考慮模型不確定和關(guān)節(jié)電機動態(tài)的柔性機械手滑?？刂?/h1>
2022-10-14 01:17:12王春峰
機床與液壓 2022年1期
王春峰
(南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能制造學(xué)院，江蘇南京 210023)
0 前言
柔性機械手以其負載/質(zhì)量比大、結(jié)構(gòu)輕巧、效率高等優(yōu)勢，已逐漸取代傳統(tǒng)的剛性機械手在航空航天、醫(yī)療和工業(yè)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。然而，由于其結(jié)構(gòu)柔性的存在，柔性機械手的魯棒控制一直是控制和應(yīng)用工程領(lǐng)域的難點之一[1-3]。
柔性機械手建模方法主要有牛頓-歐拉法、拉格朗日法和虛位移法等，最常見的模型有解耦模型[4]、偏微分方程組模型[5]和基于模態(tài)假設(shè)法的模型。由于模態(tài)假設(shè)法模型將每個桿視為歐拉-伯努利桿，模型包含分布參數(shù)，更接近柔性機械手的真實情況，因此應(yīng)用最廣泛，如文獻[6-8]中都用到了模態(tài)假設(shè)法模型。柔性機械手包含柔性單元，屬于典型的分布參數(shù)系統(tǒng)，必須用無窮維分布參數(shù)模型來描述，然而，為降低模型復(fù)雜性，通常柔性模態(tài)只截取到1階。特別地，關(guān)節(jié)電機安裝在機械臂上，通常輔助以諧波減速器、制動器、磁編碼器及控制器等，進而通過一個或多個關(guān)節(jié)電機的聯(lián)動完成機械手的運動控制[9]。因此，電機動態(tài)性的影響不可忽略，但現(xiàn)有建模過程中卻常忽略，使得柔性機械手建模精度不高，嚴重制約了其模型分析與控制精度。
在柔性機械手的控制方面，其末端控制面臨的難點之一為轉(zhuǎn)矩輸入與位移輸出間的傳遞函數(shù)為非最小相位，難以直接針對末端期望位移進行控制器設(shè)計。為此，研究人員針對其非最小相位的解耦問題進行了相關(guān)研究。文獻[10]中在被控系統(tǒng)平衡點處利用輸出重定義的方式，將它轉(zhuǎn)變?yōu)橐子诳刂频淖钚∠辔幌到y(tǒng)。文獻[9]和文獻[10]中根據(jù)不同時間尺度下的關(guān)節(jié)電機轉(zhuǎn)角和柔性模態(tài)，分別采用奇異攝動方法、輸出重定義法將系統(tǒng)分解為快、慢2個子系統(tǒng)。對比以上2種常用解耦方法，輸出重定義法應(yīng)用更廣泛、簡單且控制器設(shè)計靈活。
此外，在應(yīng)用控制方法方面，對比PI控制[12]、狀態(tài)反饋控制[13]和模糊控制[14]等，滑模(Sliding Mode Control, SMC)控制[15]以其強魯棒性、對控制對象模型精度要求不高和易于實現(xiàn)等優(yōu)點，在柔性機械手控制方法中廣泛應(yīng)用，有效緩解了柔性機械手建模精度的約束。但目前SMC多以傳統(tǒng)線性滑?？刂啤⒎瞧娈惤K端滑?？刂芠16]及與模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能控制法相結(jié)合[17]的應(yīng)用為主，且多以額定工況下的柔性機械手控制為主。然而，在對運動精度要求較高的場合中，由于關(guān)節(jié)電機的動態(tài)性能和實際模型中參數(shù)的不確定性，SMC控制性能往往不理想。現(xiàn)有控制方法多以穩(wěn)定性作為控制目標，且無法定量給出其末端位移偏差的準確值。
基于以上研究背景，本文作者以雙臂柔性機械手為例，考慮模型參數(shù)不確定和關(guān)節(jié)電機動態(tài)，建立一種柔性機械手與關(guān)節(jié)電機的聯(lián)合模型，在此基礎(chǔ)上，重新定義其輸出以解決其最小相位問題。針對分解后的重定義子系統(tǒng)，借鑒文獻[18]中的終端滑模的有限時間收斂特性，提出一種改進的非線性滑?？刂品椒?，同時實現(xiàn)對輸出重定義系統(tǒng)狀態(tài)和關(guān)節(jié)電機動態(tài)的魯棒控制，提高其動態(tài)響應(yīng)時間。針對分解后的柔性模態(tài)，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論保證它在平衡點鄰域的局部收斂性，并推導(dǎo)出雙機械手末端位移的誤差范圍。
1 系統(tǒng)描述與建模
1.1 柔性機械手-關(guān)節(jié)電機聯(lián)合建模
針對雙臂柔性機械手，本文作者采用文獻[18]中的模型。不同于目前柔性模態(tài)僅取截斷后1階的做法，該模型每個臂柔性模態(tài)均取2階，因此建模精度更高?？紤]模型參數(shù)不確定性，雙臂柔性機械手系統(tǒng)描述如式(1)所示：
(1)
其中:θ=[θ1θ2]T∈R2為電機轉(zhuǎn)角;q=[q1
其中：Mr∈R2×2;Mrf∈R4×2;Mf∈R4×4。矩陣M的逆矩陣可表示為
其中:N11∈R2×2;N12∈R2×4;N21∈R4×2;N22∈R4×4。
本文作者著重考慮關(guān)節(jié)電機的動態(tài)。相比于異步電機、步進電機等，直流電機以其結(jié)構(gòu)簡單、調(diào)速范圍大、易于實現(xiàn)線性和快速啟?？刂频葍?yōu)點在機械手中廣泛應(yīng)用[20]。為此，本文作者采用直流電機充當柔性手的關(guān)節(jié)驅(qū)動電機，其動態(tài)特性可表示為
(2)
式中：L=diag[L1L2]、R=diag[R1R2]、Ke=diag[ke1ke2]，分別表示2個柔性臂上電機的電感、電阻和反電勢常數(shù)陣；KT為電機的電流-轉(zhuǎn)矩正定常數(shù)陣；u=[u1,u2]T∈R2為關(guān)節(jié)電機的輸出轉(zhuǎn)矩;Te=[Te1,Te2]T∈R2為關(guān)節(jié)電機的機械轉(zhuǎn)矩，且有u=Te+τ。
(3)
其中:
文中控制目標：控制雙臂柔性機械手的末端位移從非零初始狀態(tài)yi(0)≠0到零，其計算公式如式(4)所示：
(4)
式中:yi(0)、Li和φij分別為第i個柔性機械手的初始位移、臂長和第j個柔性模態(tài)。
柔性機械手系統(tǒng)的輸入維數(shù)小于輸出維數(shù)，屬于非最小相位系統(tǒng)，難以直接設(shè)計控制器。因此，借鑒文獻[19]中的輸出重定義方法進行模型變換。
1.2 模型變換
根據(jù)式(4)，為克服柔性機械手末端控制的最小相位問題，重新定義輸出變量z∈R2為電機轉(zhuǎn)角θ和柔性模態(tài)q的線性組合為
z=λ0θ+λ1q
(5)
式(5)中并沒有把關(guān)節(jié)電機模型(2)的變量I考慮到重定義輸出變量z中，因為關(guān)節(jié)電機只是通過電流I為柔性機械手提供驅(qū)動轉(zhuǎn)矩，而式(4)表示的末端位移的控制仍然通過控制關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ和柔性模態(tài)q實現(xiàn)。
將式(5)中的z進行兩次求導(dǎo)，可得關(guān)節(jié)電機的輸出轉(zhuǎn)矩u，并將u代入式(3)，有：
(6)
其中:
(7a)
Δα=(λ0N11+λ1N21-N11Te)Δ1+(λ0N12+
λ1N22-N21Te)Δ2
(7b)
β=λ0N11+λ1N21
(7c)
(8)
根據(jù)文獻[19]中輸出重定義方法，式(8)可視為輸入、輸出子系統(tǒng)，而其余4維柔性模態(tài)構(gòu)成內(nèi)部子系統(tǒng)，由式(3)可直接得到：
Kq-Δ2)+N21u
(9)
若針對如式(9)所示的重定義輸出系統(tǒng)設(shè)計控制律u使其狀態(tài)z1=z2=z3=0有限時間收斂，則式(6)成立，進而推出:
u=-β-1(α+Δα)
(10)
將式(10)代入式(9)，根據(jù)文獻[10]中零動態(tài)的定義，內(nèi)部子系統(tǒng)化為零動態(tài)子系統(tǒng):
(11)
綜合以上模型變換，可見如式(3)所示的柔性機械手-關(guān)節(jié)電機聯(lián)合模型可最終分解為如式(8)所示的重定義子系統(tǒng)和如式(11)所示的零動態(tài)子系統(tǒng)。
2 非線性滑?？刂破髟O(shè)計
針對重定義輸出系統(tǒng)，由于包括3個系統(tǒng)狀態(tài)z1、z2和z3且為實現(xiàn)有限時間收斂，借鑒文獻[18]中終端滑模的有限時間收斂特性設(shè)計一種改進的非線性滑模面，其表達式為
(12)
式中：s∈R2；設(shè)計參數(shù)為c1、c2，并且c1=diag[c11
c12]、c2=diag[c21c22]，cii>0,i=1, 2。
式(8)中包含未知的不確定項Δα，在設(shè)計相應(yīng)滑?？刂破鲿r需要知道其上邊界范圍，則有：
(13)
其中:ε3>0。
基于滑模等效控制原理[2]，設(shè)計滑?？刂坡蓇由等效控制項ueq和切換項un組成，即:
u=ueq+un
(14)
令式(12)中的s的一階導(dǎo)為0，可以計算得到等效控制項ueq，旨在維持系統(tǒng)在滑模面穩(wěn)定。ueq表達式為
ueq=Rz3+Kez2+Te-
(15)
而切換項un的作用是通過切換開關(guān)使得系統(tǒng)趨近于設(shè)計的滑模面，其優(yōu)點為具有高度抗干擾性。
(16)
將式(15)代入式(16)，則有:
(17)
可見，若設(shè)計切換項un為
(18)
其中，η>0則可使得式(17)變?yōu)?/p>
結(jié)合以上分析，可證明所設(shè)計的控制律u的正確性及系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂性。
3 穩(wěn)定性分析
由式(11)可知，零動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性能決定整個柔性機械手系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，且由于不確定性Δ1、Δ2的存在，可知在x=0時具有局部穩(wěn)定性，假設(shè)其穩(wěn)定區(qū)域為Ω。為此，在其局部穩(wěn)定區(qū)域可對矩陣N和ff進行線性化，即有：
(19)
將式(19)代入式(11)有：
(20)
其中：
(21)
其中：
(22)
(23)
由式(23)可推導(dǎo)出柔性模態(tài)q的收斂范圍為
(24)
結(jié)合式(14)(15)和(18)所示控制律的作用，由式(5)重定義輸出變量z=λ0θ+λ1q=0成立，因此可推導(dǎo)出電機轉(zhuǎn)角θ的收斂范圍：
(25)
最后根據(jù)柔性機械手末端位移的計算公式，考慮關(guān)節(jié)電機與參數(shù)不確定情況下，得到雙臂柔性機械手末端位移誤差范圍為
(26)
4 數(shù)值仿真
為驗證所提控制方法的有效性，從重定義參數(shù)λ0和λ1、模型參數(shù)不確定和關(guān)節(jié)電機動態(tài)三方面分析其對柔性機械手穩(wěn)定性和控制性能的影響。表1給出了雙臂柔性機械手模型參數(shù)。
表1 雙臂柔性機械手模型參數(shù)
(1)重定義參數(shù)對穩(wěn)定性能的影響
圖1 重定義系數(shù)對零動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的影響
(2)模型參數(shù)Δ1和Δ2對系統(tǒng)性能的影響
圖2 存在模型不確性的柔性機械手仿真結(jié)果
(3)關(guān)節(jié)電機動態(tài)對系統(tǒng)性能的影響
不考慮模型參數(shù)的不確定Δ1和Δ2的影響，式(2)中關(guān)節(jié)電機參數(shù)如表2所示。在基于文獻[19]中忽略關(guān)節(jié)電機的影響建模和控制器設(shè)計的基礎(chǔ)上，增加關(guān)節(jié)電機動態(tài)的控制，選擇參數(shù)c2=diag[1.2,1.2]，對比仿真結(jié)果如圖3所示，其中，有關(guān)節(jié)電機采用如式(12)所示的非線性滑模，沒有關(guān)節(jié)電機采用文獻[19]中的標準終端滑模。
表2 直流電機參數(shù)
由圖3(a)(b)可見：文獻[19]中的標準終端滑模和文中設(shè)計的非線性滑模變量均可實現(xiàn)有限時間收斂，但不考慮關(guān)節(jié)電機動態(tài)的情況下收斂時間延長，意味著柔性機械手-關(guān)節(jié)電機聯(lián)合控制會使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快。由圖3(c)(d)可知：若考慮關(guān)節(jié)電機動態(tài)，其對應(yīng)輸出的關(guān)節(jié)驅(qū)動轉(zhuǎn)矩作用也會變大，即需要額外的驅(qū)動扭矩用于關(guān)節(jié)控制。由圖3(e)(f)可知：關(guān)節(jié)電機動態(tài)的聯(lián)合控制具有加快系統(tǒng)響應(yīng)速度的作用。利用LMI工具箱和式(25)—(26)可算出存在關(guān)節(jié)電機動態(tài)時2個柔性機械手的末端誤差分別為1.699×10-4rad 和8.71×10-4，因此在建模和控制器設(shè)計時不應(yīng)忽略關(guān)節(jié)電機動態(tài)。
圖3 考慮/不考慮關(guān)節(jié)電機特性的柔性機械手仿真結(jié)果
5 結(jié)論
本文作者針對雙臂柔性機械手系統(tǒng)，著重研究了關(guān)節(jié)電機與模型不確定對末端位移誤差的影響。建立了雙臂柔性機械手-關(guān)節(jié)電機的聯(lián)合數(shù)學(xué)模型，并利用重定義方法解決其非最小相位問題。針對分解后的重定義子系統(tǒng)，提出一種改進的非線性滑?？刂品椒?，實現(xiàn)了重定義輸出變量和關(guān)節(jié)電機動態(tài)的魯棒控制。針對零動態(tài)子系統(tǒng)，利用Lyapunov穩(wěn)定性定理推導(dǎo)出重定義參數(shù)與零動態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定性、末端位移誤差的關(guān)系。仿真結(jié)果證明了模型不確定性和關(guān)節(jié)電機的影響不可忽略，所提方法具有參考價值。
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柔性機械手建模方法主要有牛頓-歐拉法、拉格朗日法和虛位移法等，最常見的模型有解耦模型[4]、偏微分方程組模型[5]和基于模態(tài)假設(shè)法的模型。由于模態(tài)假設(shè)法模型將每個桿視為歐拉-伯努利桿，模型包含分布參數(shù)，更接近柔性機械手的真實情況，因此應(yīng)用最廣泛，如文獻[6-8]中都用到了模態(tài)假設(shè)法模型。柔性機械手包含柔性單元，屬于典型的分布參數(shù)系統(tǒng)，必須用無窮維分布參數(shù)模型來描述，然而，為降低模型復(fù)雜性，通常柔性模態(tài)只截取到1階。特別地，關(guān)節(jié)電機安裝在機械臂上，通常輔助以諧波減速器、制動器、磁編碼器及控制器等，進而通過一個或多個關(guān)節(jié)電機的聯(lián)動完成機械手的運動控制[9]。因此，電機動態(tài)性的影響不可忽略，但現(xiàn)有建模過程中卻常忽略，使得柔性機械手建模精度不高，嚴重制約了其模型分析與控制精度。
在柔性機械手的控制方面，其末端控制面臨的難點之一為轉(zhuǎn)矩輸入與位移輸出間的傳遞函數(shù)為非最小相位，難以直接針對末端期望位移進行控制器設(shè)計。為此，研究人員針對其非最小相位的解耦問題進行了相關(guān)研究。文獻[10]中在被控系統(tǒng)平衡點處利用輸出重定義的方式，將它轉(zhuǎn)變?yōu)橐子诳刂频淖钚∠辔幌到y(tǒng)。文獻[9]和文獻[10]中根據(jù)不同時間尺度下的關(guān)節(jié)電機轉(zhuǎn)角和柔性模態(tài)，分別采用奇異攝動方法、輸出重定義法將系統(tǒng)分解為快、慢2個子系統(tǒng)。對比以上2種常用解耦方法，輸出重定義法應(yīng)用更廣泛、簡單且控制器設(shè)計靈活。
此外，在應(yīng)用控制方法方面，對比PI控制[12]、狀態(tài)反饋控制[13]和模糊控制[14]等，滑模(Sliding Mode Control, SMC)控制[15]以其強魯棒性、對控制對象模型精度要求不高和易于實現(xiàn)等優(yōu)點，在柔性機械手控制方法中廣泛應(yīng)用，有效緩解了柔性機械手建模精度的約束。但目前SMC多以傳統(tǒng)線性滑?？刂啤⒎瞧娈惤K端滑?？刂芠16]及與模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能控制法相結(jié)合[17]的應(yīng)用為主，且多以額定工況下的柔性機械手控制為主。然而，在對運動精度要求較高的場合中，由于關(guān)節(jié)電機的動態(tài)性能和實際模型中參數(shù)的不確定性，SMC控制性能往往不理想。現(xiàn)有控制方法多以穩(wěn)定性作為控制目標，且無法定量給出其末端位移偏差的準確值。
基于以上研究背景，本文作者以雙臂柔性機械手為例，考慮模型參數(shù)不確定和關(guān)節(jié)電機動態(tài)，建立一種柔性機械手與關(guān)節(jié)電機的聯(lián)合模型，在此基礎(chǔ)上，重新定義其輸出以解決其最小相位問題。針對分解后的重定義子系統(tǒng)，借鑒文獻[18]中的終端滑模的有限時間收斂特性，提出一種改進的非線性滑?？刂品椒?，同時實現(xiàn)對輸出重定義系統(tǒng)狀態(tài)和關(guān)節(jié)電機動態(tài)的魯棒控制，提高其動態(tài)響應(yīng)時間。針對分解后的柔性模態(tài)，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論保證它在平衡點鄰域的局部收斂性，并推導(dǎo)出雙機械手末端位移的誤差范圍。
1 系統(tǒng)描述與建模
1.1 柔性機械手-關(guān)節(jié)電機聯(lián)合建模
針對雙臂柔性機械手，本文作者采用文獻[18]中的模型。不同于目前柔性模態(tài)僅取截斷后1階的做法，該模型每個臂柔性模態(tài)均取2階，因此建模精度更高?？紤]模型參數(shù)不確定性，雙臂柔性機械手系統(tǒng)描述如式(1)所示：
(1)
其中:θ=[θ1θ2]T∈R2為電機轉(zhuǎn)角;q=[q1
其中：Mr∈R2×2;Mrf∈R4×2;Mf∈R4×4。矩陣M的逆矩陣可表示為
其中:N11∈R2×2;N12∈R2×4;N21∈R4×2;N22∈R4×4。
本文作者著重考慮關(guān)節(jié)電機的動態(tài)。相比于異步電機、步進電機等，直流電機以其結(jié)構(gòu)簡單、調(diào)速范圍大、易于實現(xiàn)線性和快速啟?？刂频葍?yōu)點在機械手中廣泛應(yīng)用[20]。為此，本文作者采用直流電機充當柔性手的關(guān)節(jié)驅(qū)動電機，其動態(tài)特性可表示為
(2)
式中：L=diag[L1L2]、R=diag[R1R2]、Ke=diag[ke1ke2]，分別表示2個柔性臂上電機的電感、電阻和反電勢常數(shù)陣；KT為電機的電流-轉(zhuǎn)矩正定常數(shù)陣；u=[u1,u2]T∈R2為關(guān)節(jié)電機的輸出轉(zhuǎn)矩;Te=[Te1,Te2]T∈R2為關(guān)節(jié)電機的機械轉(zhuǎn)矩，且有u=Te+τ。
(3)
其中:
文中控制目標：控制雙臂柔性機械手的末端位移從非零初始狀態(tài)yi(0)≠0到零，其計算公式如式(4)所示：
(4)
式中:yi(0)、Li和φij分別為第i個柔性機械手的初始位移、臂長和第j個柔性模態(tài)。
柔性機械手系統(tǒng)的輸入維數(shù)小于輸出維數(shù)，屬于非最小相位系統(tǒng)，難以直接設(shè)計控制器。因此，借鑒文獻[19]中的輸出重定義方法進行模型變換。
1.2 模型變換
根據(jù)式(4)，為克服柔性機械手末端控制的最小相位問題，重新定義輸出變量z∈R2為電機轉(zhuǎn)角θ和柔性模態(tài)q的線性組合為
z=λ0θ+λ1q
(5)
式(5)中并沒有把關(guān)節(jié)電機模型(2)的變量I考慮到重定義輸出變量z中，因為關(guān)節(jié)電機只是通過電流I為柔性機械手提供驅(qū)動轉(zhuǎn)矩，而式(4)表示的末端位移的控制仍然通過控制關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ和柔性模態(tài)q實現(xiàn)。
將式(5)中的z進行兩次求導(dǎo)，可得關(guān)節(jié)電機的輸出轉(zhuǎn)矩u，并將u代入式(3)，有：
(6)
其中:
(7a)
Δα=(λ0N11+λ1N21-N11Te)Δ1+(λ0N12+
λ1N22-N21Te)Δ2
(7b)
β=λ0N11+λ1N21
(7c)
(8)
根據(jù)文獻[19]中輸出重定義方法，式(8)可視為輸入、輸出子系統(tǒng)，而其余4維柔性模態(tài)構(gòu)成內(nèi)部子系統(tǒng)，由式(3)可直接得到：
Kq-Δ2)+N21u
(9)
若針對如式(9)所示的重定義輸出系統(tǒng)設(shè)計控制律u使其狀態(tài)z1=z2=z3=0有限時間收斂，則式(6)成立，進而推出:
u=-β-1(α+Δα)
(10)
將式(10)代入式(9)，根據(jù)文獻[10]中零動態(tài)的定義，內(nèi)部子系統(tǒng)化為零動態(tài)子系統(tǒng):
(11)
綜合以上模型變換，可見如式(3)所示的柔性機械手-關(guān)節(jié)電機聯(lián)合模型可最終分解為如式(8)所示的重定義子系統(tǒng)和如式(11)所示的零動態(tài)子系統(tǒng)。
2 非線性滑?？刂破髟O(shè)計
針對重定義輸出系統(tǒng)，由于包括3個系統(tǒng)狀態(tài)z1、z2和z3且為實現(xiàn)有限時間收斂，借鑒文獻[18]中終端滑模的有限時間收斂特性設(shè)計一種改進的非線性滑模面，其表達式為
(12)
式中：s∈R2；設(shè)計參數(shù)為c1、c2，并且c1=diag[c11
c12]、c2=diag[c21c22]，cii>0,i=1, 2。
式(8)中包含未知的不確定項Δα，在設(shè)計相應(yīng)滑?？刂破鲿r需要知道其上邊界范圍，則有：
(13)
其中:ε3>0。
基于滑模等效控制原理[2]，設(shè)計滑?？刂坡蓇由等效控制項ueq和切換項un組成，即:
u=ueq+un
(14)
令式(12)中的s的一階導(dǎo)為0，可以計算得到等效控制項ueq，旨在維持系統(tǒng)在滑模面穩(wěn)定。ueq表達式為
ueq=Rz3+Kez2+Te-
(15)
而切換項un的作用是通過切換開關(guān)使得系統(tǒng)趨近于設(shè)計的滑模面，其優(yōu)點為具有高度抗干擾性。
(16)
將式(15)代入式(16)，則有:
(17)
可見，若設(shè)計切換項un為
(18)
其中，η>0則可使得式(17)變?yōu)?/p>
結(jié)合以上分析，可證明所設(shè)計的控制律u的正確性及系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂性。
3 穩(wěn)定性分析
由式(11)可知，零動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性能決定整個柔性機械手系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，且由于不確定性Δ1、Δ2的存在，可知在x=0時具有局部穩(wěn)定性，假設(shè)其穩(wěn)定區(qū)域為Ω。為此，在其局部穩(wěn)定區(qū)域可對矩陣N和ff進行線性化，即有：
(19)
將式(19)代入式(11)有：
(20)
其中：
(21)
其中：
(22)
(23)
由式(23)可推導(dǎo)出柔性模態(tài)q的收斂范圍為
(24)
結(jié)合式(14)(15)和(18)所示控制律的作用，由式(5)重定義輸出變量z=λ0θ+λ1q=0成立，因此可推導(dǎo)出電機轉(zhuǎn)角θ的收斂范圍：
(25)
最后根據(jù)柔性機械手末端位移的計算公式，考慮關(guān)節(jié)電機與參數(shù)不確定情況下，得到雙臂柔性機械手末端位移誤差范圍為
(26)
4 數(shù)值仿真
為驗證所提控制方法的有效性，從重定義參數(shù)λ0和λ1、模型參數(shù)不確定和關(guān)節(jié)電機動態(tài)三方面分析其對柔性機械手穩(wěn)定性和控制性能的影響。表1給出了雙臂柔性機械手模型參數(shù)。
表1 雙臂柔性機械手模型參數(shù)
(1)重定義參數(shù)對穩(wěn)定性能的影響
圖1 重定義系數(shù)對零動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的影響
(2)模型參數(shù)Δ1和Δ2對系統(tǒng)性能的影響
圖2 存在模型不確性的柔性機械手仿真結(jié)果
(3)關(guān)節(jié)電機動態(tài)對系統(tǒng)性能的影響
不考慮模型參數(shù)的不確定Δ1和Δ2的影響，式(2)中關(guān)節(jié)電機參數(shù)如表2所示。在基于文獻[19]中忽略關(guān)節(jié)電機的影響建模和控制器設(shè)計的基礎(chǔ)上，增加關(guān)節(jié)電機動態(tài)的控制，選擇參數(shù)c2=diag[1.2,1.2]，對比仿真結(jié)果如圖3所示，其中，有關(guān)節(jié)電機采用如式(12)所示的非線性滑模，沒有關(guān)節(jié)電機采用文獻[19]中的標準終端滑模。
表2 直流電機參數(shù)
由圖3(a)(b)可見：文獻[19]中的標準終端滑模和文中設(shè)計的非線性滑模變量均可實現(xiàn)有限時間收斂，但不考慮關(guān)節(jié)電機動態(tài)的情況下收斂時間延長，意味著柔性機械手-關(guān)節(jié)電機聯(lián)合控制會使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快。由圖3(c)(d)可知：若考慮關(guān)節(jié)電機動態(tài)，其對應(yīng)輸出的關(guān)節(jié)驅(qū)動轉(zhuǎn)矩作用也會變大，即需要額外的驅(qū)動扭矩用于關(guān)節(jié)控制。由圖3(e)(f)可知：關(guān)節(jié)電機動態(tài)的聯(lián)合控制具有加快系統(tǒng)響應(yīng)速度的作用。利用LMI工具箱和式(25)—(26)可算出存在關(guān)節(jié)電機動態(tài)時2個柔性機械手的末端誤差分別為1.699×10-4rad 和8.71×10-4，因此在建模和控制器設(shè)計時不應(yīng)忽略關(guān)節(jié)電機動態(tài)。
圖3 考慮/不考慮關(guān)節(jié)電機特性的柔性機械手仿真結(jié)果
5 結(jié)論
本文作者針對雙臂柔性機械手系統(tǒng)，著重研究了關(guān)節(jié)電機與模型不確定對末端位移誤差的影響。建立了雙臂柔性機械手-關(guān)節(jié)電機的聯(lián)合數(shù)學(xué)模型，并利用重定義方法解決其非最小相位問題。針對分解后的重定義子系統(tǒng)，提出一種改進的非線性滑?？刂品椒?，實現(xiàn)了重定義輸出變量和關(guān)節(jié)電機動態(tài)的魯棒控制。針對零動態(tài)子系統(tǒng)，利用Lyapunov穩(wěn)定性定理推導(dǎo)出重定義參數(shù)與零動態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定性、末端位移誤差的關(guān)系。仿真結(jié)果證明了模型不確定性和關(guān)節(jié)電機的影響不可忽略，所提方法具有參考價值。
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