胡進(jìn)軍，劉巴黎，謝禮立

(1. 中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所，黑龍江，哈爾濱 150080；2. 中國(guó)地震局地震工程與工程振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江，哈爾濱 150080)

地震動(dòng)破壞勢(shì)反映了結(jié)構(gòu)響應(yīng)和地震動(dòng)的綜合特征，是衡量地震動(dòng)破壞強(qiáng)度的重要物理量。地震動(dòng)的隨機(jī)性以及結(jié)構(gòu)響應(yīng)的復(fù)雜性使得評(píng)估及量化地震動(dòng)破壞勢(shì)成為工程抗震領(lǐng)域的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。自從1994 年Northridge 地震以后，基于性能的地震工程(Performance-based earthquake engineering, PBEE)和基于性能抗震設(shè)計(jì)(Performancebased seismic design, PBSD)方法得到土木工程和地震工程領(lǐng)域眾多學(xué)者的廣泛共識(shí)，并在結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)和研究中得到廣泛應(yīng)用[1]。在PBEE 框架中，地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)(Intensity measure,IM)是聯(lián)系地震危險(xiǎn)性和結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的橋梁。合理的選擇IM不僅能夠減小結(jié)構(gòu)損傷預(yù)測(cè)的不確定性[2]，也有助于全面準(zhǔn)確評(píng)估地震動(dòng)的潛在破壞勢(shì)。

近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)單一的IM與結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)(Damage measure,DM)開展了一系列研究。RIDDELL[3]將IM分為3 類，即與加速度相關(guān)、與速度相關(guān)以及與位移相關(guān)，針對(duì)單自由度(Single degree of freedom, SDOF)體系，對(duì)三類IM和4 個(gè)DM之間進(jìn)行相關(guān)性分析，結(jié)果表明：沒有一個(gè)IM能在全部周期段內(nèi)能與DM指標(biāo)保持良好的相關(guān)性。ELENAS[4]及ELENAS 和MESKOURIS[5]研究了地震動(dòng)譜指標(biāo)、峰值指標(biāo)及能量指標(biāo)和結(jié)構(gòu)整體DM的相關(guān)性，從而評(píng)估了這些IM的潛在破壞勢(shì)。韓建平等[6]選取18 組汶川地震動(dòng)記錄，針對(duì)雙線性SDOF 體系對(duì)12 個(gè)IM和3 個(gè)DM之間的相關(guān)性進(jìn)行了研究。葉列平等[7]針對(duì)SDOF和多自由度(Multi-degree of freedom, MDOF)系統(tǒng)研究了32 個(gè)IM和不同響應(yīng)指標(biāo)的相關(guān)性，分析了不同IM的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍。李爽等[8]針對(duì)近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)地震動(dòng)，對(duì)IM和結(jié)構(gòu)整體DM的相關(guān)性進(jìn)行了研究，評(píng)估了近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)地震動(dòng)的潛在破壞勢(shì)。李雪紅等[9]針對(duì)SDOF 體系和減震橋梁結(jié)構(gòu)，通過相關(guān)性分析研究了不同IM的敏感性。楊參天等[10]基于高層隔震結(jié)構(gòu)，評(píng)估了25 個(gè)IM與高層隔震結(jié)構(gòu)DM的相關(guān)性。張藝欣等[11]針對(duì)高層鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)提出適用于高層建筑結(jié)構(gòu)的考慮多個(gè)周期的均值譜加速度指標(biāo)，從而評(píng)估了地震動(dòng)對(duì)高層建筑結(jié)構(gòu)的潛在破壞勢(shì)。盧嘯等[12]從相關(guān)性和離散度等角度研究了超高層建筑結(jié)構(gòu)IM與DM變化規(guī)律以及不同IM的適用性。張成明等[13]針對(duì)圓形隧道，對(duì)20 個(gè)常用IM在表征地震動(dòng)破壞勢(shì)的適用性進(jìn)行了評(píng)估。

盡管上述關(guān)于單一IM與DM之間相互關(guān)系研究取得了一定的進(jìn)展，但是單一IM在反映地震動(dòng)特征和特性方面始終顯得不足。針對(duì)單一IM在評(píng)估地震動(dòng)破壞勢(shì)時(shí)的片面性，有些學(xué)者提出了標(biāo)量型IM和向量型IM。標(biāo)量型IM通常由多個(gè)單一的IM組成[14-16]，而向量型IM通過引入多個(gè)自振周期的譜加速度而構(gòu)成[17]，或者采用譜形參數(shù)來預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的概率地震需求[18]。此外，還有些學(xué)者通過考慮多個(gè)IM來構(gòu)造復(fù)合型IM。邱意坤等[19]提出了一種綜合考慮周期延長(zhǎng)和高階振型效應(yīng)的復(fù)合型IM，基于高聳結(jié)構(gòu)在三維地震動(dòng)作用下對(duì)該指標(biāo)的充分性和有效性進(jìn)行了檢驗(yàn)。LIU 等[20]基于偏最小二乘回歸提出一種復(fù)合型IM的構(gòu)造方法，分別從充分性、有效性、有益性和魯棒性4 個(gè)角度對(duì)構(gòu)造的復(fù)合型IM開展統(tǒng)計(jì)性分析。還有一些學(xué)者提出了基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法[21-27]和支持向量機(jī)[28-29]的復(fù)合IM構(gòu)造方法。然而，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)潛在缺點(diǎn)是耗時(shí)。與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，支持向量機(jī)對(duì)核函數(shù)的類型有較強(qiáng)的依賴性。

近年來，一些學(xué)者引入多元統(tǒng)計(jì)學(xué)中的主成分分析[30]和典型相關(guān)分析[31-32]，將多個(gè)IM線性組合成為一個(gè)新的IM，即：地震動(dòng)多元強(qiáng)度指標(biāo)(Multivariate intensity measure,MIM)，并對(duì)MIM與DM之間的相關(guān)性進(jìn)行全面研究。多元統(tǒng)計(jì)學(xué)有一個(gè)重要的共同點(diǎn)就是多變量數(shù)據(jù)處理，這使得基于多元統(tǒng)計(jì)方法構(gòu)造MIM成為可能。如果能夠從更加廣泛的角度應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析方法來構(gòu)造MIM，一方面可以通過引入多個(gè)IM使得構(gòu)造的MIM與DM保持較好的相關(guān)性，另一方面可以使組成MIM的每一個(gè)IM分量都有著較好的可解釋性。此外，在評(píng)估地震動(dòng)潛在破壞勢(shì)過程中，影響同一DM的同一類IM之間通常都具有較強(qiáng)的相關(guān)性，它們是表征地震動(dòng)潛在破壞勢(shì)且相互關(guān)聯(lián)的IM。如圖1 所示，與加速度相關(guān)的IM地震動(dòng)峰值加速度PGA和有效峰值加速度EPA之間有很強(qiáng)的相關(guān)性。這些構(gòu)造MIM的基本IM在表征地震動(dòng)潛在破壞勢(shì)時(shí)貢獻(xiàn)不一，甚至有些貢獻(xiàn)是相似或相同的，這樣就容易使IM產(chǎn)生相關(guān)重疊性，而因子分析(Factor analysis, FA)正是解決上述問題的有效方法。它在損失最少信息的前提下，將原始變量(IM)綜合成較少的互不相關(guān)的因子變量(同類IM)，消除了不同因子變量間的相關(guān)重疊性。同時(shí)，還可以對(duì)不同因子變量進(jìn)行解釋，使得FA在MIM的構(gòu)建過程中具有更加廣泛的分析意義。

圖1 PGA 與EPA 散點(diǎn)圖Fig. 1 Scatter plots of PGA and EPA

鑒于此，本文引入多元統(tǒng)計(jì)學(xué)中的FA 進(jìn)行地震動(dòng)特征提取，通過對(duì)公共因子進(jìn)行旋轉(zhuǎn)使得旋轉(zhuǎn)后的公共因子具備較好的可解釋性，同時(shí)將保留的互不相關(guān)的主因子(Principal factor,PF)以方差貢獻(xiàn)率作為權(quán)重系數(shù)進(jìn)行線性組合，構(gòu)造地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子。以SDOF 和MDOF 體系為研究對(duì)象，選取2766 組地震動(dòng)記錄為輸入，同時(shí)選取9 個(gè)基本IM及不同類型的結(jié)構(gòu)響應(yīng)指標(biāo)為DM，對(duì)構(gòu)造的地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子與不同DM進(jìn)行相關(guān)性分析，以期為地震動(dòng)潛在破壞勢(shì)的準(zhǔn)確評(píng)估提供新的思路。

1 因子分析

1.1 基本原理

為了消除代表不同類IM因子變量間的相關(guān)重疊性，本文引入統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的FA 方法，該方法利用降維思想，在損失最少信息的前提下用少數(shù)幾個(gè)互不相關(guān)的變量來解釋原始變量[33]。假設(shè)有p個(gè)成分的觀測(cè)隨機(jī)向量X=[X1,X2, ···,Xp]，有均值μ和協(xié)方差矩陣Σ。因子模型要求X是線性依賴于幾個(gè)不能觀測(cè)的稱之為公共因子的隨機(jī)變量F=[F1,F2, ···,Fm]和p個(gè)附加的稱之為特殊因子的變差源ε=[ε1, ε2, ···, εp]。FA 模型為：

式中：lij為因子載荷系數(shù)；L為因子載荷矩陣；F為公共因子；ε 為特殊因子。由于模型中l(wèi)ij、F以 及ε 為 不 能 觀 測(cè) 量，不 能 直 接 從X1,X2,···,Xp的觀測(cè)值來直接確認(rèn)此因子模型。為了得到因子模型，需要對(duì)隨機(jī)向量F和ε 作附加假設(shè)：

式中，Sij為隨機(jī)變量Xi的方差。

保留少數(shù)幾個(gè)公共因子的目的是以少數(shù)幾個(gè)PF來盡可能充分的反映原樣本的信息。公共因子的保留通常采用兩大標(biāo)準(zhǔn)：① 累計(jì)方差貢獻(xiàn)率CVC(Cumulative variance contribution, CVC)準(zhǔn)則(CVC 大于85%)；② 特征值準(zhǔn)則(特征值大于1)。CVC 表達(dá)式如下：

通過上述方法求得的公共因子的解釋意義有可能不明確。本文采用最大方差旋轉(zhuǎn)法進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，其目的是使得每個(gè)因子上的載荷一部分趨于0 而另一部分±1。

為了反映原始變量的相關(guān)關(guān)系且同時(shí)能夠描述樣本的特征，需要用公共因子來代表原始變量，公共因子表示為原始變量線性組合的方程稱為因子得分方程：

式中，βjp為因子得分系數(shù)。將原始變量取值和因子得分系數(shù)代入式(9)便可求得因子得分。

1.2 數(shù)據(jù)前處理和計(jì)算

由于隨機(jī)變量X1,X2, ···,Xp的量綱往往有所差別，為剔除量綱帶來的影響，需要對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行0-1 標(biāo)準(zhǔn)化。隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化后會(huì)使每個(gè)變量Xi中的數(shù)值平均變?yōu)?、標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)?，此方法被廣泛的使用在機(jī)器學(xué)習(xí)算法(例如：支持向量機(jī)、邏輯回歸和類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))和多元統(tǒng)計(jì)分析(例如：主成分分析和典型相關(guān)分析)中。此外，F(xiàn)A 模型中因子載荷矩陣L、公共因子F、特殊因子ε 以及協(xié)方差矩陣Σ 等的求解參考文獻(xiàn)[33]。

1.3 因子分析邏輯框圖

以上介紹了FA 的基本思想和理論方法，為了更加清楚地展示FA 各分析步驟的脈絡(luò)關(guān)系，更好地運(yùn)用FA 進(jìn)行地震動(dòng)特征提取，本文給出了FA 的邏輯框圖，如圖2 所示。

圖2 因子分析邏輯框圖Fig. 2 Logical structure diagram of factor analysis

2 地震動(dòng)記錄及強(qiáng)度指標(biāo)的選取

2.1 地震動(dòng)記錄

本文從美國(guó)太平洋地震工程研究中心(PEER NGA-West2)強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫(kù)中挑選2766 條水平地震動(dòng)記錄，挑選原則簡(jiǎn)述如下：① 自由場(chǎng)地震動(dòng)記錄；② 矩震級(jí)大于5.0；③ 震中距介于10 km～60 km；④PGA大于50 cm/s2；⑤ 不包含脈沖型地震動(dòng)。選取的地震動(dòng)記錄的震級(jí)-震中距分布圖如圖3 所示?？梢?，選取的地震動(dòng)記錄的震級(jí)和震中距范圍分布較廣，能較為充分地體現(xiàn)各因素對(duì)地震動(dòng)特性的影響。參考文獻(xiàn)[34]場(chǎng)地類別的劃分標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)30 m 覆蓋層平均剪切波速Vs30將挑選的2766 條水平地震動(dòng)記錄分為B、C、D、E 4 類。地震動(dòng)記錄詳細(xì)分類信息如表1 所示。

表1 本文選取的地震動(dòng)記錄按照?qǐng)龅仡悇e分類結(jié)果Table 1 Classification of ground motion records according to site class in this study

圖3 震級(jí)-震中距分布圖Fig. 3 Magnitude-fault distance distribution of the selected ground motions

2.2 地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)

本文首選取了23 個(gè)代表性的IM[3]作為初選指標(biāo)，可將IM分為與加速度相關(guān)的參數(shù)、與速度相關(guān)的參數(shù)及與位移相關(guān)的參數(shù)3 類。由于23 個(gè)IM之間有些表達(dá)式得相近，需要對(duì)這些IM進(jìn)行有效篩選。有效篩選的原則主要有：1) 兩類IM在表達(dá)式上相差一個(gè)指數(shù)的情況，通常只選擇其一；2) 某一類IM的表達(dá)式在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下是另一類或者幾類IM(表達(dá)式較為簡(jiǎn)單)的線性組合，通常只選擇表達(dá)式較為簡(jiǎn)單的IM。

通過上述有效篩選后最終選取9 個(gè)IM為基本指標(biāo)，具體信息如表2 所示。其中，u¨g(t) 、u˙g(t)和ug(t)分別為地震動(dòng)加速度、速度和位移時(shí)程；Td和tf分別為地震動(dòng)顯著持時(shí)和總持時(shí)；PSV為偽速度譜值；IA為Arias 強(qiáng)度，t5和t95分別表示5%和95%的Arias 強(qiáng)度所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，v0為地震動(dòng)加速度時(shí)程曲線單位時(shí)間內(nèi)通過時(shí)間軸的次數(shù)；arms為Pa的平方根。值得注意的是，文獻(xiàn)[3]將修正的阿里亞斯烈度PD劃分為與與速度相關(guān)的參數(shù)，本文通過分別計(jì)算2766 條地震動(dòng)記錄對(duì)應(yīng)的PD與PGA、PGV及PGD的相關(guān)性發(fā)現(xiàn)，PD與PGA、PGV及PGD的相關(guān)系數(shù)分別為0.694、0.830 及0.708，PD與PGV的相關(guān)性略好于PD與PGV和PGD的相關(guān)性。這說明，在相關(guān)性方面，PD與加速度相關(guān)參數(shù)、速度相關(guān)參數(shù)及位移相關(guān)參數(shù)都保持了相近的表現(xiàn)。2766 條地震動(dòng)記錄對(duì)應(yīng)的PD與PGA、PGV及PGD的散點(diǎn)圖及相關(guān)性如圖4 所示。

圖4 PD 與PGA、PGV 及PGD 散點(diǎn)圖Fig. 4 Scatter plots of PD and PGA, PGV and PGD, respectively

表2 本文選取的基本地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)Table 2 The selected basic ground motion intensity measures

3 結(jié)構(gòu)建模及損傷指標(biāo)

3.1 單自由度體系

SDOF 體系建模以及非線性時(shí)程分析時(shí)，SDOF體系恢復(fù)力模型分別選擇理想彈塑性模型(EP)、雙線性模型(BP)以及修正的Clough 模型(MC)。上述三種恢復(fù)力模型分別如圖5 所示。其中，BP 模型和MC 的屈服后剛度系數(shù)α 取0.05。采用Newmark-β 法求解SDOF 體系運(yùn)動(dòng)方程。積分采用文獻(xiàn)[35]建議的步長(zhǎng)，即：地震動(dòng)記錄采樣時(shí)間間隔，自振周期T的1/25 以及0.01 s 三者的最小值。SDOF 體系T取為0.1 s～6 s，周期間隔為0.1 s。強(qiáng)度折減系數(shù)R取值為2、3、4 和5，其中R的表達(dá)式為：

圖5 單自由度體系恢復(fù)力模型Fig. 5 Hysteretic models of SDOF systems

式中：Fe為地震作用下結(jié)構(gòu)保持彈性所需的最小強(qiáng)度；Fy為結(jié)構(gòu)屈服強(qiáng)度。

3.2 多自由度體系

選擇OpenSees 平臺(tái)進(jìn)行MDOF 體系的建模和非線性時(shí)程分析。計(jì)算模型為3、6、8、10、12、15、20、30、40 和50 層的集中質(zhì)量懸臂剪切模型(串桿模型)，模型自振周期分別為0.35 s、0.64 s、0.83 s、1.02 s、1.23 s、1.52 s、2.10 s、3.00 s、4.10 s、5.01 s。這種簡(jiǎn)化的MDOF 計(jì)算模型，是由在各層集中質(zhì)量的懸臂剪切模型，來進(jìn)行計(jì)算模擬在地震作用下可能在柱間形成塑性鉸的多層多跨框架結(jié)構(gòu)。計(jì)算模型的基本滯回規(guī)則采用文獻(xiàn)[36]提出的雙折線模型。模型參數(shù)信息：每層質(zhì)量m為600 t，每層的層間彈性剪切剛度k為1×109N/m，每層的層高h(yuǎn)為3.0 m。層間屈服位移角dy為1/150，強(qiáng)化段剛度系數(shù)αs為0.05，軟化段剛度系數(shù)αc為-0.05，名義延性系數(shù)為6。模型參數(shù)如圖6 所示。

圖6 層剪切模型參數(shù)Fig. 6 Lumped mass shear model parameters

3.3 結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)

結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)DM是反映結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)以及和表征結(jié)構(gòu)地震損傷的參數(shù)。針對(duì)SDOF 體系，采用文獻(xiàn)[37]中所使用的DM。其中，最大位移響應(yīng)umax為表征結(jié)構(gòu)和非結(jié)構(gòu)構(gòu)件損傷的參數(shù)；最大加速度amax響應(yīng)為表征非結(jié)構(gòu)構(gòu)件損傷的參數(shù)；等效滯回耗能速度響應(yīng)veq為表征累積損傷的參數(shù)。針對(duì)MDOF 體系，分別采用最大層間位移角(Maximum interstory drift,ISD)、最大樓層加速度(Maximum floor acceleratiom,Amax)以及最大樓層速度(Maximum floor velocity,Vmax)作為DM。滯回耗能Eh及等效滯回耗能速度veq的表達(dá)式如下：

式中：f(t)為恢復(fù)力時(shí)程；u為加速度時(shí)程；k為結(jié)構(gòu)剛度；m為結(jié)構(gòu)質(zhì)量。

通過計(jì)算選取地震動(dòng)記錄的IM構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣，建立FA 模型并計(jì)算公共因子，采用最大方差旋轉(zhuǎn)法進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)來獲取具備較好可解釋性的PF。PF可以表示為原始變量IM的線性組合，即：因子得分方程。因子得分方程中的的系數(shù)可以通過加權(quán)最小二乘法回歸獲得。將保留的PF以方差貢獻(xiàn)率作為權(quán)重系數(shù)進(jìn)行線性組合，構(gòu)造地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子。

4 地震動(dòng)特征提取

4.1 多指標(biāo)數(shù)據(jù)矩陣構(gòu)建

為了采用FA 方法進(jìn)行地震動(dòng)特征提取，本文首先定義選取的9 個(gè)IM作為基本指標(biāo)，即原始變量為lnIM=[lnPGA, lnEa, lnPa, lnPGV, lnEv, lnSI,lnPD, lnPGD, lnEd]T。

記地震動(dòng)數(shù)據(jù)矩陣為X，包括m個(gè)記錄、p個(gè)地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)以及S個(gè)場(chǎng)地類別。則數(shù)據(jù)矩陣可表示為：

將數(shù)據(jù)矩陣X按照?qǐng)龅仡悇e展開，得到地震動(dòng)記錄和IM的二維矩陣XS，可表示為：

4.2 因子分析及主因子的選取原則

將數(shù)據(jù)矩陣按照?qǐng)龅仡悇e展開，對(duì)各場(chǎng)地類別的二維數(shù)據(jù)矩陣分別進(jìn)行FA，公共因子和因子載荷矩陣的求解采用主成分法[33]。同時(shí)，采用CVC 準(zhǔn)則和特征值準(zhǔn)則相結(jié)合的方法(即：同時(shí)滿足CVC 大于85%和特征值大于1)對(duì)公共因子進(jìn)行保留。由圖7 可知：通過對(duì)B、C、D 和E 四類場(chǎng)地的二維數(shù)據(jù)矩陣分別進(jìn)行FA 得到的前兩個(gè)公共因子的CVC 超過85%，且前兩個(gè)公共因子的特征值都大于1，其他公共因子的特征值都小于1.0。這說明選取前兩個(gè)公共因子作為PF，即主因子PF1和主因子PF2，能較為全面地解釋IM的方差。

圖7 不同場(chǎng)地?cái)?shù)據(jù)因子分析對(duì)應(yīng)的公共因子特征值及累積貢獻(xiàn)率Fig. 7 Eigenvalues and cumulative contribution rates corresponding to different site categories

4.3 因子旋轉(zhuǎn)

為了使保留的PF具有較好的可解釋性，需要對(duì)因子模型進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。本文采用正交旋轉(zhuǎn)法[33]中的最大方差旋轉(zhuǎn)法對(duì)因子模型進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，并求取旋轉(zhuǎn)后的因子載荷系數(shù)FL(Factor loading,FL)。FL反映了原始變量對(duì)PF 的依賴程度，F(xiàn)L越大說明該原始變量與PF的相關(guān)系數(shù)越大。圖8 給出了B、C、D 和E 四類場(chǎng)地FA 對(duì)應(yīng)的FL。由圖可知，Ed和PGD在PF1上的載荷系數(shù)超過0.9，Ev在PF1上的載荷系數(shù)超過0.8，SI和PGV在PF1上的載荷系數(shù)超過0.7，其他IM在PF1上的載荷系數(shù)都小于0.7。這說明第一主因子PF1主要由與速度相關(guān)的IM(PGV、Ev及SI)及與位移相關(guān)的IM(PGD、Ed)決定，因此主因子PF1可以解釋為速度和位移聯(lián)合作用因子；Pa和PGA在PF2上的載荷系數(shù)超過0.85，Ea在PF2上的載荷系數(shù)超過0.7，其他IM在PF2上的載荷系數(shù)都小于0.7。這說明第二主因子PF2主要由與加速度相關(guān)的IM(PGA、Ea及Pa)3 個(gè)IM決定，因此主因子PF2可以解釋為加速度作用因子。值得注意得是，修正的阿里亞斯烈度PD在PF2上的載荷系數(shù)大于0.7，同時(shí)在PF1上的載荷系數(shù)大于0.6，這與2.2 節(jié)中PD與加速度相關(guān)參數(shù)PGA、速度相關(guān)參數(shù)PGV及位移相關(guān)參數(shù)PGD相關(guān)系數(shù)較為接近的結(jié)論一致。

圖8 不同場(chǎng)地?cái)?shù)據(jù)因子分析對(duì)應(yīng)的因子載荷系數(shù)Fig. 8 Factor loading corresponding to different site categories

綜合上述可知，所有基本IM在不同場(chǎng)地類別下都穩(wěn)定地屬于某個(gè)PF，即各場(chǎng)地類別各指標(biāo)所屬的PF趨于穩(wěn)定。各場(chǎng)地類別FA 中，9 個(gè)基本IM都轉(zhuǎn)化為2 個(gè)PF，根據(jù)PF與基本IM的關(guān)系，將其分別命名為速度和位移聯(lián)合作用因子及加速度作用因子。

通過加權(quán)最小二乘法[33]回歸獲得因子得分系數(shù)，將PF表示成原始變量IM的線性方程，并將兩個(gè)PF以方差貢獻(xiàn)率占比作為權(quán)重系數(shù)進(jìn)行線性組合，構(gòu)造地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子。其中，權(quán)重系數(shù)ω的計(jì)算如式(15)所示。根據(jù)FA 的原理可知，保留的兩個(gè)PF之間互不相關(guān)。采用FA 既消除了PF之間的相關(guān)重疊性，又使得保留的PF具備較好的可解釋性(速度和位移聯(lián)合作用因子及加速度作用因子)。構(gòu)造的地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子lnIMFA的表達(dá)如式(16)所示。

4.4 地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子的構(gòu)造

5 SDOF 體系地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子與結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)相關(guān)性分析

5.1 相關(guān)系數(shù)

本文選取Pearson 相關(guān)系數(shù)[30,38-39]來考察IM和DM之間的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)越大，則IM表征地震動(dòng)破壞勢(shì)的能力越強(qiáng)。Pearson 相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式如下式所示：

5.2 基本地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)的潛在破壞勢(shì)

為了衡量IM與DM之間的相關(guān)性，同時(shí)為了量化IM表征地震動(dòng)潛在破壞勢(shì)的能力，本文以基本地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)PGA、PGV及PGD為例，SDOF體系恢復(fù)力模型為EP 模型，且強(qiáng)度折減系數(shù)R=4 的條件下，給出了單一IM 分別與amax、veq及umax之間的Pearson 相關(guān)系數(shù)分析結(jié)果，如圖9 所示。由圖可知，PGA與不同DM之間的相關(guān)系數(shù)隨T增大而逐漸減小，PGD與不同DM之間的相關(guān)系數(shù)隨T而逐漸增大，而PGV與不同DM之間的相關(guān)系數(shù)隨T增大先增大而后緩慢減小。PGA、PGV及PGD與不同DM之間的相關(guān)系數(shù)分別在短周期(0.0 s～0.5 s)、中等周期(0.5 s～3 s)以及長(zhǎng)周期段(T>3 s)內(nèi)取得峰值，這表明采用單一IM來表征地震動(dòng)潛在破壞勢(shì)時(shí)需要考慮結(jié)構(gòu)周期的影響。

圖9 SDOF 體系基本地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)與結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)Fig. 9 Correlation coefficient between the basic intensity measure and damage measures of SDOF systems

5.3 地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子的潛在破壞勢(shì)

以強(qiáng)度折減系數(shù)R=4 的EP 模型、BP 模型以及MC 模型分析結(jié)果為例，對(duì)IMFA與DM進(jìn)行相關(guān)性分析，如圖10 所示。由圖可知，針對(duì)同一恢復(fù)力模型，IMFA與不同DM之間的相關(guān)系數(shù)在T<1.0 s 時(shí)緩慢上升，當(dāng)T>1.0 s 時(shí)相關(guān)系數(shù)保持不變。不同DM與IMFA的相關(guān)系數(shù)除在T<1.0 s 時(shí)有較小差別外，其他周期范圍內(nèi)差別很小。

圖10 SDOF 體系地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子與結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)Fig. 10 Correlation coefficient between principal factor of multivariate earthquake intensity measures and damage measures of SDOF systems

通過圖9 和圖10 的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，IMFA既保持了與速度相關(guān)及與位移相關(guān)的單一IM在中長(zhǎng)周期段內(nèi)表征地震動(dòng)潛在破壞勢(shì)的良好表現(xiàn)，又較大改善了與加速度相關(guān)的單一IM在短周期內(nèi)表征地震動(dòng)潛在破壞勢(shì)的不足。主要原因在于，IMFA考慮了更多的地震動(dòng)信息，從而保持了其與不同DM之間穩(wěn)定且較好的相關(guān)性。

為了研究場(chǎng)地類別和恢復(fù)力模型參數(shù)對(duì)IMFA和DM之間相關(guān)性的影響，圖11(a)給出了EP 模型R=4 對(duì)應(yīng)的B、C、D 和E 類場(chǎng)地的相關(guān)性分析結(jié)果，圖11(b)給出了2766 條地震動(dòng)記錄EP 模型對(duì)應(yīng)的R=2、3、4 和5 的相關(guān)性分析結(jié)果，圖11(c)給出了2766 條地震動(dòng)記錄R=4 對(duì)應(yīng)的EP 模型、BP 模型和MC 模型的相關(guān)性分析結(jié)果，同時(shí)以DM為veq為例。由圖可知，針對(duì)不同場(chǎng)地類別，相關(guān)系數(shù)在整個(gè)周期段內(nèi)差別很??；針對(duì)強(qiáng)度折減系數(shù)R，相關(guān)系數(shù)在T<1.0 s 時(shí)有較小差別，T>1.0 s 時(shí)差別很??；針對(duì)恢復(fù)力模型，相關(guān)性分析結(jié)果在整個(gè)周期段內(nèi)差別很小?？傮w而言，場(chǎng)地類別和恢復(fù)力模型參數(shù)對(duì)IMFA和DM之間相關(guān)性影響較小。

圖11 SDOF 體系不同參數(shù)對(duì)相關(guān)系數(shù)的影響Fig. 11 Influence of different parameters on correlation coefficient between principal factor of multivariate earthquake intensity measures and damage measures of SDOF systems

6 MDOF 體系地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子與結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)相關(guān)性分析

圖12 為MDOF 層剪切模型相關(guān)性分析結(jié)果。以基本地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)PGA、PGV及PGD為例，給出了這三個(gè)IM分別與Amax、Vmax及ISD之間的Pearson 相關(guān)系數(shù)分析結(jié)果。由圖可知，PGV與體系不同DM之間的相關(guān)系數(shù)隨T增大先增大而后減小。PGD與不同DM之間的相關(guān)系數(shù)隨T增大而逐漸增大。MDOF 體系PGV和PGD與不同DM之間的相關(guān)系數(shù)的變化趨勢(shì)與對(duì)應(yīng)SDOF 體系相關(guān)系數(shù)的變化趨勢(shì)一致。PGA與表征非結(jié)構(gòu)構(gòu)件損傷的指標(biāo)Amax以及表征結(jié)構(gòu)累積損傷的指標(biāo)Vmax之間的相關(guān)系數(shù)隨T增大而先增大后趨于平穩(wěn)，這一點(diǎn)與SDOF 體系對(duì)應(yīng)PGA與相應(yīng)DM之間相關(guān)系數(shù)的變化趨勢(shì)不同。MDOF體系IMFA與不同DM之間的相關(guān)系數(shù)在T<1.0 s時(shí)上升，當(dāng)T>1.0 s 時(shí)相關(guān)系數(shù)保持不變，這與SDOF 體系IMFA與相應(yīng)DM之間相關(guān)系數(shù)的變化趨勢(shì)一致。

綜合對(duì)比圖12(a)～圖12(c)可以發(fā)現(xiàn)，單一IM與DM之間的相關(guān)系數(shù)受結(jié)構(gòu)周期的影響較大，且在相同周期區(qū)間內(nèi)與不同DM之間的相關(guān)系數(shù)差別也較大。單一IM的適用性無法在各個(gè)周期段內(nèi)以及針對(duì)不同DM達(dá)到最佳[7]。IMFA和DM之間的相關(guān)系數(shù)除在短周期段略小于0.9 外，在其他周期范圍內(nèi)都超過0.9 且保持穩(wěn)定狀態(tài)。說明IMFA通過考慮更多的地震動(dòng)信息，保持了其與不同DM之間穩(wěn)定且良好的相關(guān)性。

圖12 MDOF 體系地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)與結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)Fig. 12 Correlation coefficient between intensity measure and damage measures of MDOF systems

7 結(jié)論

本文基于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的因子分析方法進(jìn)行地震動(dòng)特征提取并構(gòu)造地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子，針對(duì)SDOF 和MDOF 體系，以2766 條地震動(dòng)記錄為輸入，通過分析地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子和損傷指標(biāo)之間相關(guān)性，以此來評(píng)估構(gòu)造的地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子表征地震動(dòng)潛在破壞勢(shì)的能力。主要結(jié)論如下：

(1) 所選基本地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)在不同場(chǎng)地類別下都穩(wěn)定地屬于某個(gè)主因子，即不同場(chǎng)地類別下各地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)所屬的主因子趨于穩(wěn)定。各場(chǎng)地類別因子分析中，9 個(gè)基本地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)都轉(zhuǎn)化為2 個(gè)主因子。

(2) 基于因子分析提取的互不相關(guān)的兩個(gè)主因子，根據(jù)主因子和基本地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)的關(guān)系，將其分別命名為速度和位移聯(lián)合作用因子和加速度作用因子。第一主因子主要由與速度相關(guān)以及與位移相關(guān)的基本地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)決定，第二主因子主要由與加速度相關(guān)的基本地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)決定?；谝蜃臃治鎏崛〉牡卣饎?dòng)強(qiáng)度主因子具備較好的可解釋性。

(3) 針對(duì)SDOF 體系，場(chǎng)地類別、強(qiáng)度折減系數(shù)以及恢復(fù)力模型對(duì)地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子與結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)相關(guān)性的影響較小。

(4) 針對(duì)SDOF 體系和MDOF 體系，構(gòu)造的地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子既保持了與速度相關(guān)及與位移相關(guān)的基本地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)在中長(zhǎng)周期段內(nèi)表征地震動(dòng)潛在破壞勢(shì)時(shí)的良好表現(xiàn)，又能較大改善與加速度相關(guān)的基本地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)在短周期內(nèi)表征地震動(dòng)潛在破壞勢(shì)的不足。構(gòu)造的地震動(dòng)多元強(qiáng)度主因子通過考慮更多的地震動(dòng)信息，保持了其與不同結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)之間穩(wěn)定且良好的相關(guān)性。