李美霞

(天津城市職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，天津 300250)

到目前為止，許多研究者已經(jīng)從很多不同的視角去研究了一致性問題,比如在文獻[1-4]中,研究了系統(tǒng)存在時滯的情況.在文獻[5]中,分析了具有馬爾科夫鏈性質(zhì)的隨機時滯的系統(tǒng)的一致性,通過引入隨機時滯的轉(zhuǎn)移概率矩陣,降低了控制協(xié)議的保守性.在很多實際問題中,信息傳輸?shù)倪^程中不僅存在時滯,而且不可避免地存在一些不確定性的因素,在文獻[6]中,孫元功就研究了同時存在時變時滯和不確定性的多智能體系統(tǒng)的一致性分析.文章主要研究了在離散系統(tǒng)中,同時存在具有馬爾科夫鏈性質(zhì)的時滯和領(lǐng)導(dǎo)跟隨的多智能體系統(tǒng)的一致性問題,通過創(chuàng)建一個合適的李雅普諾夫函數(shù),根據(jù)圖論的一些知識得到領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致的充分性.

1 模型描述

首先,給出馬爾科夫鏈的一些相關(guān)定義.

定義1如果對于所有的m,i,j,有P(Xm+1=j|Xm=i)=P(X1=j|X0=i),則在狀態(tài)空間S中,馬爾科夫鏈X是均勻的.

轉(zhuǎn)換矩陣Π=(πij)是 |S|×|S|的矩陣,其中πij=P(Xm+1=j|Xm=i),

轉(zhuǎn)換矩陣Π滿足

(1)

假設(shè)1時滯{dk}來自于有限的整數(shù)集合Γ={τ1,τ2,…,τq}并且滿足 0≤τ1<τ2<…<τq.

考慮一階系統(tǒng)的n個多智能體,其系統(tǒng)的每個多智能體的表達式為：

(2)

領(lǐng)導(dǎo)者的系統(tǒng)方程為：

(3)

其中ui(t)是控制輸入,且

(4)

令εi(t)=xi(t)-x0(t)，i=1,2,…,n, 則

(5)

(6)

下面進行采樣設(shè)置,則多智能體系統(tǒng)可以表示成下面這種離散的形式：

ε(k+1)=ε(k)+h(-L(dk)+B(dk))ε(k-dk)-hp01n

(7)

令H(dk)=h(-L(dk)+B(dk)),則(7)可寫成以下形式：

ε(k+1)=ε(k)+H(dk)ε(k-dk)-hp01n

(8)

定義2如果

那么系統(tǒng)(8)是均方穩(wěn)定的.

2 一致性分析

定理1對于帶有具有馬爾科夫鏈性質(zhì)的隨機時滯的系統(tǒng)(8)來說,在假設(shè)1和定義1的情況下,如果存在矩陣P>0,Qj>0,Zj>0,Mj和H(τj),j=1,2,…,q，使得下面的矩陣

(9)

對于任意的r=1,2,…,q成立,那么系統(tǒng)達到均方穩(wěn)定,即所有的智能體跟隨領(lǐng)導(dǎo)者達到一致.

其中

(10)

Ψi(r)=πriPH(τi)，

證明：設(shè)V函數(shù)為：

V(k)=V1(k)+V2(k)+V3(k)

其中

V1(k)=εT(k)Pε(k)

其中

η(m)=ε(m+1)-ε(m)

對于V3(k),根據(jù)(8),我們可以得到

令dk-1=τr,dk=τs,r,s∈{1,2,…q},從dk-1到dk的轉(zhuǎn)換概率是：

P(dk=τs|dk-1=τr)=πrs

下面分別計算E{ΔV1(k)},E{ΔV2(k)},E{ΔV3(k)}

E{ΔV1(k)}=E{V1(k+1)-V1(k)}=E{εT(k+1)Pε(k+1)-εT(k)Pε(k)}=

所以

E{ΔV(k)}=E{ΔV1(k)}+E{ΔV2(k)}+E{ΔV3(k)}≤

因為(9)成立,所以根據(jù)Schur補定理,我們可得

假設(shè)-λmax(r)I≤λ(W(r))≤-λmin(r)I,λ(W(r))是W(r)的特征值.

λmax(r)>0,λmin(r)>0分別是-W(r)的最大和最小特征值,

令β=min{λmin(r),r=1,2,…,q}>0,所以

E{V(k+1)-V(k)}≤ζT(k)W(r)ζ(k)≤-λmin(r)‖ζ(k)‖2≤-β‖ζ(k)‖2

然后將上式從0到k加起來得到：

又因為‖ζ(m)‖2≥‖ε(m)‖2,m=0,1,2,…

因此可得

所以系統(tǒng)(8)是均方穩(wěn)定的,即所有的智能體跟隨領(lǐng)導(dǎo)者達到一致.

3 小結(jié)

這篇文章研究了帶有馬爾科夫鏈的隨機時滯多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一性,通過創(chuàng)建一個合適的李雅普諾夫函數(shù),根據(jù)圖論的一些知識得到領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致的充分性.文章最主要的特點是考慮了領(lǐng)導(dǎo)者的因素,除此之外這篇文章還有待更深的提高,如提高系統(tǒng)的維數(shù)，增加多個領(lǐng)導(dǎo)者等等.一般情況下,一致性得到的都是線性矩陣不等式，但此研究得到的是非線性矩陣不等式,如何將非線性不等式化成線性不等式還有待繼續(xù)研究提高.