董雨萱，余家輝，葉曉陽，鄭曉秋，李炳偉

(杭州師范大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 杭州 311121 )

自然和社會系統(tǒng)是一類典型的非線性復(fù)雜系統(tǒng)，有著豐富的動力學(xué)行為。 最近幾十年來，非線性動力學(xué)及相關(guān)概念已經(jīng)潛移默化地融入到生活中的各個方面，如螢火蟲同步、天氣預(yù)報、金融市場中的股市等[1]。 因此，研究非線性系統(tǒng)的各種動力學(xué)行為對于認(rèn)識自然和社會具有重要作用。 力學(xué)系統(tǒng)中有許多經(jīng)典的非線性系統(tǒng)，如彈簧擺(又叫彈性擺，見圖1左)，雖然其結(jié)構(gòu)簡單，但其動力學(xué)非常豐富，除了周期運動，還有準(zhǔn)周期、混沌以及內(nèi)共振等現(xiàn)象，是理論和實驗研究非線性動力學(xué)的常用模型。 此外，彈簧擺在實際工程中也有重要而廣泛的應(yīng)用。

圖1 彈簧擺模型示意圖(左)和實驗裝置圖(右)

目前大部分學(xué)者運用理論和數(shù)值計算的方法探討了彈簧擺的運動。 例如，楊正波[2]、管慧[3]等人從理論上研究了在不同參數(shù)控制下受穩(wěn)定約束彈簧擺的運動行為；張義靈等人從數(shù)值上探討了彈簧擺內(nèi)共振和混沌現(xiàn)象[4]。 不同于單擺，彈簧擺動力學(xué)相當(dāng)復(fù)雜，在實驗上如何記錄數(shù)據(jù)是一個很大的挑戰(zhàn)。因此，從實驗角度對彈簧擺的動力學(xué)行為的研究很少。 隨著科技進(jìn)步和社會發(fā)展，特別是智能手機(jī)的普及使得記錄物體的運動變得極其簡單。 結(jié)合相關(guān)軟件的發(fā)展，使得人們能夠識別并分析物體的長時間運動。 近些年來，越來越多的圖像識別軟件或程序成為物理實驗室中流行的一種分析工具[5-11]。 例如，王昭等人使用Tracker軟件進(jìn)行目標(biāo)物的追蹤和分析，實驗上對有擺線彈簧擺動力學(xué)進(jìn)行研究[5]；黃膺達(dá)借助OpenCV庫函數(shù)識別視頻中的單擺，得到了單擺的周期和重力加速度[8]；閆彩霞利用Tracker軟件分析兩個小車在彈性碰撞和完全非彈性碰撞過程中系統(tǒng)動量隨時間的變化情況[9]。 此外，Loo Kang Wee通過研究發(fā)現(xiàn)，與被動的、非互動的傳統(tǒng)物理課程相比，運用視頻分析技術(shù)和圖像識別技術(shù)能幫助學(xué)生更好地理解運動背后的物理原理并擴(kuò)大課程的教育影響[10]。

基于上述背景，在實驗上通過智能手機(jī)記錄彈簧擺運動的視頻，然后基于Matlab圖像識別技術(shù)探討了在不同實驗條件下的彈簧擺的動力學(xué)行為。 利用功率譜和最大李雅普諾夫指數(shù)對動力學(xué)行為進(jìn)行分析和定量刻畫。

1 實驗裝置

彈簧擺由勁度系數(shù)為k，原長為l0的輕質(zhì)彈簧和質(zhì)量為m，直徑為d的小球構(gòu)成。 為便于實現(xiàn)對擺球的識別，實驗上小球表面涂抹藍(lán)色顏料。 彈簧擺一端懸掛于鐵架臺O點，智能手機(jī)攝像頭對準(zhǔn)目標(biāo)物，進(jìn)行連續(xù)曝光或拍攝視頻，見圖1。 期間保證拍攝平面與小球運動平面平行，且不考慮彈簧扭轉(zhuǎn)變形等。

2 動力學(xué)方程

根據(jù)圖1(左)所建立的坐標(biāo)系，在任意時刻，系統(tǒng)的動能T為[2]

(1)

其中，m為小球質(zhì)量。以O(shè)點為重力勢能零點，彈簧自由伸長時為彈性勢能零點，系統(tǒng)的勢能為

(2)

在(2)式中，l=l0+d/2，則拉格朗日函數(shù)為

(3)

將此物理系統(tǒng)的運動以拉格朗日運動方程表示為

(4)

(5)

(6)

在極坐標(biāo)系下表示為，

(7)

(8)

3 實驗操作和影像分析

實驗中使用的智能手機(jī)為HONOR9X，其相機(jī)型號為索尼IMX582。 曝光時間和視頻幀率分別為1/500s和30fps。 為了平衡信息的準(zhǔn)確性和計算成本，實驗選擇的像素窗口大小為1 280×720。

首先，打開相機(jī)水平儀，調(diào)節(jié)相機(jī)位置使得屏幕中的橫向和豎向參考線分別與圖1所示坐標(biāo)系的x軸和y軸平行。 調(diào)試完畢后錄制物體運動視頻，得到一系列包含物體運動信息的連續(xù)圖像，如圖2所示。

圖2 彈簧擺連續(xù)曝光圖像(部分)

接著，將連續(xù)圖像導(dǎo)入Matlab軟件對運動物體進(jìn)行自動跟蹤識別。 數(shù)字圖像在Matlab中一般表達(dá)為3D實數(shù)矩陣。 每一像素點擁有特定的矩陣行列坐標(biāo)(x,y)及該點的值f(x,y)[12]。 像素坐標(biāo)可用于確定相對位置和測量像素間距。 灰度值表達(dá)圖像信息，是進(jìn)行圖像操作的依據(jù)。 由于本實驗中目標(biāo)物與背景在圖像中占據(jù)不同的灰度范圍，因此采用的是以閾值分割為主的圖像識別技術(shù)，識別后小球的運動軌跡如圖3所示(部分)。

圖3 識別后的小球運動軌跡(部分)

最后，將識別得到的像素坐標(biāo)(x′,y′)按一定的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換為不易直接測量得到的空間位置坐標(biāo)(x,y)，比如某直徑為3.000cm的擺球在圖像中測得的直徑為117像素。 由此可知，物體在圖像中經(jīng)過一像素的距離相當(dāng)于在實際空間中運動的距離約為0.026cm。 根據(jù)上述轉(zhuǎn)換關(guān)系，圖4顯示了擺球在實際空間中的位置坐標(biāo)。 上述實驗操作體現(xiàn)了轉(zhuǎn)換測量法的思想，這使得在實驗室中研究非線性系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)行為成為可能。

3 結(jié)果及分析

通過上述實驗操作和影像分析，參數(shù)為k=4.50N/m，m=30.00g，l=6.80cm的彈簧擺由θ0=28.6°靜止釋放后，其運動軌跡如圖5所示。 設(shè)彈簧擺徑向和橫向的固有頻率分別為ωs和ωp，兩者之比記為λ，有，

(9)

研究發(fā)現(xiàn)，彈簧擺的運動可以分解成徑向彈簧模態(tài)的振動和橫向單擺模態(tài)的擺動。

圖4 位置坐標(biāo)散點圖(部分)

圖5 實際運動軌跡

圖7和圖8分別表示λ=1.43和λ=1.77兩種條件下彈簧擺在實際運動過程中的徑向、橫向時序圖和相圖。 從圖中可以看到，徑向運動要比橫向運動更加復(fù)雜與不規(guī)則。

(a)橫向時序圖

(a)橫向時序圖

為了更好的分析它們的動力學(xué)性質(zhì)，引入在非線性時間序列分析中重要的兩個工具[13]：功率譜和最大李雅普諾夫指數(shù)。 功率譜是研究時間序列的常用工具，常用于辨別時間序列是周期還是非周期的，基于信號的傅里葉變換得到。 對于一個周期的時間序列或信號，其功率譜呈現(xiàn)在基頻單峰或諧頻多峰；而對于非周期信號，其功率譜會出現(xiàn)一定的寬度。 最大李雅普諾夫指數(shù)這是度量軌道的發(fā)散程度，最大李雅普諾夫指數(shù)為正的，其行為意味著混沌性質(zhì)；零則與周期運動相聯(lián)系。 在數(shù)值計算中，利用Matlab中的內(nèi)部指令FFT來計算實驗上所獲得的時間序列的功率譜；而對于離散時間序列的李雅普諾夫指數(shù)，采用Wolf算法[14]。在圖9和圖10中分別給出了λ=1.43和λ=1.77這兩種情況下，橫向和徑向的功率譜以及李雅普諾夫指數(shù)隨時間的演化。

(a) 橫向功率譜圖

(a) 橫向功率譜圖

對于λ=1.43的情況下，對于橫向運動發(fā)現(xiàn)其功率譜是個典型單峰，說明其運動具有周期性而且近似簡諧運動；對于徑向，功率譜出現(xiàn)雙峰，說明是二周期的行為。 對于該參數(shù)，響應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)非常接近零，說明系統(tǒng)在橫向和徑向的運動都是非混沌的。

接下來，對于λ=1.77的情況下，對于橫向，與前面的情況類似，功率譜呈現(xiàn)單峰，其時間序列相對應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)幾乎為零，說明做良好的周期運動，而且是簡諧的；但對于徑向，其功率譜呈現(xiàn)一定的寬度，具有非周期的行為特征。 進(jìn)一步根據(jù)李雅普諾夫指數(shù)，其值略大于零(約為0.45)，因而具有弱混沌的性質(zhì)。 綜合時序圖、相圖、功率譜圖和李雅普諾夫指數(shù)圖的結(jié)果可知：在實驗環(huán)境下，λ=1.43和λ=1.77的彈簧擺在橫向做周期運動，對于徑向的運動，前者參數(shù)下做二周期的運動，后者參數(shù)下則顯示弱混沌的行為。

5 結(jié) 語

基于Matlab圖像識別技術(shù)實驗研究了的兩種參數(shù)下的彈簧擺的運動，并利用功率譜和最大李雅普諾夫指數(shù)對實驗上獲得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和刻畫。我們的研究表明，在兩種不同的參數(shù)下，橫向運動呈現(xiàn)出典型的周期運動，但在徑向運動中略有不同。對于λ=1.43的參數(shù)下，徑向仍然保持周期運動，但略微偏離簡諧振動，相應(yīng)的功率譜出現(xiàn)雙峰而李雅普諾夫指數(shù)非常接近于零；對于λ=1.77的情況，徑向運動的功率譜呈現(xiàn)出一定的寬度分布，其相應(yīng)的最大李雅普諾夫指數(shù)略大于零，說明具有一定的混沌性質(zhì)。

隨著電腦和智能手機(jī)在學(xué)生中普及，學(xué)生們獲得圖像和視頻等數(shù)據(jù)變得越來越簡單。 利用這些工具，可以分析和完成以前難以完成的實驗數(shù)據(jù)的采集和分析。 筆者認(rèn)為，利用計算機(jī)分析已有的實驗數(shù)據(jù)將是未來大學(xué)物理實驗的一個重要的方向，是物理系及相應(yīng)的專業(yè)學(xué)生所應(yīng)該具有的基本技能。從這個角度上講，本文提供了數(shù)字化大學(xué)物理實驗的一個很好的范例。