張忠東

(內(nèi)蒙古興安職業(yè)技術(shù)學(xué)院，內(nèi)蒙古 烏蘭浩特 137400)

在一般的電磁教材中，討論了無限大的帶電導(dǎo)體平板間、兩導(dǎo)體球間、兩導(dǎo)體圓筒間的電場問題。文獻(xiàn)[1-3]利用保角變換和電像法、橢圓柱面坐標(biāo)、解析函數(shù)法討論了無限非同軸圓筒、無限長共焦橢圓柱面間的電場問題；文獻(xiàn)[4]用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬了帶電橢球體等勢線和電場線的空間分布。本文利用解析函數(shù)的性質(zhì)，推導(dǎo)電勢與電場強(qiáng)度的分布函數(shù)，通過滿足拉普拉斯方程的電勢函數(shù)，得到等勢線和電場線方程，并利用Matlab繪出電場線和等勢線分布圖。

1 無限長雙曲面及共焦等勢線方程

兩個(gè)無限長帶電雙曲柱面導(dǎo)體，垂直于z軸平面與雙曲柱面相截,得的是雙曲線M和N，由于無限長帶電雙曲柱面導(dǎo)體在空間產(chǎn)生的電場分布與z軸方向無關(guān)，可作為平面場問題進(jìn)行分析，取其橫截面，建立圖1所示坐標(biāo)系。

圖1 帶電雙曲柱面截面圖

圖1中帶電雙曲柱面導(dǎo)體截面雙曲線方程為：

(1)

兩支分別為：x>0為M支曲線，x<0為N支曲線，焦距c2=a2+b2。由電場的分布特點(diǎn)可知，其等勢線與上述帶電雙曲柱面共焦，共焦方程可表示為：

(2)

式中cos2ξ、sin2ξ取不同的數(shù)值，可得到不同的共焦雙曲線。由方程(2)解得：

(3)

(4)

(5)

2 電勢分布函數(shù)及等勢線方程

如果將電勢分布函數(shù)看作是某解析函數(shù)f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)的實(shí)部u(x,y)，則函數(shù)u(x,y)一定是調(diào)和函數(shù)，令電勢分布函數(shù)u(x,y)等于任意常數(shù)，就可得到等勢線方程。

(6)

由(6)式得：

(7)

由(2)、(4)、(5)、(7)得

(8)

(8)式積分得

(9)

(9)式積分得

G(sin2ξ)=K1arcsin[2sin2ξ-1]+K2

(10)

由(3)、(10)得

(11)

即帶電雙曲柱面導(dǎo)體間電勢分布函數(shù)為：

(12)

由邊界條件確定K1、K2兩個(gè)常數(shù)：設(shè)導(dǎo)體面M上的電勢為u1，導(dǎo)體面N上的電勢為u2，且u1>u2。由于M導(dǎo)體面是等勢面，在M上取x=a、y=0點(diǎn)，其電勢為u1。

(13)

由于N導(dǎo)體面是等勢面，在N上取x=-a、y=0點(diǎn)，其電勢為u2。

(14)

(15)

(16)

式(16)為雙曲柱面導(dǎo)體間電場的等勢線方程，通過取不同的A值可得到等勢線為共焦雙曲線族。

3 電場強(qiáng)度分布函數(shù)及電場線方程

由E=-?u，可得到雙曲柱面導(dǎo)體間電場強(qiáng)度的分布：

(17)

(18)

根據(jù)解析函數(shù)的實(shí)部函數(shù)與虛部函數(shù)對應(yīng)的曲線族在空間處處正交的性質(zhì)，若將u(x,y)作為解析函數(shù)的實(shí)部，通過上述構(gòu)造的解析函數(shù)f(x,y)求其虛部v(x,y)，即可得到電場線方程。

(19)

令式(19)中的v(x,y)等于任意常數(shù)，即

(20)

圖2 等勢線與電場線分布

式(20)為雙曲柱面導(dǎo)體間的電場線方程，通過取不同的B值可得到電場線為共焦橢圓曲線族。在式(16)、(20)中，常數(shù)A、B取不同數(shù)值，利用Matlab軟件，繪出了等勢線和電場線圖線(見圖2)。

4 結(jié) 語

本文利用解析函數(shù)求出了直角坐標(biāo)表示的雙曲柱面導(dǎo)體間的電勢和電場強(qiáng)度分布函數(shù)，得到了等勢線和電場線方程。根據(jù)等勢線、電場線方程，利用Matlab軟件，繪出了等勢線和電場線圖線，驗(yàn)證了它們?yōu)楣步沟碾p曲線族和橢圓族，在教學(xué)上具有一定的理論意義和實(shí)用價(jià)值。