陳榮泉,陳源福,王清,吳志鋼

(1閩南理工學(xué)院土木工程學(xué)院,福建 泉州 362799;2九江學(xué)院理學(xué)院,江西 九江 332005;3石獅鵬山工貿(mào)學(xué)校汽車維修系,福建 泉州 362799)

0 引言

渦旋具有零中心強度、螺旋相位和攜帶軌道角動量等性質(zhì),這些性質(zhì)可能應(yīng)用在光鑷和粒子控制方面。目前,渦旋光束在各種非線性介質(zhì)中的傳播和操縱已經(jīng)得到了廣泛的研究[1]。在實驗方面,文獻(xiàn)[2]介紹了酵母細(xì)胞在渦旋光阱中的旋轉(zhuǎn)角速度可通過改變激光功率、拓?fù)浜珊筒东@高度的方式來進(jìn)行調(diào)節(jié)。2012年,Ding等[3]發(fā)現(xiàn)了離軸拉蓋爾-高斯渦旋光束在非局域介質(zhì)中傳輸時渦旋暗核會發(fā)生移動。2020年,Wang等[4]發(fā)現(xiàn)通過改變離軸位移值可實現(xiàn)虛值渦旋孤子的傳播路徑。2021年,Jiang等[5]發(fā)現(xiàn)帶有雙對稱離軸渦旋的自聚焦圓貝塞爾高斯渦旋光束在自由空間中傳輸時,可通過改變渦旋位置使渦旋發(fā)生重疊、碰撞湮滅等現(xiàn)象。

負(fù)折射率介質(zhì)是具有負(fù)介電常數(shù)(ε＜0)和負(fù)磁導(dǎo)率(μ＜0)的光學(xué)材料,電磁波在這種材料中傳播時,其波矢k、電場E和磁場B方向滿足左手關(guān)系,因此這種介質(zhì)又稱左手材料(LHM)。當(dāng)光從正折射率介質(zhì)入射到負(fù)折射率介質(zhì)中時,折射光線和入射光線位于法線同側(cè)。在負(fù)折射率材料中,電磁波傳播時會出現(xiàn)一系列反常性質(zhì),如:逆多普勒(Doppler)效應(yīng)、負(fù)的古斯-漢森(Goos-Hanchen)位移[6]等。文獻(xiàn)[7]證明了負(fù)折射率介質(zhì)[8]可以聚焦光束,在負(fù)折射率介質(zhì)中還存在厄米正弦高斯孤子[9]、余弦高斯孤子[10]、厄米余弦高斯孤子[11]、艾里高斯孤子[12]、拉蓋爾高斯孤子[13]。關(guān)于光束在負(fù)折射介質(zhì)中傳輸?shù)睦碚撗芯恐?文獻(xiàn)[14]運用角譜理論,推導(dǎo)出了拉蓋爾-高斯光束在負(fù)折射率介質(zhì)中傳輸時存在的反向扭曲力,發(fā)現(xiàn)負(fù)相速度引起波前的反向螺旋,并最終導(dǎo)致光學(xué)渦旋的反向旋轉(zhuǎn)。文獻(xiàn)[15]證明了拉蓋爾-高斯渦旋光束和厄米高斯渦旋光束可以在負(fù)折射率介質(zhì)中傳播,理論上進(jìn)一步證明了負(fù)的折射率導(dǎo)致拉蓋爾-高斯渦旋光束具有負(fù)的瑞利距離和逆Gouy相移[16],而負(fù)的瑞利距離導(dǎo)致光束橫向光場的渦旋方向發(fā)生反轉(zhuǎn)。

然而,到目前為止,大多數(shù)的研究都集中在非局域單個渦旋孤子或者雙渦旋孤子的研究上。本文揭示了嵌套的多渦旋高斯光束可以在負(fù)非局域非線性介質(zhì)中穩(wěn)定傳播,并且可以通過調(diào)節(jié)渦旋的離軸位移和拓?fù)浜蓙砜刂苽鬏斳壽E,對實現(xiàn)光束在介質(zhì)傳輸中的控制以及微粒的亞接觸操縱有一定的理論參考價值。

1 理論模型

光波在負(fù)折射率介質(zhì)中傳播時,E、B和k的方向滿足左手螺旋關(guān)系,這與正折射率介質(zhì)中的右手螺旋關(guān)系剛好相反,則光束在負(fù)折射率介質(zhì)中的玻印廷矢量S與波矢k方向相反。光束在負(fù)折射率非局域介質(zhì)中傳播滿足歸一化非線性薛定諤方程[17-20]

多渦旋高斯光波的函數(shù)可以表示為

式中:A為振幅,表示j(j=1,2,3,···)個多項式連乘,使高斯光束存在j個渦旋點;mj是拓?fù)潆姾芍?aj、bj是離軸參數(shù);波矢k=2π/λn=2πnL/λ,負(fù)介質(zhì)折射率[14]其中εL和μL分別表示相對介電常數(shù)和相對磁導(dǎo)率;w是的初始寬度;高斯型響應(yīng)函數(shù)可以表示為其中σ是響應(yīng)函數(shù)的特征長度。光束輸入的初始功率是光強|φ|2的空間積分,可以根據(jù)方程(2)得到初始功率

根據(jù)二階矩的定義,光束在x、y方向上的束寬分別為wx、wy,光束的統(tǒng)計束寬為wm,軌道角動量(OAM)M及非局域程度δ可分別表示為[17]

式中

若拓?fù)浜蒻j不確定時,初始功率和軌道角動量很難得到解析解。當(dāng)拓?fù)浜啥枷嗟惹襪j=1、渦旋個數(shù)為3(即j=1,2,3)時,把(2)式分別代入(3)、(4)式可得到初始功率P0和軌道角動量M的表達(dá)式

2 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

為了方便討論,響應(yīng)函數(shù)R中的特征長度和初始束寬分別取為σ=20和w=1。采用分步傅里葉法數(shù)值模擬多渦旋光束在負(fù)折射率非局域介質(zhì)中的傳播。在光束的傳輸過程中,當(dāng)多渦旋點到中心的距離且各渦旋點的拓?fù)浜蒻1=m2=···=mj=1時,模擬結(jié)果如圖1所示。由圖1可知,當(dāng)各渦旋的拓?fù)浜蒻j=1時,統(tǒng)計束寬隨渦旋個數(shù)j增大而增大;多渦旋點以原點o為中心,呈正多邊形均勻分布,光束的光強分布類似旋轉(zhuǎn)的車輪,并以順時針旋轉(zhuǎn);渦旋奇異點(光強的點)與渦旋個數(shù)j相等。

圖1 多渦旋-高斯光束的二維強度分布(第一行)與渦旋點分布(第二行)。(a1)j=3,r=1.2;(b1)j=4,r=1.3;(c1)j=5,r=1.4;(d1)j=6,r=1.5Fig.1 2D intensity distribution(the first row)and vortex point distribution(the second row).(a1)j=3,r=1.2;(b1)j=4,r=1.3;(c1)j=5;r=1.4;(d1)j=6,r=1.5

圖2為多渦旋高斯光束的三維模結(jié)構(gòu)分布和相位結(jié)構(gòu),由圖2可知,多渦旋點關(guān)于原點均勻分布,相結(jié)構(gòu)形狀類似風(fēng)車的“葉片”,每一個渦旋點會引起一個順時針旋轉(zhuǎn)的“葉片”,“葉片”的個數(shù)跟多渦旋點相等,相結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性易于信息的存儲。

圖2 多渦旋高斯光束的三維模結(jié)構(gòu)分布(第一行)和相結(jié)構(gòu)(第二行),選擇參數(shù)為w=1,(a)j=3,(b)j=4,(c)j=5,(d)j=6,其他參數(shù)與圖1相同F(xiàn)ig.2 3D intensity distribution of the multi-vortex Gaussian beam(the first row)and the phase structure(the second row),the selection parameters are w=1,(a)j=3,(b)j=4,(c)j=5,(d)j=6,and other parameters are the same as those in Fig.1

圖3為不同方向上光強的縱向立體截面(廊闊),盡管渦旋個數(shù)j不同,由圖3(a)可知,光強在x軸方向上的分布關(guān)于中心軸(x=0)對稱的,光強在渦旋點位置處分布出現(xiàn)“凹陷”;由圖3(b)可知,光強在y軸方向上的分布在中心軸(y=0)處不對稱的。因此,光強的廊闊在x和y軸方向上的分布是不一樣的,說明孤子在不同方向上會呈現(xiàn)出不同的結(jié)構(gòu)。

圖3 不同渦旋個數(shù)的高斯光束在(a)x和(b)y方向的歸一化光強分布,參數(shù)與圖2相同F(xiàn)ig.3 The normalized light intensity distribution of Gaussian beams with different numbers of vortices in the(a)x and(b)y directions,and the parameters are the same as those in Fig.2

2.1 多渦旋高斯光孤子的傳輸特性

簡單起見,以三個渦旋的光束為例進(jìn)行分析。圖4為三個渦旋的光束沿著z軸方向的傳輸情況,由圖4可知,若三個渦旋點關(guān)于原點分布不均勻時,高斯渦旋光束出現(xiàn)傾斜傳輸。當(dāng)各渦旋點的虛部前符號為正,多渦旋高斯光束旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向;當(dāng)各渦旋點的虛部前符號為負(fù),光束旋轉(zhuǎn)方向為逆時針方向。這一現(xiàn)象與高斯渦旋光束在正折射率介質(zhì)中傳輸時的渦旋方向剛好相反[15]。

圖4 三維傳輸圖形。(a)a1=b1=-0.8;a2=-1,b2=1;a3=b3=-0.8,渦旋點的虛部前符號取正;(b)a1=b1=-0.8;a2=-1,b2=1,a3=b3=-0.8,渦旋點的虛部前符號取負(fù)Fig.4 Three-dimensional transmission graphics.(a)a1=b1=-0.8;a2=-1,b2=1;a3=b3=-0.8,and the sign before the imaginary part of the vortex point is positive;(b)a1=b1=-0.8;a2=-1,b2=1,a3=b3=-0.8,and the sign before the imaginary part of the vortex point is negative

圖5為光束在介質(zhì)中傳輸相等距離(z=6.3)時光束位置的移動情況,由圖5(a)可知,當(dāng)渦旋點關(guān)于原點均勻分布、各渦旋點的拓?fù)浜上嗟?即m1=m2=m3)時,光束的統(tǒng)計束寬和傳輸方向保持不變。由圖5(b)～(d)可知,當(dāng)渦旋點關(guān)于原點均勻分布、各渦旋點的拓?fù)浜刹幌嗟葧r,發(fā)現(xiàn)光束在傳輸過程中暗核發(fā)生移動,光束整體出現(xiàn)傾斜傳輸,但是光束統(tǒng)計束寬和旋轉(zhuǎn)周期保持不變。隨著拓?fù)浜蒻的增大,光束的臨界光強P和軌道角動量M都要增大。

圖5 渦旋點的不同拓?fù)浜蒻對光束傳輸?shù)挠绊?渦旋位置為a1=0,b1=1.2;a2=-1,b2=-0.6;a3=1,b3=-0.6。(a)m1=m2=m3=1,P=260000,M=517250;(b)m1=m2=1,m3=2,P=262500,M=814760;(c)m1=m2=1,m3=3,P=272420,M=1097000;(d)m1=1,m2=2,m3=3,P=275280,M=1424800Fig.5 Influence of the different topological charge m of the vortex point on the beam propagation.The vortex position is a1=0,b1=1.2;a2=-1,b2=-0.6;a3=1,b3=-0.6;(a)m1=m2=m3=1,P=260000,M=517250;(b)m1=m2=1,m3=2,P=262500,M=814760;(c)m1=m2=1,m3=3,P=272420,M=1097000;(d)m1=1,m2=2,m3=3,P=275280,M=1424800

圖6為渦旋光在z方向上傳輸?shù)娜S立體結(jié)構(gòu)圖,由圖6可知,當(dāng)三個渦旋的拓?fù)浜刹幌嗟葧r光束傳輸出現(xiàn)傾斜程度不同,此現(xiàn)象與渦旋橢圓復(fù)合Airy孤子[17]在非局域介質(zhì)中斜傳輸相似;當(dāng)渦旋位置關(guān)于原點對稱時,多渦旋光束在負(fù)折射率介質(zhì)中可以保持軸向方向穩(wěn)定傳輸。

圖6 光束的三維傳輸情況,參數(shù)同圖5Fig.6 Three-dimensional transmission of the light beam.The parameters are the same as those in Fig.5

圖7為光束的統(tǒng)計束寬wm隨傳播距離z的變化情況,由圖7可知,當(dāng)渦旋位置關(guān)于原點均勻分布、各渦旋點的拓?fù)浜蒻j相等且都增大時,要形成穩(wěn)定光孤子,對應(yīng)的統(tǒng)計束寬wm和臨界光強P都必須增大。

圖7 統(tǒng)計束寬變化。a1=0,b1=1.2;a2=-1,b2=-0.6;a3=1,b3=-0.6.(a)m1=m2=m3=1,P=260000,M=517250;(b)m1=m2=m3=2,P=272420,M=1097000;(c)m1=m2=m3=3,P=277030,M=2407500Fig.7 Beam width change.a1=0,b1=1.2;a2=-1,b2=-0.6;a3=1,b3=-0.6.(a)m1=m2=m3=1,P=260000,M=517250;(b)m1=m2=m3=2,P=272420,M=1097000;(c)m1=m2=m3=3,P=277030,M=2407500

圖8為光強的分布、相結(jié)構(gòu)和能流圖,由圖8(a)、(c)可知,當(dāng)渦旋點關(guān)于原點均勻分布、各渦旋點的拓?fù)浜蒻相等且增大時,光束的軌道角動量增大且能流密度盡量遠(yuǎn)離原點;拓?fù)浜蒻j越大,渦旋點的暗核(光強為零)越大;當(dāng)能流關(guān)于原點均勻分布時,光場能量和軌道角動量關(guān)于原點對稱,沒有哪個方向存在優(yōu)勢,則光束可以保持軸線方向穩(wěn)定傳輸。由圖8(b)可知,即使三個渦旋點關(guān)于原點均勻分布,但各渦旋點的拓?fù)浜蒻j不同,由于能流密度關(guān)于原點分布不均勻,致使光束的軌道角動量和光強分布不均勻,進(jìn)而會使光束出現(xiàn)偏離軸線方向傳輸?shù)默F(xiàn)象。

圖8 光束的性能結(jié)構(gòu)。第一行:光強大小分布;第二行:相結(jié)構(gòu);第三行:能流圖。渦旋點位置:a1=0,b1=1.2;a2=-1,b2=-0.6;a3=1,b3=-0.6。(a)第一列,m1=m2=m3=1,P=260000,M=517250;(b)第二列,m1=m2=1,m3=2,P=262530,M=814760;(c)第三列,m1=m2=m3=2,P=272420,M=1097000Fig.8 Performance structure of the beam.The first line:light intensity and small distribution;The second line:phase structure;The third line:energy flow.Vortex point position:a1=0,b1=1.2;a2=-1,b2=-0.6;a3=1,b3=-0.6.(a)The first row,m1=m2=m3=1,P=260000,M=517250;(b)The second row,m1=m2=1,m3=2,P=262530,M=814760;(c)The third row,m1=m2=m3=2,P=272420,M=1097000

圖9(a)為角動量的解析解和數(shù)值解的比較,圖9(b)、(c)為臨界功率和角動量分別與拓?fù)浜蒻的關(guān)系,由圖9(a)可知,(10)式得到的OAM解析解和數(shù)值解基本吻合。由圖9(b)、(c)可知,要形成穩(wěn)定的渦旋孤子,所需要的臨界功率和軌道角動量會隨拓?fù)浜蒻j的增大而增大,理論上軌道角動量越大的光束可以編碼的信息越多。當(dāng)mj=0時,軌道角動量變?yōu)?,光束在傳輸過程中將不再出現(xiàn)旋轉(zhuǎn),多渦旋高斯光束退化為一般的高斯光束。

圖9 角動量和臨界功率。(a)角動量解析解(紅點劃線)和角動量數(shù)值解(藍(lán)虛線)分別與渦旋位置的關(guān)系;(b)臨界功率與m的關(guān)系;(c)角動量數(shù)值解與m的關(guān)系Fig.9 Angular momentum and critical power.(a)The angular momentum analytical solution(red dotted line)and angular momentum numerical solution(blue dotted line)versus vortex position;(b)Critical power versus m;(c)Angular momentum numerical solution versus m

2.2 穩(wěn)定性分析

圖10為光束傳輸一個周期距離后的光強分布,由圖10可知,當(dāng)渦旋位置關(guān)于原點不對稱時,光束在x、y方向上的截面形狀不同。光束傳輸一個周期后,x、y方向上的光強分布與原始位置的光強分布一致,只是在各自方向上移動了一段距離,離軸不對稱多渦旋高斯光束的傳輸是穩(wěn)定的。

為了驗證孤子的穩(wěn)定性,可以考慮隨機擾動的影響。給圖5中的孤子在傳輸中增加一個隨機擾動[21],可表示為A0[H(x,y)+βB(x,y)],其中:A0代表振幅;H(x,y)代表無微擾時的孤子解;B(x,y)是微擾項;β是微擾系數(shù),隨機微擾系數(shù)都很小,本研究取β=0.05進(jìn)行模擬驗證。圖11為添加隨機擾動后光束的傳輸情況,此模擬結(jié)果表明多渦旋高斯型孤子在隨機擾動下可以在負(fù)折射率介質(zhì)中穩(wěn)定地傳播,只是傳輸方向受到拓?fù)浜蒻j的影響。

圖11 負(fù)折射率非局域介質(zhì)中加噪的多渦旋高斯孤子的演化,參數(shù)選擇同圖5Fig.11 Evolution of the noisy multi-vortex Gaussian soliton in the negative refractive index nonlocal medium.The parameters are the same as those in Fig.5

3 結(jié)論

運用分步傅里葉法數(shù)值模擬了多渦旋高斯光束在負(fù)折射率非局域非線性介質(zhì)中保持穩(wěn)定傳輸,發(fā)現(xiàn)渦旋位置rj和拓?fù)浜蒻j可以改變光束的傳輸方向。結(jié)果表明:當(dāng)mj=1時,通過解析法可得到光束初始功率和軌道角動量的解析表達(dá)式,分析發(fā)現(xiàn)軌道角動量的解析解和數(shù)值解相吻合;并得到軌道角動量和統(tǒng)計束寬wm受到拓?fù)浜蒻j和渦旋位置變化的影響;盡管渦旋位置rj不同或者拓?fù)浜蒻j不同,但是形成穩(wěn)定光孤子所對應(yīng)的渦旋周期是相同的。通過漩渦點虛部的符號改變,光孤子可以實現(xiàn)逆時針(或順時針)方向旋轉(zhuǎn),這與正折射率中渦旋光孤子的旋轉(zhuǎn)方向相反;離軸渦旋的位置rj和拓?fù)浜蒻j決定了光束傳輸?shù)膬A斜程度、光強和相位分布,因此渦旋點位置、渦旋點個數(shù)j和拓?fù)浜蒻j增大可以使光束攜帶[22,23]更多信息。相比旋轉(zhuǎn)橢圓渦旋復(fù)艾里孤子[17],離軸多渦旋光束表現(xiàn)出更為復(fù)雜的相結(jié)構(gòu)、更大的軌道角動量和臨界光強。另外,對渦旋光捕獲后的粒子或者細(xì)胞實現(xiàn)某個方向上移動的操控是一個前沿問題。渦旋光束對微粒(或者細(xì)胞)可以進(jìn)行捕獲[2],把渦旋光束的軌道角動量傳遞給微粒,驅(qū)動微粒與多渦旋光束一起傾斜移動,類似光鑷的效果。