姚倬

山西省榆次一中 030600

運(yùn)算是思維的載體，對(duì)思維能力的發(fā)展具有直接影響，而運(yùn)算能力能直接反映出一個(gè)學(xué)生的綜合素養(yǎng).所謂的運(yùn)算是指在數(shù)學(xué)運(yùn)算律的指導(dǎo)下，對(duì)具體的數(shù)或式子進(jìn)行變形演繹的過(guò)程.運(yùn)算能力包括對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解、運(yùn)算方向的探究、方法的選擇以及程序的設(shè)計(jì)等，準(zhǔn)確性、合理性、靈活性與簡(jiǎn)潔性是它的主要特征.

確定方向，明確運(yùn)算目標(biāo)

運(yùn)算本身并不能代表運(yùn)算能力，培養(yǎng)運(yùn)算能力，先要深刻理解運(yùn)算對(duì)象，根據(jù)運(yùn)算目標(biāo)設(shè)計(jì)明確的運(yùn)算路徑.這要求學(xué)生在運(yùn)算前，先要讀題、審題，確定運(yùn)算對(duì)象，從對(duì)它的理解著手進(jìn)行運(yùn)算，同時(shí)還要深度挖掘問(wèn)題中存在的隱含信息，樹(shù)立良好的目標(biāo)意識(shí).

例1已知拋物線C：y2=4x與點(diǎn)M（－1，1），一條直線與拋物線C相交于點(diǎn)A，B，該直線的斜率為k，且過(guò)拋物線的焦點(diǎn).如果∠AMB=90°，那么k的值是多少？

分析：想要解決本題，先要理解運(yùn)算對(duì)象，確定本題的主導(dǎo)條件.本題的運(yùn)算對(duì)象為拋物線的焦點(diǎn)弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)，主導(dǎo)條件為∠AMB=90°.根據(jù)這兩點(diǎn)來(lái)啟動(dòng)運(yùn)算思維，將一些輔助性的條件添入本題的解題思路中.

以上是從向量的角度、以∠AMB=90°為依據(jù)進(jìn)行解答的過(guò)程.雖設(shè)了點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，卻沒(méi)有分別求出來(lái)，而是運(yùn)用了數(shù)學(xué)整體代換思想，完成了“設(shè)而不求”的目的.這種方法有效地減少了運(yùn)算量，避免因過(guò)于繁雜的運(yùn)算而導(dǎo)致失誤的產(chǎn)生，這也充分展示了數(shù)學(xué)整體代換思想在解題中的靈活應(yīng)用.

拋物線的概念與性質(zhì)在高考試題中常考常新，我們應(yīng)從根本上掌握其本質(zhì)與內(nèi)涵，尤其要注意以下結(jié)論的應(yīng)用：

因?yàn)榻Y(jié)論①展示了拋物線與圓的關(guān)系，所以可從“∠AMB=90°”的隱性角度來(lái)優(yōu)化解答過(guò)程：

培養(yǎng)運(yùn)算能力，先要明晰運(yùn)算對(duì)象，包括對(duì)問(wèn)題條件的把握與理解，只有看清、看準(zhǔn)運(yùn)算對(duì)象，才能目標(biāo)明確地進(jìn)行運(yùn)算.同時(shí)，運(yùn)算也要講究技巧，死算肯定解決不了問(wèn)題，如以上假設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以通過(guò)整體代換法減輕運(yùn)算量，提高運(yùn)算準(zhǔn)確度.

掌握法則，發(fā)展運(yùn)算思維

高中數(shù)學(xué)運(yùn)算相對(duì)復(fù)雜，但都有一定的規(guī)律與法則作為支撐，如向量、函數(shù)、幾何的運(yùn)算等，都有相應(yīng)的公式、定理等，這體現(xiàn)出了各個(gè)運(yùn)算對(duì)象之間具有與眾不同的思維方式與規(guī)律，這里面常蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法.

如運(yùn)動(dòng)與變化是探究幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)，用代數(shù)法解決幾何問(wèn)題在解析幾何中常見(jiàn).若想讓學(xué)生從根本上掌握解析幾何的運(yùn)算法則，就需要學(xué)生特別注重解析幾何中的一些公式和定理的形成與發(fā)展過(guò)程，同時(shí)還要理解其中包含的一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，如此才能從真正意義上實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維與運(yùn)算能力的提高，為學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).

例2若點(diǎn)A，B為曲線C：y=上的兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是4.

（1）直線AB的斜率是多少？

（2）若點(diǎn)M為曲線C上的一點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)M處的切線恰巧與AB平行，同時(shí)AM⊥BM，則直線AB的方程是什么？

分析：第（1）問(wèn)意在考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線上兩點(diǎn)連線斜率的掌握程度，可常用點(diǎn)差法解決此類問(wèn)題，此問(wèn)也為接下來(lái)的第（2）問(wèn)做好鋪墊.第（2）問(wèn)意在考查學(xué)生對(duì)直線與拋物線交點(diǎn)的理解，同時(shí)考查學(xué)生在函數(shù)圖像上的定點(diǎn)處求切線方程的運(yùn)算，常用導(dǎo)數(shù)法或判別式法解決此類問(wèn)題.

此解答過(guò)程看似沒(méi)毛病，卻存在計(jì)算量大、易出錯(cuò)的弊端.本題若從隱性條件“AM⊥BM”著手進(jìn)行分析與思考，則能簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，讓解答變得輕松，提高解答的正確率.具體過(guò)程如下：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），以AB為直徑的圓的方程是（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（yy2）=0，因?yàn)锳M⊥BM，故以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M，所以（2-x1）（2-x2）+（1-y1）（1-y2）=0，即（x1-2）（x2-2）+=0，因此（x1-2）（x2-2）［16+（x1+2）（x2+2）］=0，即（x1+2）（x2+2）=-16.

以上兩種解答思路相比，明顯第二種思路簡(jiǎn)單，不容易在計(jì)算上產(chǎn)生失分現(xiàn)象.其實(shí)，不同的知識(shí)存在不同的運(yùn)算法則與規(guī)律，而相同的問(wèn)題也可能存在不一樣的運(yùn)算方法.因此，我們應(yīng)有一雙善于洞察的慧眼，能透過(guò)問(wèn)題的表象看到實(shí)質(zhì)，擇優(yōu)選擇運(yùn)算方式，提高解題的正確率.

形成程序，提升思維品質(zhì)

觀察、分析、思考與解決問(wèn)題均離不開(kāi)思維的支持，高中數(shù)學(xué)不同的知識(shí)點(diǎn)常有不一樣的運(yùn)算程序，如解決解析幾何問(wèn)題，常用的“三部曲”就是探究、探索與選擇解析化的過(guò)程；而用向量法解決平面幾何問(wèn)題所涉及的“三部曲”，則是探究、探索與選擇向量化的過(guò)程.

這里提到的“三部曲”就是解決不同問(wèn)題的運(yùn)算程序，良好的數(shù)學(xué)思想方法、合理的運(yùn)算思維，是運(yùn)算程序形成的基礎(chǔ).學(xué)生一旦形成了良好的運(yùn)算程序，就能深刻地理解運(yùn)算的內(nèi)涵，為數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升奠定基礎(chǔ).常實(shí)踐、勤思考，是形成舉一反三能力的基礎(chǔ)，也是考試制勝的法寶，更是落實(shí)核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路.

例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線方程為y=x2-6x+1，它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)均位于圓C上.

（1）圓C的方程是什么？

（2）如果直線x-y+a=0與圓C相交于點(diǎn)A，B，已知OA⊥OB，求a的值.

分析：第（1）問(wèn)，根據(jù)不共線的三點(diǎn)可作一個(gè)三角形，根據(jù)三角形具有唯一的外接圓可獲得圓C的方程.從此解答過(guò)程可清晰地感知到數(shù)形結(jié)合思想在解題中的重要性，同時(shí)涉及一定的運(yùn)算程序?qū)忸}的幫助，讓解題少走彎路，做到既快又準(zhǔn).第（2）問(wèn)，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從聯(lián)立、化簡(jiǎn)、判別式與韋達(dá)定理這樣的程序出發(fā)，結(jié)合平面幾何相關(guān)內(nèi)容，可有效地簡(jiǎn)化計(jì)算，提高解題效率.

此題結(jié)合了函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、待定系數(shù)法、消元法以及換元法等多種數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)還涉及根與系數(shù)的關(guān)系、坐標(biāo)法以及判別式等，彰顯了運(yùn)算程序?qū)鉀Q數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題的重要性，學(xué)生的思維品質(zhì)隨著各項(xiàng)能力的形成與發(fā)展得以提升.

總之，從不同的切入點(diǎn)去分析問(wèn)題，會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算方式的差異.解析幾何不僅考查學(xué)生精準(zhǔn)、快速的計(jì)算技能，更重要的是考查學(xué)生對(duì)運(yùn)算背后算理的把握程度.教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生非智力因素方面的訓(xùn)練，如對(duì)問(wèn)題的探索精神、學(xué)習(xí)的自信心、情感傾向等方面的培養(yǎng)，尤其是運(yùn)算能力的訓(xùn)練，對(duì)激發(fā)學(xué)生的探究欲、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)以及落實(shí)學(xué)生的核心素養(yǎng)，都有深遠(yuǎn)的影響.