薛申芳，謝小軍

(廣州工商學(xué)院，廣東 佛山 510850)

0 引言

在討論大氣對衛(wèi)星軌道的影響時，我們是針對高層大氣(高度在90 km以上).大氣密度不僅與高度有關(guān)，而且與地球形狀、晝夜、季節(jié)、大氣旋轉(zhuǎn)等有關(guān)，其規(guī)律相當(dāng)復(fù)雜，盡管大氣模型不斷地得到改進(jìn)，仍然存在15%～30%的誤差[1].測量資料已經(jīng)證明了大氣密度分布所具有的特征[1]：大氣密度隨高度增加而減小，減小的速度隨高度的增加而變緩，等密度面接近于地球形狀；太陽輻射顯著影響大氣密度分布，且衛(wèi)星軌道越高，這種晝夜、周日、季節(jié)變化越大.高層大氣在200 km高度上可相差3～4倍，在500 km高度上可相差20～30倍，在1 000 km高度上可相差100倍.這里采用通常使用的大氣近似密度的指數(shù)分布函數(shù)給出大氣阻力以及大氣旋轉(zhuǎn)作用下衛(wèi)星軌道模型，采用四階龍格-庫特算法和MATLAB-simulink進(jìn)行計算仿真，去討論大氣攝動對衛(wèi)星軌道的影響.

1 大氣攝動下軌道模型

下面的討論中，地球視為密度均勻的圓形球體，大氣密度近似采用指數(shù)分布，采用地心慣性坐標(biāo)系Oxyz，給出相應(yīng)數(shù)學(xué)模型.

在地心慣性坐標(biāo)系下，大氣攝動下軌道模型為：

其中

為地球中心引力；

為大氣攝動力，且其中

t：時間(s)；

r：r=(x,y,z)T為衛(wèi)星位置矢量(km)；

μ：μ=398 601.19為地心引力常數(shù)(km3/s2)；

Cd：大氣阻尼系數(shù)，一般取為1.5～2.3[2]，這里取為Cd=2；

S/M：衛(wèi)星面質(zhì)比，S為有效(相對阻力而言)截面積，M為衛(wèi)星質(zhì)量，一般衛(wèi)星的面質(zhì)比在2～20(m2/t)[3]，這里取S/M=10-8(km2/kg)；

va：大氣在Oxyz坐標(biāo)系中的運動速度(km/s)；

V：衛(wèi)星相對于大氣的運動速度，V=v-va，空間大氣并非處于靜止?fàn)顟B(tài)，大氣有旋轉(zhuǎn)，而且情況復(fù)雜.記ωa為大氣旋轉(zhuǎn)角速度，ne為地球自轉(zhuǎn)角速度.根據(jù)多年來衛(wèi)星資料，發(fā)現(xiàn)大氣旋轉(zhuǎn)速率隨高度變化而不同，大氣這一旋轉(zhuǎn)機(jī)制還不清楚.多年的衛(wèi)星資料得到的變化情況[4]，在衛(wèi)星距地面高度為325～600 km時，ωa/ωe呈近似線性減小變化，從1.22下降到0.82，這里取ωa/ωe=1.此時有[2]va=ne(-y,x,0)TV=(vx+ney,vy-nx,vz)T；

取初始條件為：

r(0)=(7 120.64,176.842,112.678)T

v(0)=(-0.172 005,3.168 71,6.785 77)T

記

X=(x,y,z,vx,vy,vz)T,f(X,t)=(vx,vy,vz,Fex+Fdx,Fey+Fdy,Fez+Fdz)T

則上述模型可表為向量微分方程的初值問題：

(1)

2 模型離散化算法

模型(1)式是一個一階向量形式的非線性微分方程，它沒有解析解，只能求數(shù)值解.記Δt為采樣周期，Xi=X(ti)(i=0,1,2,…,N),下面采用四階龍格-庫特算法把該模型進(jìn)行離散化.

其中

k1=f(Xi-1,ti-1)

k4=f(Xi-1+k3,ti-1+Δt)

X0=X(0)

(i=1,2,…,N)

3 模型求解

下面取Δt=240 s，仿真時間區(qū)間為0～12 000 s,利用Matlab-simulink求解.相應(yīng)的simulink模塊參看圖1，計算結(jié)果數(shù)據(jù)參看表1，軌道計算結(jié)果圖形參看圖2，衛(wèi)星到地心的距離參看圖3.

圖1 Simulink模塊

表1 衛(wèi)星位置坐標(biāo)及到地心的距離

續(xù)表

圖2 衛(wèi)星軌道

圖3 衛(wèi)星到地心的距離

理想的二體軌道應(yīng)該是衛(wèi)星在一個不變的軌道上運行.在大氣阻力作用下，在仿真時間段為0～12 000 s的時間內(nèi)衛(wèi)星大約兩圈.第一圈的遠(yuǎn)地點：7 168.05 km，近地點：7 118.56 km；第二圈的遠(yuǎn)地點：7 166.75 km，近地點：7 117.32 km；第二圈比第一圈軌道的遠(yuǎn)地點減小了1.3 km，近地點減小了1.24 km.

4 結(jié)論

實際衛(wèi)星飛行過程中，也受到其他要素(地球非球形、日月引力、太陽光壓等)的影響，以上只考慮了地球中心引力和大氣密度、大氣旋轉(zhuǎn)的作用下，建立了數(shù)學(xué)模型，利用四階龍格-庫特算法和MATLAB-simulink進(jìn)行了模型求解.從理論上講四階龍格-庫特算法精度(o(Δt4))有一定的方法誤差，且由于大氣密度變化十分復(fù)雜,不但與高度有關(guān)，而且還與晝夜、季節(jié)等要素有關(guān)，另外大氣的旋轉(zhuǎn)機(jī)制也不十分清楚，只是做了一些近似處理.通過對結(jié)果的分析得到了大氣對軌道的影響，衛(wèi)星軌道隨著時間的推移，使得軌道高度逐漸變小，在兩圈的仿真中，遠(yuǎn)地點就減小1.3 km，近地點減小了1.24 km，這樣隨著時間的推移，衛(wèi)星軌道將會逐漸變小.