郭澤賢，沈凡皓，包澤杭，王子文，陳水橋，姚星星

(浙江大學(xué) a.竺可楨學(xué)院;b.物理學(xué)院，浙江 杭州 310027)

流體黏度的測(cè)量在工業(yè)領(lǐng)域扮演著重要角色，已被廣泛用于水利工程、管道運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域之中. 黏度測(cè)量方法很多，例如落球法、旋轉(zhuǎn)法、毛細(xì)管法、阻尼振動(dòng)法、杯式黏度計(jì)法、微流體并流法、多散斑光譜法等[1-4]，其中，阻尼振動(dòng)法是落球法結(jié)合振動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的. 本文結(jié)合單擺阻尼法與共振法，實(shí)現(xiàn)測(cè)量流體的黏度，即步進(jìn)輪擺共振法測(cè)量流體黏度. 步進(jìn)輪擺共振法需要先對(duì)流體中的單擺運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究，然后再添加步進(jìn)輪擺，即指單擺的結(jié)點(diǎn)在水平方向上做小幅度的簡(jiǎn)諧振動(dòng). 該體系可以類比成在簡(jiǎn)諧力驅(qū)動(dòng)下的彈簧振子模型，從而可以觀測(cè)到共振現(xiàn)象，并通過調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)頻率，找到共振頻率，使得擺球的水平位移振幅或者角度振幅達(dá)到最大. 本文分析了步進(jìn)輪擺共振法測(cè)量流體黏度的原理，推導(dǎo)出實(shí)驗(yàn)計(jì)算公式，并利用步進(jìn)輪擺共振法測(cè)量流體黏度，分析了流體黏度測(cè)量精度及其他影響.

1 基本原理

1.1 擺球運(yùn)動(dòng)原理

對(duì)于在流體中運(yùn)動(dòng)的擺球，以擺的頂端為參考系，擺球受到重力Fg、浮力FB、擺線張力T以及黏滯阻力FD的作用，非慣性系下還需引入慣性力Fi[5]，其受力分析如圖1所示.

圖1 擺球受力分析

FBsinθ-Fgsinθ-FD-Fi=ma,

(1)

(2)

(3)

1.2 步進(jìn)輪擺運(yùn)動(dòng)原理

(4)

將式(4)代入式(3)可得：

(5)

1.3 流體黏度與共振頻率的關(guān)系

(6)

聯(lián)立式(5)和式(6)，得到：

(7)

從式(7)的形式上看，小球擺的水平位移可視為受迫振動(dòng)的彈簧振子，因此，式(7)可以改寫成如下形式：

(8)

(9)

在擺幅最大時(shí)達(dá)到共振，所以有：

(10)

(11)

2 流體黏度簡(jiǎn)化公式

對(duì)于某溫度下的待測(cè)液體，黏度固定，所以改變頻率可以得到具體的位移振幅和角度振幅[8]，即實(shí)驗(yàn)中可以測(cè)得相應(yīng)頻率的位移或角度.

計(jì)算機(jī)模擬單一黏度下水平位移振幅隨驅(qū)動(dòng)頻率的變化曲線，如圖2所示. 峰值從高到低的線分別對(duì)應(yīng)0.1,0.2,…,0.7 Pa·s.

圖2 單一黏度下水平位移振幅隨驅(qū)動(dòng)頻率的變化曲線

通過位移振幅得到的模擬結(jié)果(圖2)可以看出，黏度變化對(duì)共振頻率的影響并不大，對(duì)黏度測(cè)量精度會(huì)有較小的誤差，故實(shí)驗(yàn)采用測(cè)位移振幅的方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

改變液體溫度得到不同黏度下的共振頻率，將不同黏度下的共振頻率連線，結(jié)果如圖3所示. 以上模擬均已考慮雷諾數(shù)修正以及容器壁修正[9,13]. 在三維圖中可以清晰地看出共振頻率隨黏度的變化趨勢(shì).

圖3 不同黏度下頻率與振幅三維圖

為探究不同模型修正對(duì)共振頻率的具體影響，做不同黏度下的共振頻率圖，如圖4所示.

圖4 不同黏度下的共振頻率圖

3種模型中，模式1僅考慮了斯托克斯方程，模式2在模式1基礎(chǔ)上加入了雷諾數(shù)修正，模式3在模式2基礎(chǔ)上加入了容器壁修正. 經(jīng)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)黏度在0.3～1.1 Pa·s的范圍內(nèi)，可用線性表達(dá)式來(lái)表征黏度與共振頻率的關(guān)系. 如圖5所示，數(shù)值模擬結(jié)果的線性擬合R2=0.999 6，說(shuō)明用線性公式代替繁瑣的數(shù)值模擬是可行的.

黏度在一定的區(qū)間內(nèi)， 模式3曲線與線性公式符合得較好，因此可以通過線性公式求出黏度測(cè)量值. 根據(jù)圖5，得到的線性經(jīng)驗(yàn)公式為

μ=-0.313ωm+1.844.

(12)

由上述分析可知，液體中做受迫振動(dòng)的擺球，可以在特定情形下達(dá)到共振，測(cè)出共振頻率即可得到液體黏度.

圖5 將模擬所得數(shù)值解在一定區(qū)域內(nèi)線性擬合

3 實(shí)驗(yàn)儀器

實(shí)驗(yàn)儀器由步進(jìn)輪擺裝置、共振頻擺發(fā)生器、激光定位系統(tǒng)和數(shù)據(jù)采集與測(cè)量模塊組成. 圖6所示為實(shí)驗(yàn)儀器總框圖.

圖6 實(shí)驗(yàn)儀器總框圖

3.1 步進(jìn)輪擺裝置

步進(jìn)輪擺主要由步進(jìn)輪擺車、滑軌和水平導(dǎo)軌組成，步進(jìn)輪擺車包括水平桿、轉(zhuǎn)框和四輪小車. 使用CAD構(gòu)建模型，并利用3D打印，得到相應(yīng)部件進(jìn)行組裝，將步進(jìn)輪擺車置于滑軌上，并用水平泡調(diào)節(jié)滑軌水平. 將步進(jìn)輪擺車上豎直維度傳動(dòng)框與轉(zhuǎn)盤套合，使步進(jìn)輪擺車僅可水平移動(dòng).

步進(jìn)輪擺工作原理：轉(zhuǎn)盤內(nèi)的固定桿做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而水平導(dǎo)軌將該圓周運(yùn)動(dòng)投影在水平方向，從而推動(dòng)步進(jìn)輪擺車左右擺動(dòng)，并帶動(dòng)擺球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)[10].

3.2 共振頻擺發(fā)生器

共振頻擺發(fā)生器主要由步進(jìn)電機(jī)與轉(zhuǎn)盤構(gòu)成，步進(jìn)電機(jī)輸入信號(hào)由外接頻率控制，從而控制轉(zhuǎn)盤工作.

3.3 激光定位系統(tǒng)

激光定位系統(tǒng)由激光器和光電傳感器組成，用來(lái)檢測(cè)小球是否擋光，所以帶量尺的光學(xué)導(dǎo)軌和激光定位系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)小球最大擺幅測(cè)量[11]. 在本次實(shí)驗(yàn)的流體中，改變驅(qū)動(dòng)頻率后，小球迅速達(dá)到穩(wěn)定，并做穩(wěn)定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，激光定位系統(tǒng)可精確記錄小球擺動(dòng)的左右水平極限位置(最大擺幅)，反映水平位移的振幅大小，最終確定水平位移最大時(shí)對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)頻率大小，記錄此值，即為該黏度下的共振頻率.

3.4 數(shù)據(jù)采集與測(cè)量模塊

數(shù)據(jù)采集模塊使用Arduino開發(fā)板,程序設(shè)計(jì)主要思路如圖7所示. 首先計(jì)算小球穩(wěn)定平衡的弛豫時(shí)間ΔT，并得到稍大于弛豫時(shí)間的間隔時(shí)間. 通過按鍵控制模式參數(shù)mode，編寫代碼，使模式參數(shù)為auto(按下按鍵)和manual(松開按鍵)時(shí)分別對(duì)應(yīng)自動(dòng)模式和手動(dòng)模式.

圖7 數(shù)據(jù)采集與測(cè)量模塊流程圖

手動(dòng)模式的算法主要利用了Arduino的并行輸入接口，2個(gè)不同的輸入接口分別對(duì)應(yīng)增速和減速，還有1個(gè)輸入接口對(duì)應(yīng)增減速幅度的調(diào)節(jié). 在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，可以先調(diào)節(jié)增減速幅度到達(dá)合適的數(shù)值，再按增速或減速按鍵調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)速，直至達(dá)到目標(biāo)值.

自動(dòng)模式的算法主要利用了Arduino內(nèi)置的定時(shí)模塊，設(shè)定間隔時(shí)間后，借助Arduino版的高刷新率性質(zhì)， 可以定義條件語(yǔ)塊，使得時(shí)隔后的時(shí)刻可以精確地提升或降低特定的轉(zhuǎn)速. 此時(shí)按鍵功能變?yōu)榭刂谱兯俚姆较? 按下按鍵可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)加轉(zhuǎn)速掃頻，松開按鍵可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)減轉(zhuǎn)速掃頻.

功能特色在于可以更加智能化地進(jìn)行測(cè)量或教學(xué)演示. 手動(dòng)掃頻與自動(dòng)掃頻可以自由選擇. 手動(dòng)掃頻下，測(cè)量者可以更方便地找到已知的特殊頻率值，并可以做更穩(wěn)定的測(cè)量或演示. 自動(dòng)模式下，設(shè)定的掃頻間隔時(shí)間需稍大于小球的弛豫時(shí)間[14]. 打開Arduino開發(fā)板啟動(dòng)按鍵，步進(jìn)輪擺的穩(wěn)定振動(dòng)頻率會(huì)隨著時(shí)間穩(wěn)步改變，從而使測(cè)量者在調(diào)節(jié)過程中更加關(guān)注振幅測(cè)量.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

通過測(cè)量不同黏度流體中運(yùn)動(dòng)的步進(jìn)輪擺共振頻率，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)黏度的測(cè)量以及不確定度分析. 通過更換擺長(zhǎng)尋找精度最高的裝置參量. 測(cè)量單一黏度下水平位移振幅與驅(qū)動(dòng)頻率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并與理論結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的可靠性.

4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與分析

擺長(zhǎng)l=0.20 m時(shí)，10組不同黏度流體的黏度測(cè)量數(shù)據(jù)如表1所示，每種流體均進(jìn)行了6次重復(fù)實(shí)驗(yàn).

表1 不同黏度流體的黏度

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，作測(cè)量值與標(biāo)準(zhǔn)值的分析圖如圖8所示. 從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出用線性公式擬合得到的黏度測(cè)量值與黏度標(biāo)準(zhǔn)值偏差較小，不確定度平均為±0.02 Pa·s，驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的可靠性.

圖8 實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與標(biāo)準(zhǔn)值吻合度分析圖

另外，由圖8可知，黏度較大的流體相對(duì)來(lái)說(shuō)誤差較大，其原因是黏度較大時(shí)，共振峰較為平坦(品質(zhì)因子Q值較低)，共振頻率的測(cè)量誤差較大.

4.2 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)分析

4.2.1 擺長(zhǎng)對(duì)黏度測(cè)量的影響

選取不同擺長(zhǎng)l進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到黏度與共振頻率的關(guān)系如圖9所示.

圖9 不同擺長(zhǎng)下黏度與共振頻率的關(guān)系

擺長(zhǎng)對(duì)流體黏度測(cè)量的影響主要是：要確保小球擺在振動(dòng)過程中滿足小幅振動(dòng)的條件，即擺球擺動(dòng)角度越小越不會(huì)產(chǎn)生較大誤差.

4.2.2 溫度對(duì)黏度測(cè)量的影響

在實(shí)驗(yàn)中改變液體的溫度進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果如圖10所示. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論符合較好，包絡(luò)線誤差為±0.02 Pa·s，擬合誤差為±0.01 Pa·s.

(a)T=32.0 ℃

分析上述結(jié)果，發(fā)現(xiàn)在共振頻率附近實(shí)驗(yàn)與理論曲線擬合較好，而在頻率較低時(shí)整體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)偏大，這是由于此時(shí)輪擺振動(dòng)幅度偏大，以及容器壁真實(shí)修正項(xiàng)與線性項(xiàng)存在較大偏離等因素所致. 在共振頻率附近更為細(xì)致的掃頻結(jié)果發(fā)現(xiàn)[圖10(d)]，相較于偏離共振頻率附近的頻率，實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)與理論符合得更好.

4.2.3Q值對(duì)黏度測(cè)量的影響

圖11 單一黏度下振幅隨頻率的變化

4.2.4 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)性能分析

1)測(cè)量范圍

μmin=0.3 Pa·s,μmax=1.1 Pa·s.

2)測(cè)量精度

儀器精度為±0.02 Pa·s.最大黏度相對(duì)偏差為5%，最大黏度偏差值為0.04 Pa·s.

3)響應(yīng)時(shí)間

改變頻率至穩(wěn)定振動(dòng)所需時(shí)間小于2 s. 響應(yīng)時(shí)間越快，達(dá)到穩(wěn)定振動(dòng)所需要的時(shí)間就越短，如圖12所示，在1 s之后球擺就能達(dá)到穩(wěn)定的簡(jiǎn)諧振動(dòng).

圖12 小球位移隨時(shí)間變化圖

4.2.5 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)特點(diǎn)分析

1)與傳統(tǒng)的單擺阻尼法測(cè)量黏度相比，此方法更加直觀，同時(shí)能排除更多干擾因素，得到更精確的結(jié)果[15].

2)推導(dǎo)出一定黏度范圍內(nèi)，測(cè)量黏度的線性公式，避免了繁瑣的計(jì)算.

3)用激光定位法觀察和獲取小球擺動(dòng)的最大振幅，可以更直觀地觀察到黏度與驅(qū)動(dòng)頻率對(duì)振幅的影響，同時(shí)也使測(cè)量數(shù)據(jù)更加可信[16].

4)開發(fā)了擺動(dòng)頻率連續(xù)變化的搜索算法，用單片機(jī)控制驅(qū)動(dòng)力頻率，使實(shí)驗(yàn)者無(wú)需手動(dòng)控制，裝置更加智能.

5)本裝置中，步進(jìn)輪擺系統(tǒng)的構(gòu)件全部采用3D打印技術(shù)實(shí)現(xiàn)，成本較低.

5 結(jié)束語(yǔ)

基于步進(jìn)輪擺共振法的黏度測(cè)量方法，更適用于測(cè)量高黏度液體，并且在控制恒溫的情況下可以得到精確測(cè)量. 通過計(jì)算機(jī)模擬，驗(yàn)證了在0.1～1.5 Pa·s的黏度范圍內(nèi)可有效地進(jìn)行黏度測(cè)量，推導(dǎo)了在0.3～1.1 Pa·s的黏度范圍內(nèi)可用線性表達(dá)式表征黏度與共振頻率的關(guān)系式，精度可達(dá)到0.02 Pa·s. 比較流體黏度的測(cè)量值與標(biāo)準(zhǔn)值，說(shuō)明了用共振頻率線性表征測(cè)量黏度的可行性. 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)還可以提高方法和措施：可進(jìn)一步優(yōu)化，做成集成的小型測(cè)量?jī)x器或者手持式測(cè)量?jī)x器；開發(fā)實(shí)時(shí)反饋共振頻率的同時(shí)計(jì)算出相應(yīng)黏度值大小并顯示的系統(tǒng)；數(shù)據(jù)采集模塊升級(jí)為采用束寬更細(xì)的激光進(jìn)行振幅測(cè)量. 另外，如果以角度為自變量，也比較適合更小黏度流體的黏度測(cè)量，可以以此為方向做進(jìn)一步探究.