趙千鈞，付興建

(北京信息科技大學(xué)，北京 100192)

0 前言

隨著科學(xué)的發(fā)展、技術(shù)的進(jìn)步，控制理論、計(jì)算機(jī)技術(shù)和現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)迅猛發(fā)展，加上各學(xué)科領(lǐng)域之間的相互交叉滲透，使控制系統(tǒng)越來(lái)越復(fù)雜、被控對(duì)象越來(lái)越多元化。網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NCS)得到了迅猛的發(fā)展，但網(wǎng)絡(luò)的引入會(huì)帶來(lái)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延、數(shù)據(jù)丟包、量化、通信約束等問題。時(shí)延和丟包的存在不僅降低了系統(tǒng)的性能而且可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此，對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)時(shí)延和丟包的研究具有十分重要的理論和實(shí)際意義[1-2]。

由于數(shù)據(jù)傳遞過程中丟包現(xiàn)象的出現(xiàn)具有不確定性和難以預(yù)測(cè)性，所以對(duì)于丟包問題的解決具有相對(duì)復(fù)雜性。迄今為止，對(duì)于丟包問題的研究也取得眾多成就。文獻(xiàn)[3]中研究了帶有隨機(jī)丟包的基于采樣數(shù)據(jù)T-S模糊網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的均方可鎮(zhèn)定性問題。文獻(xiàn)[4]中研究了雙邊丟包的系統(tǒng)，利用伯努利分布的相關(guān)知識(shí)提出滿足觀測(cè)器指數(shù)穩(wěn)定的分析方法。文獻(xiàn)[5]中為了減少網(wǎng)絡(luò)通信對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的影響，提出了一種在前向和反饋信道中具有隨機(jī)丟包的網(wǎng)絡(luò)無(wú)模型自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制方案。

近年來(lái)，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的容錯(cuò)控制取得了一些研究成果[6-8]。文獻(xiàn)[9]中針對(duì)不同的外部噪聲類型,選取不同的性能指標(biāo),逐步深入地對(duì)分布時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)魯棒控制器設(shè)計(jì)問題展開研究。文獻(xiàn)[10]中研究了傳統(tǒng)容錯(cuò)控制方法難以保證非線性系統(tǒng)在執(zhí)行器和傳感器多故障并發(fā)情形下的穩(wěn)定性問題。

目前研究一般都分別針對(duì)執(zhí)行器和傳感器故障設(shè)計(jì)容錯(cuò)控制器以保障系統(tǒng)穩(wěn)定[11]。然而在復(fù)雜的實(shí)際控制系統(tǒng)中, 多處執(zhí)行器和傳感器故障完全可能同時(shí)并存, 因此針對(duì)單一類型故障設(shè)計(jì)得到的容錯(cuò)控制器不一定能夠穩(wěn)定多類別故障并發(fā)系統(tǒng), 存在較大安全隱患。文獻(xiàn)[12]中考慮了狀態(tài)不可測(cè)時(shí)一類網(wǎng)絡(luò)切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題，針對(duì)既有傳感器失效、又有執(zhí)行器失效的故障情況，設(shè)計(jì)了一種無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器。

本文作者針對(duì)含有數(shù)據(jù)丟包和時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，將服從伯努利丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)視為以一定速率切換的開關(guān)，建立了針對(duì)系統(tǒng)故障的數(shù)學(xué)模型。結(jié)合Lyapunov理論和異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論以及狀態(tài)反饋的有關(guān)知識(shí)，得出滿足傳感器和執(zhí)行器均出現(xiàn)故障但仍能穩(wěn)定運(yùn)行的條件，并通過LMI工具箱計(jì)算出關(guān)于狀態(tài)反饋的系數(shù)，設(shè)計(jì)出有效的具有魯棒特性的容錯(cuò)控制器。通過算例仿真證明方法的可行性。

1 系統(tǒng)描述

1.1 含時(shí)延和丟包的NCS建立

首先考慮無(wú)丟包情況下的離散系統(tǒng)：

x(k+1)=Adx(k)+Bd0(τk)Kx(k)+Bd1(τk)Kx(k-1)

(1)

由于定義τk時(shí)延滿足：

τk∈[τmin,τmax],0≤τmin≤τmax≤T

則:

Bd0(τk)=B0+D0F(τk)E0

(2)

同理可得：

Bd1(τk)=B1+D1F(τk)E1

(3)

其中：

現(xiàn)做如下假設(shè):

(1)執(zhí)行器和傳感器同時(shí)發(fā)生故障。

(2)系統(tǒng)的采樣周期為T,傳感器使用時(shí)鐘驅(qū)動(dòng)方式，執(zhí)行器與控制器都使用事件驅(qū)動(dòng)的方式，將數(shù)據(jù)封裝在單個(gè)數(shù)據(jù)包向網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳送。

具有不確定時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)為

(4)

服從伯努利丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)看作按一定速率切換的開關(guān)，將傳感器和控制器的網(wǎng)絡(luò)看作S1，控制器和執(zhí)行器的網(wǎng)絡(luò)看作S2。 具有時(shí)延和丟包的NCS結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 具有時(shí)延和丟包的NCS結(jié)構(gòu)

當(dāng)開關(guān)在S1、S2時(shí)：

(5)

(6)

(7)

(8)

具有不確定時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)可描述為

Z(k+1)=φiZ(k)

(9)

其中：

1.2 多故障并發(fā)系統(tǒng)的建立

若系統(tǒng)有m個(gè)執(zhí)行器，考慮執(zhí)行器可能發(fā)生故障情況，引入開關(guān)矩陣L，并將其放在輸入陣和反饋增益之間，其形式為L(zhǎng)=diag{l1,l2,…,lm},其中:

式中:L∈Ω,Ω為執(zhí)行器開關(guān)矩陣L的對(duì)角元素任取0或1的各種組合，表示所有可能的執(zhí)行器故障模式的集合。

若系統(tǒng)有j個(gè)傳感器，考慮傳感器可能發(fā)生故障情況，引入開關(guān)矩陣G，并將其放在反饋增益和輸入矩陣之間，其形式為G=diag{g1,g2,…,gj},其中:

式中:G∈Γ,Γ為執(zhí)行器開關(guān)矩陣G的對(duì)角元素任取0或1的各種組合，表示所有可能的執(zhí)行器故障模式的集合。

當(dāng)執(zhí)行器和傳感器同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)，具有不確定時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)可描述為

(10)

其中：

2 容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)

針對(duì)執(zhí)行器和傳感器故障并存時(shí)，不確定時(shí)延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒容錯(cuò)控制的目標(biāo)是求得狀態(tài)反饋增益矩陣K，使得閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)于所有執(zhí)行器和傳感器故障并存在L∈Ω和G∈Γ，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。為了得出驗(yàn)證結(jié)果，需要以下引理:

s=1,2,…,N。此異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，衰減率為α。

引理2[13]:給定常數(shù)矩陣A、P、Q，當(dāng)P=PT>0,Q=QT,就有ATPA+Q<0

當(dāng)且僅當(dāng)

引理3[13]：當(dāng)有適當(dāng)維數(shù)矩陣Q=QT、H、E，則QT+HF(t)E+ETFT(t)HT<0要滿足FT(t)F(t)≤I的F(t)都可以成立的充要條件是有正數(shù)ε>0使得下式成立：

Q+ε-1HHT+εETE<0

(11)

定理1：對(duì)于系統(tǒng)(10)，假設(shè)傳感器到執(zhí)行器及控制器到執(zhí)行器的數(shù)據(jù)丟包率分別為r1、r2，對(duì)任意可能發(fā)生的執(zhí)行器和傳感器同時(shí)故障的情況L∈Ω、G∈Γ,若存在標(biāo)量ε>0，矩陣T和正定對(duì)稱矩陣X、Y、Z以及標(biāo)量α1、α2、α3、α4滿足：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

系統(tǒng)在執(zhí)行器故障和傳感器故障時(shí)可保持漸近穩(wěn)定有一定的容錯(cuò)能力，狀態(tài)反饋控制器為K=TX-1。

證明：構(gòu)造Lyapunov泛函

uT(k-1)Ru(k-1)

其中:P和R均為正定對(duì)稱矩陣。當(dāng)開關(guān)在S1、S2時(shí)：

則:

D1FE1LKG)]x(k-1)+xT(k-1)[(B1LKG+D1FE1LKG)TP(Ad+B0LKG+D0FE0LKG)]x(k)+xT(k-

式中:

φ12=(B1LKG+D1FE1LKG)TP(Ad+B0LKG+D0FE0LKG)

(17)

將F=F(τk)代入上式可得：

(18)

由引理2.2上面的式子等價(jià)于:

(19)

(20)

再一次對(duì)上面的式子應(yīng)用引理2.2:

(21)

但是由于上式是非線性不等式，因此，要將其轉(zhuǎn)化成線性不等式。在不等式的左右兩端同時(shí)乘以一個(gè)具有對(duì)角化的矩陣，即diag{P-1,P-1,P-1,I,I,I}，令P-1QP-1=Y,T=KX,Z=R-1,P-1=X，得：

(22)

證畢。同理可證另外3個(gè)不等式。

3 算例仿真

考慮不確定NCS，參數(shù)的設(shè)定如下：

設(shè)采樣周期T=0.05 s，時(shí)延τk∈[τmin,τmax]并取τmin=0,τmax=0.05，令數(shù)據(jù)傳輸成功率r1=0.900,α1=1.152 3,α2=0.980 0,λ=1.000,σmax[F(τk)]≤δ=0.030 6。

根據(jù)定理1，給定K=TX-1，取ε=1，運(yùn)用LMI工具箱求得一組X、T的可行解，得到:

考慮表1故障類型,表中：數(shù)字1表示傳感器2和執(zhí)行器2同時(shí)出現(xiàn)故障的情況，數(shù)字2表示傳感器1和執(zhí)行器2同時(shí)出現(xiàn)故障的情況，數(shù)字3表示傳感器2和執(zhí)行器1同時(shí)出現(xiàn)故障的情況，數(shù)字4表示傳感器1和執(zhí)行器1同時(shí)出現(xiàn)故障的情況。下面對(duì)4種情況進(jìn)行實(shí)例仿真。

表1 故障類型

系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)仿真曲線如圖2—圖5所示。可以看出：狀態(tài)x1和狀態(tài)x2的響應(yīng)曲線都能到達(dá)收斂，最終穩(wěn)定并趨于零值，所以設(shè)計(jì)得到的NCS容錯(cuò)控制器具有很好的控制效果，可以使系統(tǒng)在收到不確定時(shí)延、數(shù)據(jù)包丟失以及傳感器和執(zhí)行器同時(shí)出現(xiàn)故障的情況下依然達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài)。

圖2 基于故障類型1的狀態(tài)響應(yīng)曲線 圖3 基于故障類型2的狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖4 基于故障類型3的狀態(tài)響應(yīng)曲線 圖5 基于故障類型4的狀態(tài)響應(yīng)曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)執(zhí)行器和傳感器同時(shí)失效的故障情況，建立了一類同時(shí)具有不確定時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)故障模型;通過Lyapunov理論和異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論，對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒容錯(cuò)控制進(jìn)行了分析，給出了控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件;并設(shè)計(jì)了魯棒容錯(cuò)控制器，結(jié)合數(shù)值實(shí)例得到仿真結(jié)果，根據(jù)仿真結(jié)果驗(yàn)證了結(jié)論的合理性和可行性。