朱清波

廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué) 510080

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出，學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力.在教學(xué)過(guò)程中，教師必須與學(xué)生產(chǎn)生深度對(duì)話，學(xué)生不但要在課堂上正確理解知識(shí)點(diǎn)，還要在課后通過(guò)解題和反思對(duì)原有知識(shí)點(diǎn)獲得更深層次的認(rèn)知或拓展，兩者并行發(fā)展，才能有效促進(jìn)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的全面和諧發(fā)展.

但在日常教學(xué)活動(dòng)中，許多教師經(jīng)常會(huì)自我感覺(jué)課堂效果良好，結(jié)果利用測(cè)評(píng)才發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況比預(yù)想差了很多，學(xué)生在解題中采用的方法很多都是生搬硬套的，解出來(lái)的過(guò)程甚至有死記硬背的痕跡，大量的反復(fù)練習(xí)也只能起到事倍功半的效果，容易讓學(xué)生喪失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樂(lè)趣.這種低效的教學(xué)行為通常存在以下幾個(gè)特征：首先是教師不重視課堂問(wèn)題解決思路的生成，在有限時(shí)間內(nèi)為追求課程進(jìn)度而忽略了“解題中應(yīng)有的思考彎路和笨拙手段”，快速進(jìn)入“標(biāo)準(zhǔn)答案”的規(guī)則算法；其次是教師想當(dāng)然地設(shè)計(jì)解答過(guò)程，把自身對(duì)問(wèn)題的反復(fù)思考、精心提煉直接灌輸給學(xué)生，即未能按照學(xué)生的真實(shí)認(rèn)知過(guò)程考慮，未理會(huì)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知困惑；還有就是師生的解題思維缺乏連貫性，沒(méi)有認(rèn)清例題的價(jià)值，無(wú)法挖掘隱藏在知識(shí)背后的深刻思想等.上述教學(xué)行為既不利于學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，又阻礙其解題反思意識(shí)的形成.

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中非常重要的環(huán)節(jié)，而解題反思能力，是指師生完成解題后，針對(duì)自己的錯(cuò)誤理解或遇到的有代表性的問(wèn)題進(jìn)行反思的能力.具體表現(xiàn)在反思解題過(guò)程、對(duì)其中涉及的知識(shí)更深入地認(rèn)知、對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納總結(jié)、對(duì)不同的解題思路進(jìn)行比較并優(yōu)化、改進(jìn)解題過(guò)程等，數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)道：“如果你希望從自己的努力中取得最大的收獲，就要從已經(jīng)解決了的問(wèn)題中找出那些對(duì)處理將來(lái)的問(wèn)題可能有用的特征.”注重解題反思，在解決問(wèn)題的過(guò)程中產(chǎn)生最大價(jià)值，是教師在課堂上需要關(guān)注的重點(diǎn).本文以高中數(shù)學(xué)課堂的幾個(gè)即時(shí)生成性問(wèn)題為例，對(duì)解題反思教學(xué)所需要關(guān)注的幾個(gè)要點(diǎn)進(jìn)行相關(guān)闡述.

反思問(wèn)題背景，探究一般性質(zhì)

數(shù)學(xué)解題過(guò)程，是一個(gè)從簡(jiǎn)單到煩瑣且逐步過(guò)渡的過(guò)程，困住學(xué)生的很多問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)通常較多，綜合性較強(qiáng)，造成他們不能在有限的時(shí)間內(nèi)挑選合適的思路去處理問(wèn)題.在解題反思的過(guò)程中，反思能力應(yīng)該逐漸從特殊的結(jié)論朝著一般化規(guī)律進(jìn)行發(fā)展與提升，這樣才能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維能力，真正幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)頭腦思考問(wèn)題.

例1已知曲線C：y=x3－3x+5，過(guò)點(diǎn)P（4，1）且與曲線C相切的直線的方程為_(kāi)_______.

本題容易出現(xiàn)的問(wèn)題是，大部分學(xué)生缺乏圖像的直觀認(rèn)識(shí)，只考慮到P為切點(diǎn)的情況，因此只得到了其中的一條切線（方程為y=3x－11），導(dǎo)致答案不完整.事實(shí)上，本題還有一種情況，如圖1所示，當(dāng)P不是切點(diǎn)時(shí)，仍然存在一條直線滿足題意.針對(duì)此題，一般的處理辦法是先求出切線的一般形式，再代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，過(guò)程如下：

圖1

例1包含了P是否為切點(diǎn)這兩種情況，相對(duì)而言，P不是切點(diǎn)的情況下的計(jì)算量很大，且求出來(lái)的切點(diǎn)Q也是獨(dú)立存在的，看不出P與Q有什么關(guān)聯(lián).課堂上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生去思考：相切是相交的一種極限狀態(tài)，我們能否先探究相交時(shí)，三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系？這個(gè)探究思路與一元二次結(jié)構(gòu)是完全一致的：

如圖2所示，若三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d和直線y=kx+m相交于三個(gè)點(diǎn)A，B，C，設(shè)其橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3.由ax3+bx2+cx+d=kx+m，得ax3+bx2+（c-k）x+dm=0；又a（x-x1）（x-x2）（x-x3）=0，對(duì)比系數(shù)可知x1+x2+x3=-

圖2

于是就找到了三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系（即一元三次方程的韋達(dá)定理），顯然該結(jié)論在直線與曲線相切時(shí)也是成立的，故在例1中有4+x0+x0=0，解得x0=-2.這樣就能快速地找到另一個(gè)切點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)了，從而得到相應(yīng)的切線方程.該反思過(guò)程本質(zhì)上體現(xiàn)了求解一元三次函數(shù)切線方程的一般方法.

反思解題困惑，拓展認(rèn)知邊界

在解題過(guò)程中，面對(duì)一個(gè)新的問(wèn)題，我們會(huì)從不同角度來(lái)面對(duì)它，有些學(xué)生習(xí)慣代數(shù)計(jì)算，也有學(xué)生喜歡從幾何角度切入思考，這是思維發(fā)散性的一種體現(xiàn)，任何課堂上始終會(huì)有不同的思維方式并行，如果最終各種處理方式得到的結(jié)果不一致，就會(huì)讓部分學(xué)生產(chǎn)生即時(shí)性困惑，但教師在課堂上如果能即時(shí)抓住學(xué)生的這種生成性問(wèn)題進(jìn)而反思探究，相信對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的提升會(huì)有很大的幫助.

例2已知橢圓中心在原點(diǎn)且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，若其過(guò)點(diǎn)，求橢圓的方程.

大部分學(xué)生會(huì)先進(jìn)行分類討論，然后利用待定系數(shù)法求解：先設(shè)橢圓的方程為=1（a＞b＞0），代入A（2，3），后求解；再設(shè)橢圓的方程為=1（a＞b＞0），代入A（2，3），后又計(jì)算一次；最后得出只有一個(gè)答案=1.這種解決方法（代數(shù)法）會(huì)給利用圖形切入解題的學(xué)生一個(gè)很大的困惑：為什么只有一個(gè)答案？從圖像來(lái)看（如圖3所示），似乎有兩個(gè)答案，因此通過(guò)代數(shù)法運(yùn)算出來(lái)的結(jié)果并不能讓這些學(xué)生信服.在這里，教師可以引導(dǎo)學(xué)生去反思探究：條件只有三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（含原點(diǎn)），這個(gè)信息能否確定橢圓是“橫向的”還是“豎向的”？最終可以得出本題隱藏著橢圓的一個(gè)基本性質(zhì)：“橢圓上的點(diǎn)從短軸端點(diǎn)向長(zhǎng)軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，到中心的距離是逐漸增大的（如圖4所示）.”這樣的即時(shí)性探究活動(dòng)能讓學(xué)生對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的理解更有深度.

圖3

圖4

反思解題過(guò)程，領(lǐng)悟解法技巧

在一些問(wèn)題解答的過(guò)程中，因?yàn)楦鞣N原因并沒(méi)有詳細(xì)闡述相關(guān)思路的生成方式，而缺乏該環(huán)節(jié)會(huì)導(dǎo)致解法突兀和碎片化，導(dǎo)致學(xué)生不能順暢理解.課堂上教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析解法背后隱含的規(guī)律，將缺失的思考環(huán)節(jié)補(bǔ)齊，讓學(xué)生真正理解解題思路.

例3如圖5所示，一座小島A到海岸線上最近的P點(diǎn)的距離是2 km，從P點(diǎn)沿海岸正東12 km處有一個(gè)城鎮(zhèn)B.假設(shè)一個(gè)人駕駛的小船的平均速度為3 km/h，步行的平均速度為5 km/h，時(shí)間t（單位：h）表示此人從小島到城鎮(zhèn)的時(shí)間，x（單位：km）表示此人將船停在海岸C處到P點(diǎn)的距離.當(dāng)x取何值時(shí)，此人從小島到城鎮(zhèn)花費(fèi)的時(shí)間最少？

圖5

參考答案會(huì)讓學(xué)生的頭腦產(chǎn)生一個(gè)很大的疑問(wèn)：答案中的u，v的換元設(shè)置無(wú)疑起到了最大的作用，但這兩個(gè)結(jié)構(gòu)在本題中并沒(méi)有實(shí)際的幾何意義，引入它們的主要作用就是為了解決時(shí)間t的最小值問(wèn)題，但為什么能想到這樣的換元方式？經(jīng)過(guò)反思，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下探究：

通過(guò)上述分析，學(xué)生便能領(lǐng)悟參考答案背后隱藏的奧妙，遇到類似的結(jié)構(gòu)求最值時(shí)，都可以采用同樣的換元方式.經(jīng)歷了上述的反思探究過(guò)程，學(xué)生對(duì)解答方法的理解更加深刻，最終達(dá)到“做一題，會(huì)一類”的目標(biāo).

反思解題方法，培養(yǎng)知識(shí)遷移能力

教師在教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生學(xué)習(xí)的同時(shí)獲得自主認(rèn)知和自主思考的能力，對(duì)于問(wèn)題除了有思路會(huì)做外，還要思考是否存在更好的方法來(lái)處理，即通過(guò)過(guò)程的繁雜來(lái)反思解題過(guò)程是否科學(xué)合理，通過(guò)優(yōu)美的結(jié)論再去反思解題過(guò)程是否走了彎路，能否轉(zhuǎn)化到另一個(gè)簡(jiǎn)潔的方向，等等，真正將解決問(wèn)題的核心“鑰匙”交還給學(xué)生，讓學(xué)生自主思考并掌握解題方法和技巧，從而有效提高學(xué)生的解題能力.

例4如圖6所示，已知斜率為2且不過(guò)原點(diǎn)的直線和圓x2+y2=1相交于A，B兩點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為始邊，OA為終邊的角為α，OB為終邊的角為β，證明：sin（α+β）是定值.

圖6

從題干中幾個(gè)關(guān)鍵的字眼進(jìn)行分析，考慮到x2+y2=1為單位圓，梳理了點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)以及角度的正、余弦之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系后，自然就會(huì)利用解析幾何的常規(guī)手法求解.證明過(guò)程如下：

完成上述檢驗(yàn)式的證明過(guò)程后，學(xué)生的頭腦中同樣會(huì)冒出一個(gè)疑問(wèn)：為什么直線（斜率一定）在平行移動(dòng)、兩個(gè)交點(diǎn)在變化的情況下所產(chǎn)生的結(jié)果卻是一個(gè)定值呢？這個(gè)優(yōu)美的結(jié)論最初又是怎么被發(fā)現(xiàn)的？

通過(guò)反思可以發(fā)現(xiàn)，動(dòng)直線的斜率確定著直線的“方向”，利用圓的垂徑定理可知另一條與其垂直的直線的“方向”也就被確定了，于是就有如下思考：

如圖7所示，過(guò)圓心O作OM⊥AB，交AB于M，利用直線垂直和等腰三角形OAB的性質(zhì)，可得直線OM的斜率kOM=-

圖7

當(dāng)然，即使α，β均不在區(qū)間（0，2π）內(nèi)，即均相差2π的整數(shù)倍時(shí)，射線OM的終邊位置仍然不會(huì)發(fā)生改變，結(jié)論也不會(huì)變.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的再回顧和反思，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)三角求值問(wèn)題.另外，繼續(xù)探究和反思可以發(fā)現(xiàn)，本題中的cos（α+β），tan（α+β）也是定值，這樣學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題也就有了更深層次的理解.

通過(guò)對(duì)上述幾個(gè)即時(shí)性生成問(wèn)題的反思探究，不難看出解題反思是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不可缺少的環(huán)節(jié).學(xué)生通過(guò)反思可以明確自身是否掌握了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并借此深化理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)；借助反思可以在解題過(guò)程中結(jié)合自身對(duì)知識(shí)的掌握程度探尋全新的解題思路，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.教師在解題教學(xué)中，一定要不斷進(jìn)行總結(jié)和反思，結(jié)合問(wèn)題優(yōu)化解題教學(xué)，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造思維的能力，還應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思，提升學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)科教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量.