◇長江大學機械工程學院 張新紅 伊亞輝 馮超 夏成宇 侯作富

求解超靜定梁問題一直較為困難，而對承受軸向載荷的超靜定梁進行求解更是困難。為了對承受軸向載荷的超靜定梁進行求解，建立承受軸向載荷的梁彎曲力學模型，得出了含有軸向載荷的4階導數撓曲線微分方程。依據梁的邊界條件和連續(xù)性條件，采用特征根法和微分算子法求得了梁的撓度方程。基于本文建立的撓度方程，研究在軸向載荷的作用下梁所發(fā)生彎曲變形的規(guī)律，研究表明軸向載荷對梁彎曲變形的影響無法忽略，軸向壓力會增加梁的撓度，軸向拉力與之相反，且隨著軸向載荷逐漸變大，作用效果越明顯。本文建立撓度方程方法簡單，能較好的解決在復雜載荷作用下的超靜定梁問題，同時得出的解析解比數值解更加精確。

在材料力學等諸多力學學科中，對超靜定梁問題進行求解一直都是較為復雜與困難的。根據常規(guī)力學知識進行求解需要判斷超靜定問題的靜不定次數、將梁的多余約束去除以及建立梁彎曲變形的協(xié)調方程等[1-3]，其計算量大，計算過程較為復雜，出錯率較高，因此國內外的許多專家學者提出了多種方法來求解超靜定梁的彎曲問題，但是有限單元法[4]、有限差分法[5]只能得到近似的數值解，不能得到超靜定問題的解析解；為了得到更為準確的解析解，提出了分段獨立一體化積分法[6-8]。

該方法能夠用于變剛度梁的求解；函數法[9]可以很簡捷地獲得整根梁的撓度方程；李學軍，朱萍玉等[10]提出了一種求解超靜定梁在復雜載荷作用下的通用矩陣。該方法可以解決梁的變剛度問題。綜合國內外專家學者提出的方法，發(fā)現軸向載荷對梁彎曲變形影響的研究幾乎沒有，但是在真實工作中，軸向載荷對梁發(fā)生彎曲變形的影響十分重要，不可忽略。為了解決這一問題，本文建立一種承受軸向載荷的梁彎曲力學模型，從該模型出發(fā)，推導出了含有軸向載荷的4階導數撓曲線微分方程，通過微分算子法[11]，得到了梁的撓度的解析方程，進一步得到梁的轉角、彎矩和剪力的解析方程。該方法易于程序化用計算機計算，快速準確，通用性強，并且可以比較方便的解決分段變剛度梁在復雜載荷作用下的超靜定問題。利用該方法研究不同軸向載荷對梁彎曲變形的影響，發(fā)現軸向載荷越大，其對梁彎曲變形的影響越大。當為軸向壓力時，軸向壓力增大會引起梁的剪力最大值、彎矩最大值、轉角最大值以及撓度最大值都增大；當為軸向拉力時，其影響與軸向壓力相反。

1 模型的建立

圖1為梁的受力圖，在梁上任意位置處取長度為dx 的一段梁作為微元段，力學模型如圖2所示。

圖1 受力圖

圖2 力學模型

豎直方向力平衡：

再對上式求二階導得：

2 微分算子法

（1）式（6）對應的齊次方程為：

其特征方程為：

方程（7）的通解 的形式如表1所示：

表1 方程（7）的通解

故方程（7）的通解為：

故方程（7）的通解為：

式（11）的特解采用微分算子法，為此引進記號：

于是，式（11）化為：

因此，式（11）的通解為：

特別的，若梁承受均布載荷，則：

易得其通解為：

特別的，若梁承受均布載荷，則：

（2）根據梁的邊界條件，每種情況可以列出4個約束方程：

若梁在計算時需要分段，根據梁的連續(xù)性條件，即可解出每段方程的系數。

3 兩跨階梯梁

求解圖3所示例題，該梁左端固定，在距左端2L和3L處鉸支，左邊2L分段的慣性矩為I1，右邊L分段的慣性矩為I2，在L至2L部分作用有均布載荷q，在距右端處作用有集中力Fn，在梁的右端承受軸向力F，已知L、E、q。作出剪力圖、彎矩圖、轉角圖和撓度圖。

圖3 載荷圖

利用本文方法的求解步驟為：

若軸向力為0，則各段的撓度方程為：

第2步：根據梁的邊界條件和連續(xù)性條件，列出如下方程：

第4步：分別取k=0、2、4、6帶入表達式中，研究梁在受壓狀態(tài)下軸向壓力對梁彎曲變形的影響。再取k=0、-2、-4、-6，研究梁在受拉狀態(tài)下軸向拉力對梁彎曲變形的影響。從圖4a～圖4d中可以看出軸向壓力對梁彎曲變形的影響，從圖4e～圖4h中可以看出軸向拉力的影響。根據結果可知，當為軸向壓力時，軸向壓力增大會引起梁的剪力最大值、彎矩最大值、轉角最大值以及撓度最大值都增大，并且其增大的速率越來越快；當為軸向拉力時，軸向壓力增大會引起梁的剪力最大值、彎矩最大值、轉角最大值以及撓度最大值都減小，但是其減小的速率越來越慢。

圖4a 撓度圖

圖4b 轉角圖

圖4c 彎矩圖

圖4d 剪力圖

圖4e 撓度圖

圖4f 轉角圖

圖4g 彎矩圖

圖4h 剪力圖

4 結束語

本文建立了含有軸向力的梁彎曲變形的力學模型，從該模型出發(fā)，推導出了梁彎曲變形的撓度方程的解析表達式，從而得到了轉角、彎矩、剪力的解析表達式。該方法求解過程簡單，得到的解析解比數值解更加精確。

利用本文的分析方法能夠充分的研究軸向載荷作用下分段變剛度超靜定梁問題，并得出其撓度變化圖、轉角變化圖、彎矩圖以及剪力圖，結果表明在軸向力為壓力時，隨著軸向力的增大，梁的彎曲變形也隨之增大，并且其增大的速率越來越快；在軸向力為拉力時，隨著軸向力的增大，梁的彎曲變形隨之減小，但是其減小的速率越來越慢。

本文提出的新的分析方法精度高、通用性強，能較為簡便的解決分段變剛度梁以及復雜載荷綜合作用的超靜定梁問題。在材料力學、工程力學等學科的計算中，具有指導意義，在工程問題中，該方法也有重要的理論意義和實用價值。