孔涵宇，王中華

(濟南大學(xué) 自動化與電氣工程學(xué)院，濟南 250000)

0 引 言

永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM)具有功率因數(shù)高、效率高、壽命長等優(yōu)點，因此在機器人、航空航天、電動汽車等方面被廣泛應(yīng)用[1]。由于機械速度傳感器具有成本較高、易受環(huán)境影響、導(dǎo)致設(shè)備體積大等缺點，PMSM的無速度傳感器控制得到迅速發(fā)展。但在PMSM驅(qū)動中具有不可避免的不確定性和未知外部干擾等因素。為了獲得精確的電機控制，需對擾動進行估計并通過反饋進行適當(dāng)補償，以提高系統(tǒng)魯棒性。

針對PMSM無速度傳感器控制，學(xué)者們提出應(yīng)用滑模觀測器[2-3]、擴展卡爾曼濾波器[4-5]等方法觀測電機轉(zhuǎn)速。滑模觀測器會產(chǎn)生抖振現(xiàn)象，大大降低了電機控制效率，為此許多文獻對滑模觀測器中的抖振現(xiàn)象進行不斷改進。擴展卡爾曼濾波器算法結(jié)構(gòu)復(fù)雜，對噪聲不敏感，并且忽略了線性化模型中的高階項。因此在強非線性情況下可能會導(dǎo)致精度降低，從而影響算法穩(wěn)定性。韓京清教授[6]提出的擴展狀態(tài)觀測器(Extended State Observer, ESO)只需要很少的系統(tǒng)動態(tài)信息就可以觀測所需擴展狀態(tài)。相比于滑模觀測器，ESO可以用于觀測未知狀態(tài)變化率的系統(tǒng)，觀測出的波形更平滑。但該方法依賴于電機參數(shù)，電機驅(qū)動時溫度變化會引起定子電阻發(fā)生改變，從而影響觀測器的精確度。

由于電機驅(qū)動中模型不確定性及外部干擾的存在，許多學(xué)者提出了各種擾動估計方法應(yīng)用于電機控制中，如擾動觀測器(Disturbance Observer, DOB)[7-9]、擴展狀態(tài)觀測器(ESO)[10]、滑模觀測器[11-12]等。在電機魯棒控制、伺服系統(tǒng)等領(lǐng)域，DOB因具有良好的性能而被用來估計電機擾動。通過對擾動估計并進行反饋補償，提高電機控制系統(tǒng)的魯棒性?；？刂?、模型預(yù)測控制[11]、LQR控制[13]等控制算法與擾動觀測器相結(jié)合進行擾動補償。文獻[9]將LQR控制應(yīng)用于前饋控制，并在前饋控制中實時進行工作點更新。但電機驅(qū)動過程中溫度變化會引起定子電阻發(fā)生改變，進而影響前饋控制的控制精度。

本文提出了一種基于擾動觀測器的PMSM無速度傳感器控制方法。該方法使用自適應(yīng)擴展狀態(tài)觀測器(Adaptive Extended State Observer, AESO)觀測電機轉(zhuǎn)速，克服了電機定子電阻變化對觀測器的影響。同時針對積分狀態(tài)反饋控制器的控制精度，提出一種自適應(yīng)積分狀態(tài)反饋控制器(Adaptive Integral State Feedback Controller, AISFC)，將定子電阻估計值作為控制器輸入，實時更新控制器中的定子電阻值，消除了定子電阻變化對控制器的控制精度的影響。通過仿真調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)參數(shù)，并驗證該控制方法的有效性。

1 PMSM模型

PMSM在軸上的數(shù)學(xué)模型可以表示為[2]

(1)

(2)

其中，iα,iβ表示αβ軸電流；uα，uβ表示αβ軸電壓；R，L，ψf分別表示電機的定子電阻、dq軸電感以及永磁體磁鏈；Eα，Eβ表示擴展反電動勢；ωe，θe分別表示轉(zhuǎn)子的電角速度和電角度。

在實際中ωe和ψf為有限值，且|sinθe|≤1，|cosθe|≤1，顯然

‖f‖≤u

(3)

其中,μ為常數(shù)，即f有界。

(4)

其中n為的f變化率。

此外，PMSM機械運動方程可以表示為

(5)

(6)

其中,ωm=ωe/Pn表示電機機械轉(zhuǎn)速；Te，TL分別表示電機的電磁轉(zhuǎn)矩和負載轉(zhuǎn)矩；id，iq表示PMSM在dq軸的電流；B表示粘性摩擦系數(shù)；J表示轉(zhuǎn)動慣量;Pn，ψf表示永磁體極對數(shù)和永磁體磁鏈。

2 觀測器設(shè)計

2.1 擴展狀態(tài)觀測器(ESO)設(shè)計

根據(jù)式(1)設(shè)計ESO：

(7)

(8)

通過式(8)可以看出，矩陣A的特征值決定了觀測器的穩(wěn)定性。即當(dāng)|sI-A|的特征值具有負實部時，觀測器穩(wěn)定。令

(9)

其中,ω0>0被視為觀測器帶寬。因此觀測器增益ζ1，ζ2與帶寬ω0的關(guān)系可以分別表示為

(10)

(11)

因此只要ζ2足夠大，則估計的穩(wěn)態(tài)誤差就會足夠[14]。并且在實際系統(tǒng)中，觀測器帶寬應(yīng)大于控制器帶寬。所以本文選取觀測器帶寬為ω0=10000 rad/s。然而在電機驅(qū)動過程中溫度變化會引起定子電阻發(fā)生改變，進而影響觀測器性能。

2.2 自適應(yīng)擴展狀態(tài)觀測器(AESO)設(shè)計

針對上述ESO易受電機定子電阻變化影響的缺點，根據(jù)式(1)，設(shè)計自適應(yīng)擴展狀態(tài)觀測器：

(12)

(13)

設(shè)計定子電阻自適應(yīng)律為

(14)

其中,m>0為正數(shù)。

穩(wěn)定性分析：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(15)

其中,m為正數(shù)。對上述Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)：

(16)

代入式(13)，得

(17)

圖1 無速度傳感器控制框圖

根據(jù)擴展反電動勢公式，電角速度可以推導(dǎo)為

(18)

通過使用PLL鎖相環(huán)對電機的轉(zhuǎn)子位置進行估計。與反正切函數(shù)的轉(zhuǎn)子位置估計方法相比，該方法可以更好地估計轉(zhuǎn)子位置。PLL鎖相環(huán)原理圖如圖2所示。

圖2 PLL鎖相環(huán)原理圖

根據(jù)圖2，可以得到如下關(guān)系：

(19)

(20)

3 擾動觀測器(DOB)設(shè)計

對電機機械運動方程式(5)進行重寫

(21)

(22)

上述擾動觀測器用來估計負載擾動。根據(jù)上述系統(tǒng)傳遞函數(shù)，將標稱模型定義為

(23)

則DOB估計的負載擾動由下式給出

(24)

穩(wěn)定性分析：上述條件中Q(s)≈1，Gn(s)≈G(s)，那么DOB估計的擾動誤差可以寫為

(25)

(26)

綜上所述，擾動觀測器穩(wěn)定。

4 控制器設(shè)計

4.1 PMSM線性化模型

將iα，iβ從αβ坐標系變換到dq坐標系

(27)

其中,θe為轉(zhuǎn)子電角度。因此PMSM在dq軸的電機模型及電機機械運動方程為

(28)

(29)

4.2 自適應(yīng)積分狀態(tài)控制器(AISFC)設(shè)計

考慮轉(zhuǎn)速估計誤差對估計控制器精度的影響，則將轉(zhuǎn)速估計誤差寫為

(30)

轉(zhuǎn)速估計誤差可以分為直流分量ΔωDC和高頻分量ΔωHF[15]，即

Δω=ΔωDC+ΔωHF

(31)

線性化模型依賴于電機參數(shù)，但是在電機驅(qū)動過程中溫度變化會使定子電阻會發(fā)生改變，從而影響控制器的控制精度。并且考慮轉(zhuǎn)速估計誤差對控制器精度的影響，將線性化模型重寫為

(32)

設(shè)計積分狀態(tài)反饋控制為[9]

(33)

根據(jù)式(32)和式(33)，擴展狀態(tài)方程及狀態(tài)反饋可以寫為

(34)

(35)

(36)

(37)

為了驗證系統(tǒng)可控性，需驗證H=[B′A′B′A′2B′A′3B′]的秩是否等于4。則

(38)

通過使用LQR控制設(shè)計狀態(tài)反饋控制器

(39)

(40)

其中,P為Riccati方程的解

(41)

經(jīng)過簡單推導(dǎo)，擴展狀態(tài)方程可以重寫為

(42)

為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定和控制器性能，LQR控制將矩陣(A′-B′K)的特征值配置在s平面左半平面的期望位置，使得代價函數(shù)J達到最小。

5 仿真結(jié)果

圖3所示，在Matlab/Simulink中建立了電機調(diào)速系統(tǒng)仿真模型。本文涉及的電機參數(shù)及仿真參數(shù)如表1、表2所示。本文在不同情況下進行了控制仿真并與傳統(tǒng)無傳感器控制進行對比，以驗證控制方法的有效性和魯棒性。

圖3 系統(tǒng)框圖

表1 PMSM參數(shù)

表2 仿真參數(shù)

條件I：電機在0 s時刻以1000 r/min的參考轉(zhuǎn)速空載運行，在0.2 s時施加一個10 Nm的負載轉(zhuǎn)矩。如圖4分別顯示了該情況下的估計轉(zhuǎn)速、負載轉(zhuǎn)矩估計值的變化情況。

由圖4可以觀測出電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)在0.01 s進入穩(wěn)態(tài)。當(dāng)負載轉(zhuǎn)矩突然變化時，電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)出現(xiàn)一個很小波動后，快速收斂于參考轉(zhuǎn)速。擾動觀測器觀測出的負載擾動也快速收斂于負載擾動實際值。

圖4 條件I的響應(yīng)

條件II：空載情況下，電機轉(zhuǎn)速在0.2 s時從800 r/min變至1000 r/min。圖5分別顯示該情況下估計轉(zhuǎn)速與負載轉(zhuǎn)矩估計值的變化情況。

通過圖5可以觀測出電機轉(zhuǎn)速在0.01 s時進入電機穩(wěn)態(tài)。在0.2 s時參考轉(zhuǎn)速由800 r/min變至1000 r/min，電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)在0.01 s時間內(nèi)快速進入穩(wěn)態(tài)。擾動觀測器觀測出的負載擾動在電機參考轉(zhuǎn)速變化時出現(xiàn)了一個較小波動，又快速收斂于0。

圖5 條件II的響應(yīng)

條件III：電機在0 s時以目標轉(zhuǎn)速1000 r/min帶5 Nm的負載起動，在0.2s時負載轉(zhuǎn)矩由6 Nm變化為1 Nm。圖6分別顯示了該情況下電機估計轉(zhuǎn)速與觀測器估計負載擾動的變化情況。

通過圖6可以看出，在第0 s電機帶負載起動時，電機轉(zhuǎn)速迅速到達目標轉(zhuǎn)速1000 r/min，擾動觀測器觀測的負載擾動經(jīng)過一個波動后迅速收斂至6 Nm。負載擾動突然下降至1 Nm，電機轉(zhuǎn)速經(jīng)過一個很小的波動后，再次收斂于1000 r/min。

圖6 條件III的響應(yīng)

條件IV：在第0 s開始給電機一個幅值為3的正弦負載擾動。通過圖7可以觀測出在負載擾動不斷變化時，電機轉(zhuǎn)速波形平滑。

圖7 條件IV的響應(yīng)

在仿真時，傳統(tǒng)FOC與本文提出的FOC使電機以1000 r/min的參考轉(zhuǎn)速在空載情況下起動運行并在0.2 s施加一個10 Nm的負載轉(zhuǎn)矩。將兩種控制算法的轉(zhuǎn)速響應(yīng)結(jié)果進行比較，如圖8所示。

圖8 仿真結(jié)果：參考轉(zhuǎn)速為1000 r/min的轉(zhuǎn)速響應(yīng)

從圖8(a)的轉(zhuǎn)速響應(yīng)結(jié)果可以觀察到，傳統(tǒng)FOC中PI控制器在空載起動時出現(xiàn)了超調(diào)現(xiàn)象且在第0.06 s時進入穩(wěn)態(tài)；在第0.2s施加負載擾動后，在0.04 s時間范圍內(nèi)電機進入穩(wěn)態(tài)。圖8(b)顯示了本文提出的使用積分狀態(tài)反饋控制器的無傳感器控制算法的轉(zhuǎn)速響應(yīng)結(jié)果。結(jié)果顯示，本文提出的無傳感器控制的轉(zhuǎn)速響應(yīng)未出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象并在第0.01 s時就進入了穩(wěn)態(tài)，出現(xiàn)突加的負載擾動后也在0.01 s時間范圍內(nèi)進入電機穩(wěn)態(tài)。圖8中傳統(tǒng)FOC采用滑模觀測器觀測電機轉(zhuǎn)速，本文采用AESO觀測電機轉(zhuǎn)速，兩種觀測器觀測出的電機轉(zhuǎn)速波形進行比較，可以觀測到AESO觀測的電機轉(zhuǎn)速波形更為平滑。圖9顯示了在突加10 Nm的負載時，傳統(tǒng)FOC與本文提出的FOC更加明確的比較。通過圖9可以觀測到突加負載后速度波形有一個很小的下降后更快的恢復(fù)平穩(wěn)，因此本文提出的FOC性能更好。

圖9 傳統(tǒng)FOC與本文提出的FOC在突加10 Nm的負載擾動時的速度響應(yīng)比較

為了驗證本文提出的AISFC的跟蹤性能，將電機參考轉(zhuǎn)速設(shè)定為一個正弦波，觀測本文提出的AISFC與傳統(tǒng)PI的電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)及其誤差，并進行分析。通過圖10可以看出本文提出的AISFC的電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)在第0.01 s時轉(zhuǎn)速響應(yīng)波形變?yōu)檎也?，而傳統(tǒng)PI在第0.375 s時電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)波形才變?yōu)檎也ā８鶕?jù)圖10、11可以觀測到，當(dāng)兩種方案的轉(zhuǎn)速響應(yīng)波形均變?yōu)檎也ê?，本文提出的AISFC的轉(zhuǎn)速響應(yīng)與參考轉(zhuǎn)速之間的誤差更小。

圖10 跟蹤性能比較

圖11 速度誤差跟蹤比較

綜上所述，上述仿真驗證了本文提出的控制方法具有良好的控制性能和魯棒性。

6 結(jié) 論

本文提出一種使用自適應(yīng)擴展狀態(tài)觀測器(AESO)觀測電機轉(zhuǎn)速的PMSM無速度傳感器控制方法，克服了定子電阻變化對觀測器的影響。同時提出一種自適應(yīng)積分狀態(tài)反饋控制器(AISFC)，將定子電阻估計值作為積分狀態(tài)反饋控制器輸入，實時更新控制器中的電阻值，消除了定子電阻變化對控制器控制精度的影響。通過在Matlab/Simulink平臺上進行仿真，驗證了該方法的有效性以及控制系統(tǒng)的魯棒性。