劉 涵，李詠璇，區(qū)藝鋒，顏秉琪，蘇琪淇，彭 力,2

(1.華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006;2.華南師大(清遠(yuǎn))科技創(chuàng)新研究院有限公司，廣東 清遠(yuǎn)511517)

虹與霓是大氣中常見的自然現(xiàn)象，可以在實(shí)驗(yàn)室搭建裝置，實(shí)現(xiàn)彩虹現(xiàn)象的再現(xiàn)與展示[1]，探究彩虹的偏振特性[2]. 也有文獻(xiàn)報(bào)道液柱彩虹系統(tǒng)[3]、全場彩虹技術(shù)反演算法[4]等. 但目前關(guān)于3級(jí)以上彩虹的研究相對(duì)較少，對(duì)高階彩虹現(xiàn)象的研究多采用單色激光進(jìn)行演示[5]，而缺少對(duì)高階虹的最小偏向角、色散規(guī)律等物理特性的研究. 高階虹形成的本質(zhì)為光的散射強(qiáng)度在特定角度達(dá)到極大值的現(xiàn)象，光線在最小偏向角附近聚集才形成了虹. 因此，最小偏向角是研究高階虹的重要特性參量.

本文從高階虹形成的原理出發(fā)，搭建了基于環(huán)形光屏的高階彩虹觀測裝置，通過讀取裝置光屏上的角坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)最小偏向角的精確測定. 采用不同波長的激光入射，進(jìn)一步探究了高階虹的色散規(guī)律. 本設(shè)計(jì)獲得2021年第7屆全國大學(xué)生物理實(shí)驗(yàn)競賽一等獎(jiǎng).

1 虹、霓及高階虹的形成原理

虹與霓形成的光路圖如圖1所示. 在球形液滴中發(fā)生2次折射、1次反射后的光線會(huì)聚形成了虹，發(fā)生2次折射、2次反射后的光線會(huì)聚形成了霓.

(a)虹

出射光線與入射光線的夾角即為偏向角θ.并非所有入射球形液滴的光線出射后都能形成虹，而是存在特定的最小偏向角θ0，光線在該角附近聚集即形成了虹[6].由幾何關(guān)系及斯涅耳定律，可導(dǎo)出虹的最小偏向角為

(1)

其中，n0為空氣的折射率，n為液滴的折射率.與最小偏向角θ0對(duì)應(yīng)，光線入射角存在極值i0.當(dāng)入射角i在i0附近變化時(shí)，θ隨i變化緩慢，宏觀上表現(xiàn)為光線聚集于θ0處，即光強(qiáng)在最小偏向角附近為極大值.

當(dāng)入射角i從0到90°變化時(shí)，偏向角θ先減小然后增大，宏觀上表現(xiàn)為出射光斑先向某方向緩慢移動(dòng)，當(dāng)i>i0時(shí)，出射光斑朝反方向移動(dòng)，這是虹與霓在最小偏向角θ0附近出現(xiàn)的特殊現(xiàn)象[7].

以上討論均基于單色光，若產(chǎn)生彩色的虹必須使用白光入射.根據(jù)光的色散，介質(zhì)對(duì)不同波長光的折射率不同，因此不同波長光將有不同的最小偏向角θ0[8]，如圖2所示.不同波長光的極值點(diǎn)彼此錯(cuò)開形成彩色的虹光帶[9].

圖2 虹的色散規(guī)律

光在介質(zhì)中經(jīng)過多次反射、折射不僅能形成二階虹(霓)，還能形成高階虹(圖3).若光束在介質(zhì)中經(jīng)歷了K次反射，則定義該光束形成的虹為K階虹[10].由幾何關(guān)系可得偏向角θ與入射角i、折射角r的關(guān)系為

θ=2(i-r)+K(π-2r).

(2)

由斯涅耳定律及K可計(jì)算各階虹的理論位置.

圖3 高階虹形成的光路示意圖(以K=11為例)

2 裝置設(shè)計(jì)

2.1 圓球與圓柱對(duì)彩虹形狀的影響

為克服自然情境中液滴非球形、不均勻等因素對(duì)高階虹呈現(xiàn)效果的影響，選用了折射率n=1.51的玻璃介質(zhì)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，該介質(zhì)更有利于定量探究.自然界中常見的虹為半圓形或拱形，實(shí)際上，若復(fù)色光正對(duì)玻璃圓球均勻照射，將會(huì)形成圓環(huán)狀的彩虹.

圖4(a)中，使入射平面繞直徑旋轉(zhuǎn)1周，光屏上將得到圓環(huán)狀彩虹. 圖4(b)中，使入射平面上下平移，光屏上將得到條狀彩虹. 將圓球介質(zhì)替換為圓柱介質(zhì)，選定入射平面測量偏向角更加方便，所以采用玻璃圓柱作為實(shí)驗(yàn)樣品.

(a)圓球

2.2 高階虹最小偏向角的測量方法

為更好地測量最小偏向角θ0，除了替換介質(zhì)形狀以外，還設(shè)計(jì)了基于環(huán)形光屏的測量裝置，推導(dǎo)了所設(shè)計(jì)環(huán)形光屏上的角坐標(biāo)φ與待測偏向角θ之間的關(guān)系式.裝置結(jié)構(gòu)如圖5所示.

圖5 環(huán)形光屏觀測裝置結(jié)構(gòu)示意圖

設(shè)環(huán)形光屏的半徑為R，圓柱介質(zhì)的半徑為a.入射光線與圓柱橫截面直徑方向之間的距離為b.設(shè)介質(zhì)中光線出射點(diǎn)到圓心的半徑與水平方向的夾角為φ′，光屏成像點(diǎn)和圓心的連線與出射光線的夾角為ξ，光屏上成像點(diǎn)的角坐標(biāo)為φ.由幾何關(guān)系得:

θ-φ′=i+2mπ,

(3)

φ-φ′=i-ξ,

(4)

其中m為整數(shù).在折射率確定時(shí)，各階虹有唯一確定的m使得偏向角θ在0°～360°之間.

在圖5含有ξ的三角形中，由正弦定理得:

(5)

聯(lián)立式(3)～(5)，得

(6)

由式(6)可知，只需讀出各階虹在光屏上的角坐標(biāo)讀數(shù)φ，即可求得偏向角θ.

2.3 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的搭建

實(shí)驗(yàn)裝置如圖6所示，裝置主要由復(fù)色光系統(tǒng)、觀測與讀數(shù)系統(tǒng)、激光器3部分組成.在進(jìn)行高階虹觀測及最小偏向角測量實(shí)驗(yàn)時(shí)，主要用到前2部分.

1)裝置左側(cè)為復(fù)色光系統(tǒng)，調(diào)節(jié)可移動(dòng)底座使復(fù)色光經(jīng)透鏡準(zhǔn)直后變?yōu)槠叫泄?透鏡后配備了光闌可獲得不同尺寸的平行光束.底座下面安裝游標(biāo)卡尺，通過讀取底座滑動(dòng)前后的刻度，可以獲得參量b，結(jié)合柱體半徑a可得入射角i.

2)裝置右側(cè)為觀測與讀數(shù)系統(tǒng).a=40 mm的圓柱形介質(zhì)置于底部圓盤中央，確保二者中心轉(zhuǎn)軸重合. 圓盤四周是標(biāo)有0°～360°刻度的環(huán)形光屏.光屏左側(cè)的開口用以通過平行光束. 在光屏上可清晰觀測高階虹，讀出各階虹的角坐標(biāo).

圖6 觀測高階虹的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

當(dāng)進(jìn)行虹霓現(xiàn)象色散規(guī)律的探究實(shí)驗(yàn)時(shí)，將載物臺(tái)上的復(fù)色光源、透鏡和光闌取下，直接放置激光器，適當(dāng)調(diào)整激光器的方位，確保激光光路通過圓盤0°-180°水平線.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與探討

3.1 虹與霓現(xiàn)象的復(fù)現(xiàn)

實(shí)驗(yàn)?zāi)M了太陽光照在球形液滴上產(chǎn)生的虹與霓現(xiàn)象. 在圓盤中心放置玻璃球，調(diào)節(jié)光源、透鏡、光闌、介質(zhì)等高共軸. 調(diào)節(jié)透鏡的位置，使出射光為平行光. 調(diào)節(jié)光闌的寬度，使平行光束能夠完整照射整個(gè)玻璃球，即玻璃球在平行光束范圍內(nèi).

對(duì)于本實(shí)驗(yàn)裝置，玻璃球的直徑為70 mm，因此光闌的寬度設(shè)置為70 mm. 在光屏上觀察到的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象如圖7所示.

圖7中所觀察到的彩色圓弧為虹，在外側(cè)光強(qiáng)稍弱的彩色條紋為霓.兩者色彩順序相反，前者為外紅內(nèi)紫，后者為外紫內(nèi)紅，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論相符. 由于受到光屏尺寸的限制，光屏上只能呈現(xiàn)部分霓. 由圖7可見，在當(dāng)前情況下測出空間中的最小偏向角比較困難.

3.2 高階虹觀測與角坐標(biāo)測量

根據(jù)前文所述的角度測量方法，計(jì)算出前6階虹的理論角坐標(biāo)位置如圖8所示.

圖8 高階虹的角坐標(biāo)理論位置

使用如圖6所示的實(shí)驗(yàn)裝置，進(jìn)行高階虹角坐標(biāo)測量. 調(diào)節(jié)光闌寬度，使準(zhǔn)直后的平行光照射圓柱的上半部分，觀察現(xiàn)象并讀數(shù). 由于光強(qiáng)隨著階次增加逐漸減弱，為提高反射率，在圓柱體介質(zhì)第一次發(fā)生反射的位置貼半透半反膜，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象如圖9～10所示.

圖9 高階虹現(xiàn)象

(a)K=1 (b)K=2 (c)K=3

可見，各階虹分布在光屏的不同位置上，隨著階數(shù)增加，光強(qiáng)逐漸減弱. 讀取光屏上虹出現(xiàn)的位置，將其與理論值對(duì)比，如圖11所示.

圖11 高階虹的角坐標(biāo)實(shí)驗(yàn)值與理論對(duì)比

由圖11可知，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值符合得較好.由式(1)可知，最小偏向角θ0與折射率n有關(guān)，θ0與其角坐標(biāo)φ0的關(guān)系由式(6)確定.推導(dǎo)出不同折射率n下的角坐標(biāo)φ0表達(dá)式[見下文式(8)]，即可在一定條件下由實(shí)驗(yàn)所得的角坐標(biāo)φ0得到介質(zhì)的折射率n.

3.3 虹與霓的色散規(guī)律探究——不同波長條件下虹與霓的偏向角隨入射角的變化

激光的單色性較好，選用波長分別為λred=650.0 nm，λgreen=526.8 nm，λblue=418.8 nm的激光來探究虹與霓的色散規(guī)律. 光屏上激光光斑的尺寸如表1所示(z=76 cm).

表1 光屏上激光光斑的半徑

將底座上的復(fù)色光源、透鏡和光闌取下，放置藍(lán)色激光器，確保激光光路通過圓盤0°-180°水平線. 緩緩?fù)苿?dòng)底座，使激光入射角i從0°到90°變化，如圖12所示.

圖12 使用單色激光照射圓柱

觀察光線在圓柱介質(zhì)內(nèi)經(jīng)過1次反射后出射的光斑在環(huán)形光屏移動(dòng)的軌跡和最小偏向角.讀取底座下游標(biāo)卡尺的讀數(shù)，根據(jù)圖5，入射角i與參量b的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

(7)

參量b每改變5 mm記錄虹在光屏上對(duì)應(yīng)的角坐標(biāo)φ.再根據(jù)式(6)，由角坐標(biāo)φ即可得到偏向角θ.換用紅色、綠色激光重復(fù)上述實(shí)驗(yàn).

根據(jù)介質(zhì)對(duì)應(yīng)波長的折射率，可以計(jì)算不同入射角i對(duì)應(yīng)的偏向角θ的理論值，繪制理論曲線.實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論曲線對(duì)比，如圖13所示.圖13中的藍(lán)色實(shí)驗(yàn)點(diǎn)整體處于最上方，紅色實(shí)驗(yàn)點(diǎn)整體處于最下方，而且實(shí)驗(yàn)點(diǎn)與理論曲線符合得較好.

圖13 虹的色散規(guī)律探究實(shí)驗(yàn)結(jié)果

同時(shí)，不同波長光的最小偏向角θ0不同.在入射角i比較小時(shí)，不同波長光的偏向角θ差異不大，曲線幾乎重合，當(dāng)逐漸接近最小偏向角θ0位置時(shí)，偏向角θ差異變大，曲線開始分開，極值點(diǎn)彼此錯(cuò)開，形成虹光帶.

同理，觀察經(jīng)過2次反射后出射的光斑在環(huán)形光屏移動(dòng)的軌跡，探究霓的色散規(guī)律，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論曲線對(duì)比如圖14所示.圖14表明:霓同樣也是在極值點(diǎn)附近曲線差距較大，兩邊差距較小.這解釋了為什么當(dāng)偏向角θ比較小時(shí)不能觀察到虹，只有在特定的角度才能夠觀察到虹現(xiàn)象.

圖14 霓的色散規(guī)律探究實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，找到極值點(diǎn)，得到虹與霓的最小偏向角θ0，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示.

表2 用激光器測量虹與霓的最小偏向角

4 應(yīng)用拓展——利用高階虹角坐標(biāo)測量介質(zhì)的折射率

在完成上述實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，本裝置能夠根據(jù)高階虹的位置測定介質(zhì)的折射率n.由于偏向角θ與折射率n有關(guān)，結(jié)合式(6)，可計(jì)算不同折射率n下各階虹的角坐標(biāo)φ，可得各階虹出現(xiàn)的角坐標(biāo)φ與折射率n的變化關(guān)系.

記各階虹最小偏向角θ0對(duì)應(yīng)的入射角為i0、折射角為r0.圓柱介質(zhì)的半徑a與環(huán)形光屏的半徑R之比為倍率M，本實(shí)驗(yàn)裝置M=0.226.記x0=sini0，y0=sinr0.由幾何關(guān)系及斯涅耳公式推導(dǎo)出K=1～4階虹對(duì)應(yīng)的x0和y0為

結(jié)合式(2)和式(6)，得K=1～4階角坐標(biāo)為

(8)

取折射率n=1.30～1.50，繪制1～4階虹出現(xiàn)的角坐標(biāo)φ與折射率n的變化，如圖15所示.由圖15可得，角坐標(biāo)φ隨折射率n單調(diào)變化，因此，如果某圓柱形介質(zhì)的折射率n未知，在實(shí)驗(yàn)測出各階虹的角坐標(biāo)φ的情況下，由圖15或根據(jù)式(8)可以求出K=1～4階虹分別對(duì)應(yīng)的折射率n，求平均值作為折射率的測量結(jié)果.

(a)K=1 (b)K=2

舉例:在某次實(shí)驗(yàn)中，圓柱形介質(zhì)的折射率n未知，測出光屏上出現(xiàn)高階虹的角坐標(biāo),由式(8)得到K=1～4對(duì)應(yīng)的折射率,如表3所示.

表3 由光屏上高階虹的角坐標(biāo)計(jì)算的折射率

5 結(jié)束語

設(shè)計(jì)了高階彩虹現(xiàn)象的綜合探究裝置，采用不同波長的激光入射，研究了虹與霓的色散規(guī)律，設(shè)計(jì)了利用高階虹的角坐標(biāo)測定介質(zhì)折射率的方法. 將該裝置引入中學(xué)或者大學(xué)物理教學(xué)中，可以為彩虹光學(xué)現(xiàn)象的研究提供實(shí)驗(yàn)平臺(tái). 該實(shí)驗(yàn)不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生探索自然界中的物理現(xiàn)象，還可以提高學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，加深學(xué)生對(duì)大氣光學(xué)現(xiàn)象的理解.