蘇燦強(qiáng)

福建省安溪第一中學(xué) 362400

復(fù)習(xí)“無理方程的解法”時(shí)，某教師精心挑選了兩道典型例題，與學(xué)生共同探討解題方法，取得了較好的教學(xué)效果，現(xiàn)將教學(xué)過程呈現(xiàn)給大家，供借鑒！

教學(xué)片段

例1求方程=xy的實(shí)數(shù)解.

師：不計(jì)算，先猜一猜方程的根是什么.

生1：x=y=2.

師：還有其他根嗎？

生1：這個(gè)猜不出來，應(yīng)該要計(jì)算了.

師：確實(shí)，猜出來的結(jié)果也不具有說服力，那么例1該如何求解呢？

接下來教師鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立完成計(jì)算，幾分鐘后，學(xué)生依然一籌莫展，于是教師只好將自己的解題過程講授給學(xué)生.

教師給出答案后，并沒有繼續(xù)探究，而是預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生理解、消化.幾分鐘后，教師準(zhǔn)備探究后面的問題時(shí)，有學(xué)生興奮地說道：“老師，我有了新解法.”

師：說一說，你是如何求解的呢？

師：不錯(cuò)，非常漂亮的解法，你是怎么想到的呢？

生2：最初我也嘗試通過解方程的思路來求解，但是計(jì)算量太大，所以就沒有繼續(xù)做下去.我又觀察了原式，從結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)除以xy，得到=1，對(duì)兩個(gè)變量分開研究，得到了最后的答案.

師：敢于嘗試、勇于探索，非常好.解題時(shí)，大家要有打破常規(guī)的精神，勇于實(shí)踐，這樣你會(huì)收獲更多.

生3：我也發(fā)現(xiàn)了新解法.由于根號(hào)里的表達(dá)式為x-1和y-1，聯(lián)想到sec2α-1=tan2α，可進(jìn)行如下變換：令x=sec2α，y=sec2β，其中0＜α，β＜，從而x-1=tan2α，y-1=tan2β，有sinβcosβ+sinαcosα=1，即sin2β+sin2α=2，從而sin2β=1，sin2α=1，α=β=，因此x=y=2.

師：結(jié)合無理方程的對(duì)稱性，想到了三角換元，從而將代數(shù)方程轉(zhuǎn)化為了三角函數(shù)問題，跨領(lǐng)域聯(lián)想，非常有創(chuàng)意.

點(diǎn)評(píng)：在解題過程中，教師預(yù)留了充足的時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考，基于大多數(shù)學(xué)生沒有找到有效的解題策略，教師按照預(yù)設(shè)給出了答案.答案給出后，教師沒有急于進(jìn)行后面問題的講解，而是預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生反思回顧，以此促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化.另外，當(dāng)學(xué)生提出解決問題的其他方法時(shí)，教師給予機(jī)會(huì)和時(shí)間讓學(xué)生展示，并及時(shí)給出點(diǎn)評(píng)，有效地提升了學(xué)生的解題信心.

例2解方程：

師：這個(gè)是最終的結(jié)果嗎？是否有其他的解呢？如何進(jìn)一步說明呢？

師：確實(shí)，通過構(gòu)造函數(shù)的方法來求解有一定難度，還有其他解決方案嗎？

生5：應(yīng)該可以通過移項(xiàng)、平方的思路來化簡(jiǎn)，之前推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)就是這樣化簡(jiǎn)的.

師：是一個(gè)思路，大家順著試一試，看看能否求出α呢.

學(xué)生積極計(jì)算，給出了以下解題方法：

師：很好，這樣通過移項(xiàng)、平方的方式將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，這是解決無理方程的通法.還有其他方法嗎？（生不語）

師：聯(lián)想根式對(duì)應(yīng)的幾何意義，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？（教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考）

圖1

師：這么漂亮的解法你是怎么想到的？

生6的話音剛落，又有學(xué)生提出了新想法.

圖2

師：非常好.生6和生7充分挖掘了等式中所蘊(yùn)含的幾何背景，把等式中的數(shù)量關(guān)系巧妙地與直觀幾何圖形聯(lián)系在了一起，展示了非凡的創(chuàng)造能力.

師：現(xiàn)在回到生4的方案，大家有沒有興趣與我一起將其進(jìn)行到底呢？調(diào)遞增.因?yàn)閤∈，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，f（x）=4.

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)：在例2的解決過程中，利用通性通法解決問題后，教師又給學(xué)生提供了一定的時(shí)間和空間探索其他的解法，以此拓寬學(xué)生的視野.然后教師引導(dǎo)學(xué)生從二次根式的幾何意義出發(fā)，創(chuàng)造性地解決了問題.在此過程中，教師為學(xué)生搭建了自我展示的舞臺(tái)，充分暴露了學(xué)生的思維過程，讓學(xué)生在交流展示中豐富了認(rèn)知，培養(yǎng)了學(xué)生良好的思考習(xí)慣.另外，教師利用信息技術(shù)將學(xué)生之前給出的探究方案進(jìn)行到底，以此通過對(duì)比分析讓學(xué)生理解各種方法的優(yōu)缺，進(jìn)一步提高學(xué)生的解題能力.

教學(xué)思考

眾所周知，學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維能力的培養(yǎng)是無法靠灌輸實(shí)現(xiàn)的，因此，教師將課堂還給了學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試從不同角度思考問題、解決問題.同時(shí)，教師要通過適時(shí)的啟發(fā)和引導(dǎo)讓學(xué)生在自主探究中有所發(fā)現(xiàn)、有所收獲，以此提高學(xué)習(xí)能力，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).現(xiàn)結(jié)合教學(xué)過程談幾點(diǎn)教學(xué)體會(huì)：

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)、自我完善的過程.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，而這種認(rèn)識(shí)是需要學(xué)生自主去發(fā)現(xiàn)、去探究、去感悟的，是通過學(xué)生自主活動(dòng)實(shí)現(xiàn)的.解題時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生猜一猜，借助直覺思維理解不同的材料，獲得相應(yīng)的感性認(rèn)識(shí).接下來，從已有認(rèn)知和已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，對(duì)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系或結(jié)構(gòu)進(jìn)行邏輯推演，找到了多種解題路徑.從以上解題過程可以看出，對(duì)數(shù)量關(guān)系的演繹推理不是短時(shí)間內(nèi)可以完成的，因此需要教師給予足夠的時(shí)間讓學(xué)生去探索，鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方式解決問題，這樣才能展示學(xué)生的聰明才智，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)信心等方面獲得較大的提升.教學(xué)中，教師只有放手讓學(xué)生去探索，才能激發(fā)學(xué)生的參與熱情，從而打造出一個(gè)生動(dòng)的、富有活力的數(shù)學(xué)課堂.

因?yàn)閷W(xué)生的經(jīng)驗(yàn)背景等存在差異，所以學(xué)生解題時(shí)往往有著不同的表現(xiàn).在教學(xué)過程中，教師要尊重這種差異，因?yàn)檎遣町惖拇嬖冢拍苁共煌乃季S在碰撞中迸發(fā)出火花，才能呈現(xiàn)出一個(gè)豐富多彩的高品質(zhì)課堂.如從以上兩個(gè)教學(xué)活動(dòng)可以看出，有的學(xué)生利用通性通法求解；有的學(xué)生通過構(gòu)造函數(shù)求解；有的學(xué)生通過構(gòu)造三角函數(shù)求解；還有的學(xué)生通過建構(gòu)距離模型求解，等等.多樣的解題方法呈現(xiàn)出了學(xué)生的知識(shí)水平、建模能力和思維習(xí)慣.這些差異是寶貴的課堂生成性資源，值得去挖掘、去展示.當(dāng)然，在解題過程中，也會(huì)出現(xiàn)一些模糊不清，甚至錯(cuò)誤的想法，教師要鼓勵(lì)學(xué)生去追蹤溯源，找到問題的癥結(jié)，以此通過有效啟發(fā)和指導(dǎo)讓學(xué)生找到最優(yōu)的解題方案，以此優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知，發(fā)展學(xué)生的思維能力.

數(shù)學(xué)解題教學(xué)要摒棄就題論題式的講解，要從培養(yǎng)創(chuàng)造性人才的角度出發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造.在解題教學(xué)中，教師必須深入理解問題，嘗試從不同角度去分析和理解問題，以此充分發(fā)揮教學(xué)的主導(dǎo)功能，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度審視問題，以此不斷進(jìn)行解題方案的優(yōu)化與完善，切實(shí)提高學(xué)生的解題能力，將對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)落到實(shí)處.

總之，在解題教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供一個(gè)輕松的“再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)環(huán)境，鼓勵(lì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造，以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，打造出一個(gè)充滿激情與靈性的高效數(shù)學(xué)課堂.