鄭世磊，初 琦，苗永平*

(1.山東科技大學(xué) 電信學(xué)院，山東 青島 266590；2.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

粘滯系數(shù)又稱為內(nèi)摩擦系數(shù)或粘度，是描述液體內(nèi)摩擦力性質(zhì)的一個(gè)重要物理量。測定液體的粘滯系數(shù),是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程教學(xué)常選的一個(gè)基本實(shí)驗(yàn)。目前測量液體粘滯系數(shù)的方法有以下幾種：毛細(xì)管法[1]、奧氏粘度計(jì)法[2]、落球法[3]、轉(zhuǎn)筒法[4]、升球法[5]，以及其他的測量方法[6-8]，其中落球法和升球法是最基本的兩種方法。

落球法測量粘滯系數(shù)，其核心思路是將小球置于盛有液體的容器中心軸線位置并使小球自由下落，當(dāng)小球接近液體底部時(shí)，利用計(jì)時(shí)裝置測出小球經(jīng)過固定距離的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而得到收尾速度[9]，最終通過斯托克斯公式計(jì)算出液體的粘滯系數(shù)。該方法雖然原理簡單，操作方便且抗干擾能力強(qiáng)，但也存在不足，例如實(shí)驗(yàn)所用小球在投入液體后，不便從液體中取出。

升球法測量粘滯系數(shù)，其核心思路是將小球和重物用細(xì)繩連接，利用重物使小球上升并逐漸達(dá)到勻速，之后測量出勻速過程中重物通過固定距離所需的時(shí)間，得到收尾速度[5]，從而計(jì)算出液體的粘滯系數(shù)。利用升球法測量粘滯系數(shù)，在光電計(jì)時(shí)器的配合下，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)小球勻速上升，還可以有效提高時(shí)間測量精度。

本文綜合考慮上述兩種方法的實(shí)驗(yàn)原理和特點(diǎn)，提出一種新的實(shí)驗(yàn)方法——浮球法，用于測量液體的粘滯系數(shù)，并研制了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)裝置。浮球法核心原理為通過使用特制的小球，使小球在液體中受到的浮力大于自身重力，從而使小球可以在液體中上浮，并最終達(dá)到勻速。本方法中使小球上浮的力是浮力而不是繩子的拉力，從而消除了細(xì)繩對實(shí)驗(yàn)的影響。在上浮過程中，小球運(yùn)動(dòng)較慢，上浮時(shí)間較長，更利于觀測小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并測量上浮時(shí)間。

1 實(shí)驗(yàn)原理

根據(jù)斯托克斯公式，若小球尺寸較小且表面光滑，其在各向均勻且相對寬闊的液體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果小球運(yùn)動(dòng)速度較小，不足以在液體中引起渦流時(shí)，則小球在液體中受到的粘滯阻力滿足下式[10]：

fη=6πηrv

(1)

式中η為液體粘滯系數(shù)，v為小球運(yùn)動(dòng)速度，r為小球半徑。

為了實(shí)現(xiàn)小球自由上浮，提出了空心球殼包裹磁性小球的組合球方案，通過磁鐵對組合球的吸引力實(shí)現(xiàn)對小球的控制。

初始狀態(tài)，組合球在浮力的作用下漂浮在液體上表面；用磁鐵在容器外側(cè)吸引組合球至容器底部后移開磁鐵，則組合球開始在浮力作用下上浮，此時(shí)組合球受力分析如圖1所示。

圖1 組合球的受力分析圖

移開磁鐵的一瞬間，組合球速度為0,滯阻力為0。此時(shí)由于組合球所受浮力大于重力，故組合球開始緩慢上升，并受到粘滯阻力影響，以豎直向上為正方向，此時(shí)組合球受力滿足如下關(guān)系：

ma=ρgV-mg-fη

(2)

式中，m為組合球的質(zhì)量，a為組合球加速度，ρ為蓖麻油密度，g為重力加速度，V為組合球體積，fη為組合球受到的粘滯阻力。

(3)

圖2 組合球的v-t圖像

由圖2可知，組合球?qū)?huì)在極短的時(shí)間內(nèi)進(jìn)入勻速運(yùn)動(dòng)階段，此時(shí)組合球的加速度a為0。在容器頂端標(biāo)記長度為10 cm的計(jì)時(shí)區(qū)間，當(dāng)組合球經(jīng)過時(shí)記錄其通過時(shí)間t。通過式(1),(2)計(jì)算可得

(4)

但實(shí)際情況下，液體盛在深廣程度有限的容器中，因此實(shí)際測得的速度v0與收尾速度v之間具有如下的關(guān)系

(5)

式中R*為容器內(nèi)徑，h為液面高度。

由式(4)、(5)可得

(6)

斯托克斯公式適用于無渦流產(chǎn)生的理想實(shí)驗(yàn)情況，但在實(shí)際測量時(shí)無法達(dá)到這種理想狀態(tài)，所以需要引入雷諾系數(shù)Re[11]。

(7)

2 實(shí)驗(yàn)裝置與設(shè)計(jì)

2.1 裝置的組成與各部分功能

本實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)器件有量筒、磁性小球、強(qiáng)磁鐵、底座、空心半球殼、蓖麻油、秒表、膠水。實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示。

圖3 升球法實(shí)驗(yàn)裝置

底座的作用是支撐量筒，確保吸引小球至底部時(shí)能夠使小球在底部的正中央。磁性小球的作用是使組合球帶有磁性，便于使用強(qiáng)磁鐵將組合球吸引至量筒底部進(jìn)行重復(fù)實(shí)驗(yàn)。強(qiáng)磁鐵的作用是將組合球吸引至量筒底部，保證實(shí)驗(yàn)的可重復(fù)性。本實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵在于組合球的磁吸設(shè)計(jì)和制作，下面將分別論述其設(shè)計(jì)方案。

2.2 磁吸設(shè)計(jì)

本實(shí)驗(yàn)需要組合球能夠到達(dá)量筒底部，同時(shí)要保證組合球的浮力大于重力，因此本實(shí)驗(yàn)使用在空心球殼中加入磁性小球的方法使組合球具有磁性，從而能使用強(qiáng)磁鐵在量筒外側(cè)吸引組合球回到量筒底部，使實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛑貜?fù)進(jìn)行。組合球被吸引到量筒底部時(shí)如圖4所示。

圖4 磁吸設(shè)計(jì)示意圖

此時(shí)組合球受力分析如圖5所示。

圖5 組合球受力分析圖

此時(shí),f吸+mg>ρgv排,組合球受到向下的力大于浮力，組合球被緊緊吸附在量筒底部。事實(shí)上，組合球所受的浮力和重力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于組合球所受的磁力，因此組合球在強(qiáng)磁鐵的作用下，總能達(dá)到量筒底部。

2.3 組合球的制作

為了確保組合球所受的浮力大于重力，實(shí)驗(yàn)中所使用的組合球的設(shè)計(jì)與制作至關(guān)重要。

組合球的剖面圖如圖6所示：

為保證得到的組合球能夠在蓖麻油中上浮，組合球仍需滿足部分條件。當(dāng)組合球在蓖麻油中處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，以豎直向上為正方向，此時(shí)小球受力如下：

圖6 小球剖面圖

ma=ρgv排-G

(8)

式中，G為組合球所受的重力(空氣質(zhì)量忽略不計(jì))，ρ為蓖麻油密度，g為重力加速度，v排為排開液體的體積。

易知：

(9)

G=ρ鐵gv鐵+ρ殼gv殼

(10)

(11)

(12)

其中，ρ鐵為磁性小球的密度，ρ殼為球殼的密度，v鐵為磁性小球的體積，v殼為外球殼部分的體積，R為球殼的外半徑，l為球殼的內(nèi)半徑，r為磁性小球的半徑。

為使小球上浮，浮力要大于重力，因而有

ρgv排>G

(13)

根據(jù)式(9)～(13)計(jì)算可得

(14)

本實(shí)驗(yàn)所用球殼外半徑為5 mm，球殼內(nèi)半徑為4 mm，球殼密度為1.215×103kg/m3，磁性小球密度為9.931×103kg/m3，蓖麻油密度為9.65×102kg/m3，由式(14)得，磁性小球的半徑r應(yīng)滿足如下條件：

r<2 mm

所以，本實(shí)驗(yàn)選用磁性小球的半徑為1.5 mm。

組合球的制作采用CAD設(shè)計(jì)出空心半球殼，然后使用3D打印技術(shù)得到符合要求的兩個(gè)空心半球殼。將磁性小球固定在空心半球殼內(nèi)，用膠水將兩個(gè)半球殼粘起來，即可得到符合實(shí)驗(yàn)要求的組合球。在小球上浮達(dá)到勻速時(shí)，球殼與磁性小球相對靜止，小球受力平衡。(膠水用量極少，對實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響很小，忽略不計(jì))

綜上，根據(jù)外球殼的材質(zhì)和所選實(shí)驗(yàn)液體密度調(diào)節(jié)磁性小球半徑大小，即可制作出符合實(shí)驗(yàn)要求的組合球。

3 實(shí)驗(yàn)方案

根據(jù)第2節(jié)內(nèi)容制作組合球并搭建實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)方案。

(1)已知室溫下蓖麻油的密度ρ，用螺旋測微器測量出組合球的直徑d。用游標(biāo)卡尺測量出量筒的內(nèi)徑R*。用刻度尺測出量筒內(nèi)液體液面高度h。用電子秤測出組合球的質(zhì)量m。

(2)把量筒放在底座上，將組合球投放在液面上，用強(qiáng)磁鐵將組合球吸引至量筒底部的正中央后(強(qiáng)磁鐵吸引至底座的凹槽內(nèi)，凹槽在底座的正中央，此時(shí)組合球也在量筒底部的正中央)，移走強(qiáng)磁鐵。

(3)由于組合球所受合力向上，所以組合球?qū)⑾蛏线\(yùn)動(dòng)。用秒表記錄組合球在上浮區(qū)間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

(4)重復(fù)步驟(3)多次，計(jì)算出組合球上浮時(shí)間的平均值。

(5)用上浮時(shí)間計(jì)算出組合球的運(yùn)動(dòng)速度，最后代入式(7)計(jì)算出蓖麻油的粘滯系數(shù)。

在開展實(shí)驗(yàn)時(shí)，需要特別注意如下事項(xiàng)：組合球制作完成后要浸水檢驗(yàn)球是否密封。用強(qiáng)磁鐵吸引組合球至量筒底部時(shí)，要注意把組合球吸引至量筒底部的正中央。

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與結(jié)果分析

4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本文經(jīng)過測量，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示

表1 小球?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)

4.2 粘滯系數(shù)計(jì)算

根據(jù)測量的數(shù)據(jù)，代入式(5)可得組合球的收尾速度v=0.006 8m/s

依次代入式(6)、(7)可得蓖麻油的粘滯系數(shù)。

η=1.05Pa·s

經(jīng)過十次測量，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖所示

圖7 理論值與測量值比較

由圖7可知，該方法測量結(jié)果較為準(zhǔn)確，實(shí)驗(yàn)可重復(fù)性高。

4.3 粘滯系數(shù)誤差

查表得此時(shí)(19.5 ℃)的蓖麻油粘滯系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)值為

η標(biāo)=1.04Pa·s。

計(jì)算可得十次實(shí)驗(yàn)的平均絕對誤差為0.005 3Pa·s，平均相對誤差為0.50%。

由數(shù)據(jù)可知，本實(shí)驗(yàn)誤差較小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可靠性高。多次實(shí)驗(yàn)表明，本方案所測得的數(shù)據(jù)是可靠的，通過本方法測量的相對誤差E<4%，因此該方法誤差在允許范圍之內(nèi)，有較高的精度。

5 結(jié) 語

本文提出了一種測量液體粘滯系數(shù)的新方法，并通過設(shè)計(jì)裝置實(shí)現(xiàn)了該方法的測量。與傳統(tǒng)方法相比，上浮法有以下幾點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：

(1)實(shí)驗(yàn)裝置簡單，儀器成本較低，實(shí)驗(yàn)后方便回收清理。

(2)實(shí)驗(yàn)原理清晰易懂，實(shí)驗(yàn)步驟簡潔明了。

(3)實(shí)驗(yàn)可重復(fù)性高。

(4)本方法操作簡單，有利于學(xué)生理解和實(shí)驗(yàn)室推廣。

(5)組合球的制作可以考慮從材料入手，直接制作空心磁性球殼，簡化實(shí)驗(yàn)流程。