效果及功能介紹

參照學(xué)校當(dāng)前實驗教學(xué)中使用的弗蘭克赫茲實驗儀如圖3所示。

圖3 FH-2型弗蘭克赫茲實驗儀面板圖

基于LabVIEW設(shè)計了虛擬實驗儀器的面板與各項參數(shù)。效果如圖4所示。

圖4 LabVIEW實現(xiàn)的弗蘭克赫茲實驗儀前面板

弗蘭克赫茲實驗儀由前面板和作圖部分組成。前面板左側(cè)提供電路連線、外接其他儀器等功能，可配合其他虛擬儀器使用，如基于LabVIEW設(shè)計的示波器等[2]；中間為電流顯示部分，用來體現(xiàn)到達(dá)陽極的電流。儀表下方有1 uA、10 uA、100 uA、1 mA四個檔位可供選擇；右側(cè)為電壓顯示，在儀表下方有燈絲電壓、UG1K、UG2A、UG2K四個按鈕，選定對應(yīng)按鈕，可通過下方的左右按鍵更改位權(quán)，再通過上下按鍵調(diào)節(jié)對應(yīng)位權(quán)上數(shù)值的大小。當(dāng)燈絲電壓、UG1K、UG2A的調(diào)節(jié)為實驗所需參數(shù)時，將UG2K、的值從0開始調(diào)節(jié)，逐步增大，便可以在電流顯示部分觀察到陽極電流變化。

圖5 LabVIEW實現(xiàn)的實驗儀輔助作圖部分

當(dāng)試驗數(shù)據(jù)大于100組時，點擊輔助作圖部分的繪圖按鍵，即可基于剛才測量記錄的數(shù)據(jù)繪制出IA～UG2K曲線。該部分還可以根據(jù)需要調(diào)節(jié)坐標(biāo)軸范圍，以便更好地觀察與研究數(shù)據(jù)特征。

2.2 程序框圖與參數(shù)設(shè)置

2.2.1 基礎(chǔ)儀器儀表的程序框圖

電流表的設(shè)計僅涉及精度調(diào)節(jié)，根據(jù)數(shù)據(jù)的倍乘可以達(dá)到效果；電壓表顯示采用LabVIEW中的選項卡控件，即燈絲電壓、UG1K、UG2A、UG2K四個參數(shù)通過按鍵選取，每個參數(shù)對應(yīng)的數(shù)據(jù)均有對應(yīng)的顯示控件，然后通過選項卡匯總，調(diào)整大小后隱去標(biāo)簽，可實現(xiàn)一個區(qū)域顯示四種不同參數(shù)對應(yīng)數(shù)值的效果；電壓表下方的上下左右按鍵可以改變選取參數(shù)的值。針對每一個參數(shù)的大小調(diào)節(jié)采用嵌套式條件判斷框來處理，權(quán)值的選取采用LabVIEW的事件結(jié)構(gòu)來處理，以左鍵增大調(diào)整位權(quán)的程序框圖為例，如圖6所示。此部分整體的程序框圖可以用子VI簡化設(shè)計，為了便于理解，采用直觀表述，程序框圖7所示：

圖6 事件結(jié)構(gòu)處理按鍵選擇

圖7 基礎(chǔ)儀器儀表的程序框圖

2.2.2 陰極發(fā)射電流的計算

自變量有燈絲電壓、UG1K、UG2A、UG2K四個參數(shù)，輸出的因變量為陽極電流。首先燈絲電壓作用于陰極，將鎢絲加熱。然后鎢絲發(fā)射電子，從而產(chǎn)生陰極發(fā)射電流[10，11]。

金屬熱電子發(fā)射的飽和電流密度公式由Richardson于1912年推導(dǎo)如下，即單位面積所發(fā)射的電流與陰極溫度遵從：

其中：J為(零場)飽和電流密度(A/cm2)；a為電子發(fā)射常數(shù)的理論值120.4 (A/cm2)；T為金屬工作溫度(K)；ω0為金屬逸出功(eV)； k為玻爾茲曼常數(shù)1.380 649×10exp(23)(J/K)。

通過電流、實驗中燈絲電壓的表面積與體積參數(shù)可計算得到射入弗蘭克赫茲管內(nèi)的電子數(shù)[12]。這為下文統(tǒng)計分析管內(nèi)的電子運(yùn)動及碰撞情況做數(shù)據(jù)鋪墊。

2.2.3 弗蘭克赫茲管的數(shù)學(xué)模型與程序框圖

采取分段式的分析方法描繪弗蘭克赫茲管內(nèi)電子的運(yùn)動及碰撞情況，由于電子碰撞過程發(fā)生第一柵極與第二柵極之間，因此以該部分的分析為例，說明如下：

圖8 弗蘭克赫茲管模型假設(shè)

根據(jù)充入一定氣壓的氬氣的弗蘭克赫茲管的電子的平均自由程[13]，將整個假設(shè)長度為30mm的弗蘭克赫茲管均分成10 000個單位，記為100ε。整個數(shù)學(xué)模型過程類似蒙特卡洛模擬，對每個射入的電子情況進(jìn)行概率上的分析。

電子具有初始動能E=eUG1K。當(dāng)有1個電子射入后，電子每次前進(jìn)單位1ε速度與能量也會相應(yīng)發(fā)生變化E=e(UG1K+εU0)。其中，U0=UG2K-UG1K。由于氬原子在管內(nèi)分布均勻，故在每一個單位內(nèi)，都會有概率P發(fā)生碰撞導(dǎo)致?lián)p耗能量。在一個電子走完這10 000個單位后，計算最后的能量，判斷是否大于極板電流產(chǎn)生的閾值eUG2A，若大于閾值，則該電子計入數(shù)量的統(tǒng)計。然后下一個電子再重復(fù)該過程。最后達(dá)到預(yù)設(shè)的電子數(shù)量后，統(tǒng)計到達(dá)陽極板的電子數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行電流換算。將此過程用LabVIEW程序描述如圖9：

圖9 弗蘭克赫茲管模塊程序框圖

程序通過兩層while循環(huán)嵌套，外部循環(huán)控制發(fā)射的電子數(shù)目，如循環(huán)n次，即模擬了n粒電子的運(yùn)動情況。內(nèi)部循環(huán)控制弗蘭克赫茲管的長度ε，每次遞增1表示電子前進(jìn)單位1ε。循環(huán)中采用平鋪式順序結(jié)構(gòu)，用來完成電子能量的增加與衰減、電子能否達(dá)到極板的閾值判斷。

從理論上分析，此方法最契合實際模型，并且具有高仿真、高還原的優(yōu)點，但是也存在缺點。下圖10為10 000個電子在燈絲電壓、UG1K、UG2A分別為2.3V、1.5V、9.0V時的實驗結(jié)果：

圖10 實驗數(shù)據(jù)繪制結(jié)果

圖10中曲線在大致走向上已經(jīng)接近實際曲線，但是曲線不夠光滑，與實測曲線相比前幾個峰值過于尖銳。因為在蒙特卡洛算法中模型過于簡化，未考慮原子碰撞過程中散射的方向、實際第一激發(fā)態(tài)是多個能級的平均效應(yīng)等因素，這些問題我們另文進(jìn)行了研究和計算。

當(dāng)管內(nèi)模型分段數(shù)ε越大，電子數(shù)n越多時，通過調(diào)節(jié)碰撞概率P的值，總能得到接近實際的實驗結(jié)果。但隨著電子數(shù)目的增多，LabVIEW程序運(yùn)行時間也會有所增加，為了達(dá)到更高的精度，可以通過調(diào)用Matlab程度實現(xiàn)運(yùn)算[14]，快速返回實驗結(jié)果，操作步驟如下：

(1)用Matlab語言編寫程序，并通過Matlab的coder功能將代碼封裝成DLL文件以便調(diào)用。

(2)在LabVIEW中調(diào)用“庫函數(shù)節(jié)點”，在屬性中添加上一步的DLL路徑。

(3)參數(shù)輸入設(shè)置為UG2K的大小，參數(shù)返回存儲在新的數(shù)組中。

(4)將數(shù)組與UG2K的值對應(yīng)輸出，即可實現(xiàn)整個過程。

圖10的結(jié)果采用的蒙特卡洛算法計算量較大，當(dāng)電子數(shù)取到10 000時，整個計算耗時達(dá)30min，這顯然不適用于以教學(xué)為目的的初衷，因此提供了另一種方法來解決以上問題。

2.2.4 另一種實現(xiàn)仿真的方法與程序框圖

基于實驗中燈絲電壓、第一柵極加速電壓和反向拒斥電壓是對實驗結(jié)果的影響[15-17]。選取了8組不同的上述三個實驗參量的典型實驗結(jié)果錄入程序的數(shù)據(jù)庫，在進(jìn)行虛擬仿真時，根據(jù)操作者選取的實驗參數(shù)，調(diào)用數(shù)據(jù)庫中已有的數(shù)據(jù)。

若操作者輸入的實驗參數(shù)在數(shù)據(jù)庫中沒有對應(yīng)數(shù)據(jù)，將選取在輸入?yún)?shù)周邊的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)平均，然后輸出。以其中一組實驗數(shù)據(jù)為例，程序框圖設(shè)計思路如圖11所示。

該方法不需要程序的調(diào)用與實時的蒙特卡洛模擬，卻能夠得到最真實準(zhǔn)確的實驗數(shù)據(jù)，如圖13所示。通過數(shù)據(jù)庫的不斷完善，可以簡便準(zhǔn)確的得出輸出結(jié)果，達(dá)到虛擬仿真的效果與目的。

圖11 基于已有數(shù)據(jù)繪制圖像

圖12 虛擬儀器操作效果

圖13 虛擬儀器實驗數(shù)據(jù)繪制結(jié)果

3 程序操作及實驗結(jié)果

程序啟動時，電流表電壓表示數(shù)均歸零；選擇工作方式為“手動”；

根據(jù)實驗所需設(shè)置燈絲電壓、UG1K、UG2A的數(shù)值，如本次實驗設(shè)置的數(shù)值分別為：2.3V、1.5V、9.0V；

電流檔位調(diào)至10-7A；選擇UG2K，按向上的增加按鈕(每次增加0.5V)，記錄電流值，直至觀察到電流的六個峰值；

點擊程序右側(cè)的繪圖按鈕，可得到I-UG2K曲線。

4 結(jié) 語

通過了蒙特卡洛方法數(shù)值模擬弗蘭克赫茲實驗，并以基于LabVIEW的虛擬儀器呈現(xiàn)，由于計算量巨大，實時的虛擬仿真難以實現(xiàn)，因此通過存儲調(diào)用典型數(shù)據(jù)的方式實現(xiàn)了虛擬仿真弗蘭克赫茲實驗的過程。另外基于LabVIEW的弗蘭克赫茲實驗儀還提供了數(shù)據(jù)記錄與圖形繪制的功能，增加了實際操作的便攜性。這為實現(xiàn)物理實驗的線上教學(xué)提供了新途徑。